Uus proovitõend lööb nõela kleepuva geomeetria probleemi lahendamiseks | Quanta ajakiri

1917. aastal poseeris Jaapani matemaatik Sōichi Kakeya algul tundunud olevat midagi muud kui lõbus geomeetriaharjutus. Asetage lõpmata õhuke tolline nõel tasasele pinnale, seejärel pöörake seda nii, et see osutaks kordamööda igas suunas. Mis on väikseim ala, mille nõel suudab välja pühkida?

Kui keerate seda lihtsalt ümber selle keskpunkti, saate ringi. Kuid nõela on võimalik liigutada leidlikul viisil, nii et jätate palju vähem ruumi. Matemaatikud on sellest ajast peale esitanud selle küsimuse seotud versiooni, mida nimetatakse Kakeya oletuseks. Püüdes seda lahendada, on nad avastanud üllatavaid seoseid harmoonilise analüüsi, arvuteooria ja isegi füüsikaga.

"Mingil moel on see paljudes eri suundades osutavate joonte geomeetria suures osas matemaatikas üldlevinud," ütles ta. jonathan hickman Edinburghi ülikoolist.

Kuid see on ka asi, millest matemaatikud siiani täielikult aru ei saa. Viimastel aastatel on nad tõestanud Kakeya oletuse variatsioone lihtsamates seadistustes, kuid küsimus jääb normaalses kolmemõõtmelises ruumis lahendamata. Mõnda aega tundus, et kõik edusammud on selle oletuse versiooni osas seiskunud, kuigi sellel on arvukalt matemaatilisi tagajärgi.

Nüüd on kaks matemaatikut nõela nii-öelda liigutanud. Nende uus tõestus lööb maha suure takistuse mis on püsinud aastakümneid – taaskäivitades lootust, et lahendus võib lõpuks olla silme ees.

Mis on väike tehing?

Kakeyat huvitasid tasapinnas olevad hulgad, mis sisaldavad igas suunas 1 pikkusega joonelõiku. Näiteid sellistest komplektidest on palju, kõige lihtsam on ketas läbimõõduga 1. Kakeya soovis teada, milline näeb välja väikseim selline komplekt.

Ta pakkus välja veidi sissevajunud külgedega kolmnurga, mida nimetatakse deltalihaseks ja mille pindala on pool ketta pindalast. Selgus aga, et palju-palju paremini on võimalik teha.

Aastal 1919, vaid paar aastat pärast seda, kui Kakeya oma probleemi püstitas, näitas vene matemaatik Abram Besicovitch, et kui paigutada nõelad väga erilisel viisil, saate luua okkalise välimusega komplekti, millel on suvaliselt väike pindala. (Esimese maailmasõja ja Vene revolutsiooni tõttu ei jõudnud tema tulemus ülejäänud matemaatikamaailma mitme aasta pärast.)

Et näha, kuidas see võiks toimida, võtke kolmnurk ja jagage see piki alust õhemateks kolmnurkseteks tükkideks. Seejärel libistage neid tükke nii, et need kattuksid nii palju kui võimalik, kuid ulatuksid veidi erinevatesse suundadesse. Protsessi ikka ja jälle korrates – jagades oma kolmnurga õhemateks ja õhemateks osadeks ning paigutades need ruumis ettevaatlikult ümber – saate oma komplekti muuta nii väikeseks, kui soovite. Lõpmatus piiris võite saada hulga, millel pole matemaatiliselt pindala, kuid mis paradoksaalsel kombel mahutab igas suunas osutava nõela.

"See on üllatav ja vastuoluline," ütles Ruixiang Zhang California ülikoolist Berkeleys. "See on väga patoloogiline komplekt."

Seda tulemust saab üldistada suurematele dimensioonidele: on võimalik koostada suvaliselt väikese mahuga hulk, mis sisaldab ühikulist joonelõiku, mis osutab igas suunas. n-mõõtmeline ruum.

Besicovitch näis olevat Kakeya küsimuse täielikult lahendanud. Kuid aastakümneid hiljem hakkasid matemaatikud töötama probleemi teise versiooni kallal, kus nad asendasid pindala (või ruumala, kui tegemist on suurema mõõtmega) teistsuguse suuruse mõistega.

Et mõista seda küsimuse ümbersõnastamist, võtke esmalt kõik Kakeya komplekti joonelõiked ja nuumage seda veidi – justkui kasutaksite tegelikku, mitte idealiseeritud nõela. Tasapinnas koosneb teie komplekt äärmiselt õhukestest ristkülikutest; kolmemõõtmelises ruumis on teil äärmiselt õhukeste torude kollektsioon.

