منحنی های بیضوی اسرار خود را در یک سیستم اعداد جدید نشان می دهند | مجله کوانتا

بسیاری از پیشرفت‌های پیچیده در ریاضیات تحقیقاتی با تمایل به درک برخی از ساده‌ترین سؤالات در مورد اعداد تحریک می‌شوند. اعداد اول چگونه در اعداد صحیح توزیع می شوند؟ آیا مکعب های کاملی وجود دارد (مانند 8 = 2³ یا 27 = 3³) که می توان آن را به صورت مجموع دو مکعب دیگر نوشت؟ به طور کلی، ریاضیدانان ممکن است بخواهند یک معادله را حل کنند. اما اغلب انجام این کار با دستکاری خود معادله غیرممکن است. در عوض، ریاضیدانان راه‌هایی را برای اتصال راه‌حل‌ها به ساختارهای انتزاعی وحشیانه‌ای که پیچیدگی اسرار آنها را رمزگذاری می‌کند، پیدا می‌کنند.

در طول چند دهه گذشته، یکی از هیجان انگیزترین رشته های تحقیق در ریاضیات از این شکل پیروی کرده است. این شامل درک رابطه بین انواع معینی از معادلات چند جمله ای به نام منحنی های بیضوی و اشیاء باطنی تر به نام اشکال مدولار است که در سال 1994 هنگامی که اندرو وایلز از آنها برای اثبات آخرین قضیه فرما استفاده کرد، در میان مشهورترین نتایج قرن بیستم، در ریاضیات برجسته شد. ریاضیات

ژانویه گذشته، آنا کاراییانی امپریال کالج لندن و دانشگاه بن و جیمز نیوتن دانشگاه آکسفورد رگه جدیدی از تحقیقات را در این زمینه گشود وقتی ثابت کردند رابطه ای که وایلز بین منحنی های بیضوی و اشکال مدولار برقرار کرده بود برای برخی از اشیاء ریاضی به نام میدان های درجه دوم خیالی نیز صادق است.

وایلز ثابت کرد که انواع خاصی از منحنی‌های بیضوی مدولار هستند - به این معنی که شکل مدولار خاصی وجود دارد که مربوط به هر منحنی است - وقتی دو متغیر و دو ضریب درگیر در تعریف منحنی همه اعداد گویا هستند، مقادیری که می‌توان آنها را به صورت کسری نوشت. پس از کار او، ریاضیدانان تلاش کردند تا مدولار بودن را در زمینه های متنوع تری ایجاد کنند. در سال 2001، چهار ریاضیدان ثابت کردند که همه منحنی‌های بیضوی نسبت به اعداد گویا مدولار هستند (در حالی که وایلز این را فقط برای برخی از منحنی‌ها ثابت کرده بود). در سال 2013، سه ریاضیدان از جمله سمیر سیکسک دانشگاه وارویک ثابت کرد که منحنی های بیضوی نیز مدولار هستند بیش از میدان های درجه دوم واقعی  (به این معنی که متغیرها و ضرایب از یک سیستم عددی به نام میدان درجه دوم واقعی گرفته شده اند).

با افزایش پیشرفت ها، یک هدف خاص دور از دسترس باقی ماند: اثبات اینکه منحنی های بیضوی مدولار هستند بر روی میدان های درجه دوم خیالی.

فیلدهای درجه دوم یک پله ریاضی بین اعداد گویا و اعداد واقعی هستند که شامل هر عدد اعشاری ممکن است، حتی آنهایی که دارای الگوهای بی نهایت در سمت راست نقطه اعشار هستند که هرگز تکرار نمی شوند. (این شامل همه اعداد غیرمنطقی مانند $latex sqrt{2}$ یا $latex pi $ می‌شود.)

فیلدهای درجه دوم تعدادی عدد صحیح را انتخاب می کنند - مثلاً 5 - و شامل همه اعداد شکل $latex a + bsqrt{5}$ می شود که در آن a و b هر دو عدد گویا هستند اگر عدد صحیح مورد نظر مثبت باشد، میدان درجه دوم حاصل زیرمجموعه ای از اعداد واقعی است، بنابراین به عنوان یک میدان درجه دوم واقعی شناخته می شود.