Nendel nuumatud komplektidel on alati mingi pindala (või maht, kuid praegu jääme kahemõõtmelise korpuse juurde). Kui muudate nõela laiust, muutub see ala. 1970. aastatel näitas matemaatik Roy Davies (kes suri eelmisel kuul), et kui kogupindala veidi muutub, peab iga nõela laius drastiliselt muutuma. Näiteks kui soovite, et Besicovitchi komplekti nuumatud versiooni pindala oleks 1/10 ruuttollist, peab iga nõela paksus olema umbes 0.000045 tolli: e^-10 tolli, kui täpne olla. Aga kui soovite teha kogupindala 1/100 ruuttollist - 10 korda väiksemaks -, peaks nõel olema e^-100 tolli paksusega. (Nelikümmend kolm nulli järgneb kümnendkohale, enne kui jõuate teiste numbriteni.)

"Kui sa ütled mulle, kui väike sa seda ala tahad, siis ma pean nõudma nõela, mis on lihtsalt uskumatult peenike," ütles Charles Fefferman Princetoni ülikoolist.

Matemaatikud mõõdavad Kakeya komplekti "suurust", kasutades suurust, mida nimetatakse Minkowski mõõtmeks, mis on seotud tavalise mõõtmega, kuid ei ole sellega päris sama (määratletud kui ruumi kirjeldamiseks vajalike sõltumatute suundade arv).

Siin on üks võimalus Minkowski mõõtme üle mõelda: võtke oma komplekt ja katke see pisikeste kuulidega, mille läbimõõt on üks miljondik teie eelistatud ühikust. Kui teie komplekt on joonelõik pikkusega 1, vajate selle katmiseks vähemalt 1 miljonit palli. Kui teie komplekt on ruut pindalaga 1, vajate palju, palju rohkem: miljon ruutu või triljonit. 1. ruumalaga sfääri puhul on see umbes 1 miljon kuupi (kvintiljon) ja nii edasi. Minkowski mõõde on selle eksponendi väärtus. See mõõdab kiirust, millega teie komplekti katmiseks vajalike pallide arv kasvab, kui iga palli läbimõõt väheneb. Joonesegmendi mõõde on 1, ruudul 2 ja kuubil 3.

Need mõõtmed on tuttavad. Kuid Minkowski definitsiooni kasutades on võimalik konstrueerida hulk, mille mõõde on näiteks 2.7. Kuigi selline komplekt ei täida kolmemõõtmelist ruumi, on see mõnes mõttes “suurem” kui kahemõõtmeline pind.

Kui katate komplekti teatud läbimõõduga pallidega, saate ligikaudselt komplekti nuumatud versiooni mahu. Mida aeglasemalt komplekti maht väheneb koos nõela suurusega, seda rohkem palle vajate selle katmiseks. Seetõttu saate ümber kirjutada Daviese tulemuse, mis väidab, et Kakeya hulga pindala tasapinnas väheneb aeglaselt, et näidata, et hulga Minkowski mõõde peab olema 2. Kakeya oletus üldistab selle väite kõrgematele mõõtmetele: Kakeya komplekt peab olema alati sama mõõtmega kui ruumil, mida see elab.

Seda lihtsat väidet on olnud üllatavalt raske tõestada.

Oletuste torn

Kuni Fefferman tegi jahmatav avastus 1971. aastal peeti oletust kurioosumiks.

Ta tegeles sel ajal hoopis teise probleemiga. Ta tahtis mõista Fourier' teisendust, võimsat tööriista, mis võimaldab matemaatikutel funktsioone uurida, kirjutades need siinuslainete summadena. Mõelge noodile, mis koosneb paljudest kattuvatest sagedustest. (Seetõttu kõlab keskmine C klaveril teistmoodi kui keskmine C viiulil.) Fourier' teisendus võimaldab matemaatikutel arvutada konkreetse noodi koostisosade sagedusi. Sama põhimõte töötab ka nii keeruliste helide puhul kui inimkõne.

Matemaatikud tahavad ka teada, kas nad suudavad taastada algse funktsiooni, kui neile antakse vaid osa selle lõpmatult paljudest koostisosade sagedustest. Neil on hea arusaam, kuidas seda ühes mõõtmes teha. Kuid kõrgemates mõõtmetes saavad nad teha erinevaid valikuid selle kohta, milliseid sagedusi kasutada ja milliseid ignoreerida. Fefferman tõestas oma kolleegide üllatuseks, et te ei pruugi oma funktsiooni uuesti üles ehitada, kui tuginete eriti tuntud sageduste valimise viisile.

Tema tõestus tugines funktsiooni konstrueerimisele, muutes Besicovitši Kakeya komplekti. See inspireeris hiljem matemaatikuid välja töötama oletuste hierarhiat Fourier' teisenduse kõrgema mõõtmega käitumise kohta. Tänapäeval sisaldab hierarhia isegi oletusi füüsikas oluliste osadiferentsiaalvõrrandite käitumise kohta, nagu Schrödingeri võrrand. Iga oletus hierarhias eeldab automaatselt sellest allpool olevat.

Kakeya oletus asub selle torni põhjas. Kui see on vale, siis on ka hierarhias kõrgemal olevad väited. Teisest küljest ei tähendaks selle tõesuse tõestamine kohe selle kohal olevate oletuste tõesust, kuid see võib pakkuda tööriistu ja teadmisi nende ründamiseks.

"Hämmastav asi Kakeya oletuse juures on see, et see pole lihtsalt lõbus probleem; see on tõeline teoreetiline kitsaskoht,” ütles Hickman. "Me ei mõista paljusid neid nähtusi osadiferentsiaalvõrrandites ja Fourier' analüüsis, kuna me ei mõista neid Kakeya komplekte."

Plaani väljatöötamine

Feffermani tõestus – koos hiljem avastatud seostega arvuteooria, kombinatoorika ja muude valdkondadega – taastas tippmatemaatikute seas huvi Kakeya probleemi vastu.

1995. aastal tõestas Thomas Wolff, et 3D-ruumis seatud Kakeya Minkowski mõõde peab olema vähemalt 2.5. Seda alumist piiri osutus raskeks tõsta. Siis 1999. aastal matemaatikud Nets Katz, Izabella Łaba ja Terence tao õnnestus see võita. Nende uus piirang: 2.500000001. Vaatamata sellele, kui väike oli paranemine, ületas see tohutu teoreetilise barjääri. Nende paber oli avaldatakse Matemaatika aastaraamatud, valdkonna prestiižseim ajakiri.

Katz ja Tao lootsid hiljem rakendada mõnda selle töö ideed, et rünnata 3D Kakeya oletust teistsugusel viisil. Nad püstitasid hüpoteesi, et igal vastunäitel peab olema kolm konkreetset omadust ja et nende omaduste kooseksisteerimine peab viima vastuoluni. Kui nad suudaksid seda tõestada, tähendaks see, et Kakeya oletus oli kolmes mõõtmes tõsi.

Nad ei saanud lõpuni minna, kuid nad tegid mõningaid edusamme. Eelkõige näitasid nad (koos teiste matemaatikutega), et igal vastunäitel peab olema kaks omadust kolmest. See peab olema tasapinnaline, mis tähendab, et kui sirglõigud mingis punktis lõikuvad, asuvad need lõigud samuti peaaegu samal tasapinnal. See peab olema ka "teraline", mis eeldab, et lähedalasuvate lõikepunktide tasapinnad oleksid sarnaselt orienteeritud.

Nii jäi kolmas kinnistu. “Kleepuvas” komplektis peavad peaaegu samas suunas osutavad joonelõigud paiknema ka ruumis lähestikku. Katz ja Tao ei suutnud tõestada, et kõik vastunäited peavad olema kleepuvad. Kuid intuitiivselt tundub kleepuv komplekt olevat parim viis joonelõikude suure kattumise tekitamiseks, muutes seeläbi komplekti võimalikult väikeseks – täpselt see, mida vajate vastunäite loomiseks. Kui keegi suudaks näidata, et kleepuva Kakeya komplekti Minkowski mõõde on väiksem kui 3, lükkaks see 3D Kakeya oletuse ümber. "Kõlab nagu "kleepuv" oleks kõige murettekitavam juhtum," ütles Larry Guth Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist.

See pole enam mure.

Kleepumispunkt

Aastal 2014 - rohkem kui kümme aastat pärast seda, kui Katz ja Tao püüdsid tõestada Kakeya oletust - Tao postitas oma lähenemisviisi ülevaate oma ajaveebis, andes teistele matemaatikutele võimaluse seda ise proovida.