در مورد منحنی‌های بیضوی که روی میدان‌های درجه دوم خیالی تعریف می‌شوند - آنهایی که با گرفتن جذر یک عدد منفی تشکیل می‌شوند، چطور؟

این مشکلی است که کاراییانی و نیوتن با آن برخورد کردند.

صدها سال پیش، ریاضیدانان جذر اعداد منفی را به روشی ساده تعریف کردند: آنها یک نام دادند، i، به جذر −1. سپس جذر هر عدد منفی دیگر فقط است i برابر جذر عدد مثبت مربوطه. بنابراین $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. اعداد خیالی نقش مهمی در ریاضیات بازی می‌کنند، زیرا برای بسیاری از مسائل، کار با آن‌ها آسان‌تر از اعداد واقعی است.

اما اثبات مدولار بودن منحنی‌های بیضوی بر روی میدان‌های درجه دوم خیالی مدت‌ها دور از دسترس باقی مانده است، زیرا تکنیک‌های اثبات مدولار بودن بر روی میدان‌های درجه دوم واقعی کار نمی‌کنند.

کاراییانی و نیوتن به مدولار بودن - برای همه منحنی‌های بیضوی بیش از نیمی از تمام میدان‌های درجه دوم خیالی - دست یافتند که چگونه می‌توان فرآیندی را برای اثبات مدولار بودن که توسط وایلز و دیگران پیشگام بود با منحنی‌های بیضوی بر روی میدان‌های درجه دوم تخیلی تطبیق داد.

"اینجا بود که کار زیبای Caraiani و نیوتن وارد شد. آنها مرحله دوم Wiles را بهبود بخشیدند." چندراسخار خاره از دانشگاه کالیفرنیا، لس آنجلس.

این کار در نوع خود یک دستاورد فنی است و دری را برای پیشرفت در برخی از مهمترین سؤالات ریاضی در محیط خیالی باز می کند.

خواستگار، خواستگار

حداقل از زمان یونانیان باستان، ریاضیدانان به حل معادلات چند جمله‌ای - ترکیبی از متغیرها با توان ثابت - اهمیت می‌دادند. معادلات انواع بی پایانی دارند که با تنظیم کمیت متغیرها، ضرایب آن متغیرها و توانی که به آن ها افزایش می یابد، به دست می آیند. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ تنها یک مثال است.

منحنی های بیضوی معادلات چند جمله ای هستند که در سطح بهینه سختی برای تحقیق ریاضی قرار دارند. مرتب هست (و به طور گسترده تدریس می شود) فرمول یافتن جواب چند جمله ای های درجه دوم در یک متغیر، که در آن بالاترین توان 2 است، اما چنین فرمولی برای حل چند جمله ای هایی که بالاترین توان آن 5 یا بالاتر است، وجود ندارد. اضافه کردن متغیرهای بیشتر به طور کلی کار را پیچیده تر می کند. اما منحنی‌های بیضوی، که دارای دو متغیر هستند و بالاترین توان آن‌ها 3 است، مانند $لاتکس (y^2=x^3+1)$، به اندازه‌ای چالش برانگیز هستند که اختراع را القا کنند، بدون اینکه آنقدر سخت باشند که احساس ناامیدی کنند.

یکی از سؤالات اساسی در مورد منحنی بیضوی این است که آیا به طور متناهی یا بی نهایت جفت گویا وجود دارد که آن را حل می کند؟ برخی از منحنی‌های بیضوی دارای راه‌حل‌های منطقی محدود هستند، برخی دیگر بی‌نهایت تعداد زیادی راه‌حل دارند، و برخی دیگر هیچ‌کدام را ندارند.

کاریانی گفت: «آنها این نوع رفتار متوسط ​​خنده دار را دارند.

اگر منحنی بیضی تصادفی به شما داده شود، بلافاصله مشخص نیست که در کدام دسته قرار می گیرد. اما می توان آن را با جفت کردن آن با یک شی منطبق به نام شکل مدولار رمزگشایی کرد، که ویژگی های آن پاسخ را نشان می دهد.

یک فرم مدولار مرا بگیر

فرم های مدولار توابعی هستند که در تجزیه و تحلیل، یک شکل پیشرفته از حساب دیفرانسیل و انتگرال مورد مطالعه قرار می گیرند. آن ها هستند بسیار متقارن و اغلب می توان آن را ترجمه کرد - به چپ یا راست منتقل کرد - بدون از دست دادن ظاهر. به این ترتیب آنها دارای ویژگی های مشترک با سایر توابع بسیار متقارن، مانند تابع سینوسی هستند، اگرچه نوشتن یا تجسم آنها ساده نیست.

هر فرم مدولار دارای ضرایبی است. می توانید آنها را یادداشت کنید و یک سری اعداد تولید کنید. این اعداد خواص بسیار خوبی دارند و به نظر تصادفی نیستند. آنها در اوایل قرن بیستم، زمانی که نابغه ریاضی سرینیواسان رامانوجان شروع به درک این موضوع کرد که الگوهای ضرایب یک فرم مدولار با این واقعیت توضیح داده می شود که هر شکل مدولار به نوع دومی از شی به نام نمایش گالوا متصل است، ریاضیدانان را ابهام کردند. . کار بعدی پیوند را تأیید کرد.

منحنی‌های بیضوی همچنین دارای نمایش‌های گالوا هستند، و پس از کار رامانوجان، به نظر می‌رسید که می‌توان بازنمایی‌های گالوا را بین منحنی‌های بیضوی و شکل‌های مدولار درون یابی کرد: با یکی شروع کنید، نمایش گالوی آن را شناسایی کنید، دیگری را پیدا کنید.

"شما به نوعی فکر می کنید: منحنی های بیضی، اجسام از هندسه، بازنمایی های گالوا دارند، و فرم های مدولار دارای نمایش های گالوا هستند - آیا مطابقت دارد؟" سیکسک گفت.

در اواخر دهه 1950، یوتاکا تانیاما و گورو شیمورا پیشنهاد کردند که تطابق کامل 1 به 1 بین فرم های مدولار خاص و منحنی های بیضوی وجود دارد. دهه بعد رابرت لانگلندز بر اساس این ایده در ساخت خود بنا کرد برنامه گسترده Langlands، که به یکی از گسترده ترین و پیامدترین برنامه های تحقیقاتی در ریاضی تبدیل شده است.

اگر مطابقت 1 به 1 درست باشد، به ریاضیدانان مجموعه ای قدرتمند از ابزارها برای درک راه حل های منحنی های بیضوی می دهد. برای مثال، نوعی مقدار عددی مرتبط با هر فرم مدولار وجود دارد. یکی از مهم ترین مسائل باز ریاضی (اثبات آن با الف جایزه میلیون دلاری) - حدس توس و سوینرتون-دایر - پیشنهاد می‌کند که اگر آن مقدار صفر باشد، منحنی بیضوی مرتبط با آن شکل مدولار بی‌نهایت راه‌حل‌های منطقی دارد و اگر صفر نباشد، منحنی بیضی دارای راه‌حل‌های منطقی محدودی است.

اما قبل از اینکه بتوان با چنین چیزی مقابله کرد، ریاضیدانان باید بدانند که این مطابقت وجود دارد: یک منحنی بیضوی را به من بدهید، و من می‌توانم شکل مدولار مطابق آن را به شما تحویل دهم. اثبات این چیزی است که بسیاری از ریاضیدانان، از وایلز گرفته تا کاراییانی و نیوتن، در چند دهه گذشته به آن پرداخته اند.

از طریق کتاب خود نگاه کنید

قبل از کار وایلز، ریاضی‌دانان موفق شده بودند یک جهت از تناظر را ثابت کنند: در برخی موارد می‌توانستند با یک فرم مدولار شروع کنند و منحنی بیضوی منطبق را پیدا کنند. اما رفتن در جهت دیگر - که منظور ریاضیدانان وقتی از مدولار بودن منحنی های بیضوی صحبت می کنند - سخت تر بود و وایلز اولین کسی بود که به آن دست یافت.