Aastal 2021, Hong Wang, matemaatik New Yorgi ülikoolist ja Joshua Zahl Briti Columbia ülikoolis otsustas ta jätkata sealt, kus Tao ja Katz pooleli jäid.

Nad alustasid sellest, et oletasid kleepuva vastunäite olemasolu, mille Minkowski mõõde on alla 3. Nad teadsid varasemast tööst, et selline vastunäide peab olema tasapinnaline ja teraline. "Seega olime sellises maailmas, millele Terry Tao ja Nets Katz mõtlesid," ütles Zahl. Nüüd pidid nad näitama, et tasapinnalised, teralised ja kleepuvad omadused mängisid üksteist välja ja viisid vastuoluni, mis tähendaks, et seda vastunäidet ei saanud tegelikult eksisteerida.

Selle vastuolu saamiseks pöörasid Wang ja Zahl aga oma tähelepanu suunas, mida Katz ja Tao ei osanud oodata – projektsiooniteooriana tuntud piirkonna poole.

Nad alustasid oma kleepuva vastunäite struktuuri üksikasjaliku analüüsiga. Kui arvestada komplekti idealiseeritud versiooni, on sellel lõpmatu arv igas suunas osutavaid joonelõike. Kuid selle probleemi puhul pidage meeles, et tegemist on nende joonelõikude nuumatud versioonidega – hunniku nõeltega. Kõik need nõelad võivad sisaldada paljusid idealiseeritud joonelõike, mis tähendab, et saate kogu lõpmatu komplekti kodeerida piiratud arvu nõeltega. Sõltuvalt nõelte jämedusest võib teie nuumatud komplekt välja näha väga erinev.

Kui komplekt on kleepuv, näeb see enam-vähem sama välja, olenemata sellest, kui jämedad nõelad on.

Wang ja Zahl kasutasid seda omadust, et näidata, et nõelte õhemaks muutudes muutub komplekt üha tasasemaks. Selle protsessi kaudu võisid nad "välja võtta veelgi patoloogilisema objekti," ütles Zahl - midagi, millel näis olevat võimatud omadused.

Seda nad järgmisena näitasid. Nad tõestasid, et see patoloogiline objekt pidi välja nägema ühte kahest viisil, mis mõlemad viisid vastuoludeni. Võiksite selle projitseerida 2D-ruumi viisil, mis muudab selle paljudes suundades palju väiksemaks – midagi, mida Wang ja tema kolleegid just olid. osutunud võimatuks. Või teisel juhul korraldatakse komplektis olevad nõelad väga spetsiifilise funktsiooni järgi, mida Zahl ja tema kaastöötajad olid hiljuti tõestanud. ei saanud eksisteerida, sest see tooks kaasa muud tüüpi prognoosid, millel pole mõtet.

Wangil ja Zahlil oli nüüd oma vastuolu – see tähendab, et Kakeya oletustele pole kleepuvaid vastunäiteid. (Nad näitasid seda mitte ainult Minkowski mõõtme, vaid ka sellega seotud suuruse, mida nimetatakse Hausdorffi dimensiooniks.) "Tulemus välistab kogu selle vastunäidete klassi," ütles Zahl – matemaatikud pidasid kõige tõenäolisemalt ümberlükkavat komplekti tüüpi. oletus.

Uus töö "toetab tugevalt Kakeya oletuse tõesust," ütles Pablo Shmerkin Briti Columbia ülikoolist. Kuigi see kehtib ainult kolmemõõtmelise juhtumi puhul, võivad mõned selle tehnikad olla kasulikud kõrgemate mõõtmete puhul. Pärast seda, kui matemaatikud on aastaid veetnud edusamme oletustes teistes arvusüsteemides, on matemaatikud põnevil naasmisest probleemi algse reaalarvude valdkonda.

"On tähelepanuväärne, et nad lahendasid selle juhtumi täielikult," ütles Zhang. "Tegelikus keskkonnas on see äärmiselt haruldane." Ja kui keegi suudab tõestada, et vastunäide peab olema kleepuv, tähendab uus tulemus täielikku oletust kolmes mõõtmes. Selle kohale ehitatud oletuste hierarhia jääb siis turvaliseks, selle alus on stabiilne.

"Millegipärast sobivad need kaks erinevat projektsiooniteooria probleemi, millel pole üksteisega palju pistmist, päris kenasti kokku, et anda täpselt see, mida Kakeya jaoks vaja oli," ütles Zahl.