خار گفت: "مردم قبلی می دانستند که چگونه تحت شرایط خاص چگونه از یک فرم مدولار به یک بیضوی بروند، اما این جهت معکوس از بیضوی به مدولار همان چیزی بود که انگیزه وایلز بود."

وایلز مدولار بودن را برای برخی از انواع منحنی های بیضوی با ضرایبی که اعداد گویا هستند ثابت کرد. این به خودی خود برای اثبات آخرین قضیه فرما از طریق یک تناقض کافی بود. (وایلز ثابت کرد که اگر آخرین قضیه فرما نادرست باشد، به معنای وجود یک منحنی بیضوی است که کار قبلی ایجاد کرده بود نمی تواند وجود داشته باشد. بنابراین، آخرین قضیه فرما باید درست باشد.)

همانطور که ریاضیدانان کار وایلز را بر روی منحنی های بیضوی گسترش دادند، از همان روشی که او برای اثبات نتیجه اولیه خود استفاده کرده بود، پیروی کردند.

پس از موفقیت در تعمیم نتیجه به اعداد گویا و میدان های درجه دوم گویا، گسترش آشکار بعدی به میدان های درجه دوم خیالی بود.

کاریانی گفت: "فقط دو چیز می تواند اتفاق بیفتد: میدان یا واقعی است یا خیالی." "مورد واقعی قبلاً درک شده بود، بنابراین طبیعی است که به پرونده خیالی برویم."

میدان‌های درجه دوم خیالی همان ویژگی‌های اساسی حسابی اعداد گویا و واقعی را دارند، اما روش وایلز را نمی‌توان به همین راحتی در آنجا پیوند داد. دلایل زیادی وجود دارد، اما به طور خاص، فرم های مدولار در میدان های درجه دوم تخیلی بسیار کمتر از متقارن بودن آنها بر روی منطق ها و واقعیات هستند. این عدم تقارن نسبی، تعریف بازنمایی‌های Galois آنها را دشوارتر می‌کند، که کلید ایجاد تطابق با منحنی بیضوی است.

خار گفت: سال‌ها پس از اثبات فرما وایلز، «مورد میدان‌های درجه دوم خیالی هنوز فراتر از حد ممکن بود». اما در دهه گذشته، یک سری پیشرفت ها راه را برای کار کاریانی و نیوتن آماده کردند.

برای من یک حلقه (یا بهتر از آن، یک میدان) بیاور

اولین قدم در روش وایلز ایجاد یک تطابق تقریبی بین منحنی‌های بیضوی و فرم‌های مدولار بود. این دو از طریق نمایش‌های Galois که در یک سری اعداد رمزگذاری شده‌اند، به هم متصل می‌شوند که به طور منحصربه‌فرد در هر دو طرف جفت‌سازی منشا می‌گیرند.

در نهایت می‌خواهید نشان دهید که اعدادی که نمایش‌های Galois را تعریف می‌کنند دقیقاً مطابقت دارند، اما در این مرحله اول کافی است نشان دهید که آنها با مقداری حاشیه خطا متفاوت هستند. به عنوان مثال، اگر بتوانید مضرب 3 را جمع یا تفریق کنید تا از هر عدد به عدد مربوطه آن برسید، می توانید ثابت کنید که یک سری از اعداد مطابقت دارند. در این پرتو، (4، 7، 2) با (1، 4، 5) یا با (7، 10، 8) مطابقت دارد، اما نه با (2، 8، 3). همچنین می‌توانید بگویید که اگر با مضرب 5، 11 یا هر عدد اول متفاوت باشند، مطابقت دارند (به دلایل فنی اما مهم، حاشیه خطا همیشه باید اول باشد). یک 2019 مقاله by پاتریک آلن، خاره و جک تورن این نوع پایش را برای مشکل ارائه کرد.

نیوتن گفت: «آنها قضایایی را به اثبات رساندند که شما را از جایی برای شروع می‌دهد.

تقریباً در همان زمانی که مقاله 2019 در حال انجام بود، گروهی متشکل از 10 ریاضیدان در تلاش بودند تا مراحل دیگری از روش وایلز را برای میدان‌های درجه دوم خیالی بسازند. این همکاری در طول یک هفته در موسسه مطالعات پیشرفته آغاز شد و شامل آلن و تورن - نویسندگان مشترک مقاله 2019 - و همچنین کاراییانی و نیوتن بود.

اولین هدف این گروه این بود که نشان دهد که نمایش‌های Galois که از فرم‌های مدولار می‌آیند دارای نوعی سازگاری درونی هستند. این ویژگی - که پیش نیاز تطبیق آنها با نمایش های Galois حاصل از منحنی های بیضوی است - نامیده می شود. سازگاری محلی و جهانی.

همکاری 10 نفره موفق به انجام این کار شد در برخی موارد خاص، اما نه بیشتر. با پایان یافتن همکاری، کاراییانی و نیوتن تصمیم گرفتند به همکاری با یکدیگر ادامه دهند تا ببینند آیا می توانند کارهای بیشتری انجام دهند یا خیر.

کاریانی گفت: «ما در همان زمان در لندن بودیم و از صحبت کردن با یکدیگر در مورد چیزهایی که در آن پروژه 10 نویسنده نشان داده شد، لذت بردیم. ما می‌دانستیم که چه موانعی وجود دارد و چه موانعی برای ادامه مسیر وجود دارد.»

شب پس از شب در تاریکی 

مدت کوتاهی پس از اینکه کاراییانی و نیوتن به تنهایی شروع به کار کردند، راهبردی برای فراتر رفتن از کاری که با گروه بزرگتر آغاز کرده بودند، پیدا کردند. ظاهراً اشتباه به نظر نمی رسید، اما آنها همچنین نمی دانستند که آیا واقعاً کار می کند یا خیر.

نیوتن گفت: «ما با این ایده خوشبینانه شروع کردیم که همه چیز درست خواهد شد، اینکه می‌توانیم چیزی قوی‌تر از این مقاله 10 نویسنده را ثابت کنیم، و در نهایت انجام دادیم.

کاریانی و نیوتن به مدت دو سال روی این ایده کار کردند و تا پایان سال 2021 خوش‌بینی آنها نتیجه داد: آنها نتیجه سازگاری محلی-جهانی ساخته شده توسط تیم 10 نویسنده را بهبود بخشیدند. آنها توضیح می دهند که چگونه در یک بخش طولانی و فنی که شامل نیمه اول مقاله نهایی آنها است که بیش از 100 صفحه است.

کاریانی گفت: «ما می‌دانستیم که وقتی این قطعه فنی را در جای خود داشته باشیم، ماژولار بودن در بازی وجود خواهد داشت.

اولین گام روش وایلز ایجاد نوعی مدولار بودن تقریبی بود. مرحله دوم نتیجه سازگاری محلی-جهانی بود. گام سوم این بود که دانش خود را در مورد ماژولار بودن حداقل تعداد کمی از منحنی ها به کار گیرند و از آن برای اثبات مدولار بودن بسیاری از منحنی ها استفاده کنند. این حرکت به دلیل آنچه قضیه بالا بردن مدولاریته نامیده می شود امکان پذیر شد.

نیوتن گفت: "این به شما امکان می دهد ماژولار بودن را در اطراف خود گسترش دهید." «اگر ماژولار بودن چیزی را می‌دانید، این بلند کردن [از] چیزها به شما اجازه می‌دهد تا ماژولار بودن بسیاری از چیزهای دیگر را نجات دهید. شما به نوعی این ویژگی مدولار بودن را به روشی خوب منتشر می کنید.

یک مسابقه بی همتا

به کار بردن قضیه بالا بردن به کاراییانی و نیوتن اجازه داد تا مدولار بودن بی‌نهایت منحنی‌های بیضوی را ثابت کنند، اما هنوز موارد گوشه‌ای وجود داشت که نتوانستند به دست آورند. اینها تعداد انگشت شماری از منحنی‌های بیضوی با ویژگی‌های منحصربه‌فرد بودند که آنها را برای قضیه بلند کردن غیرقابل دسترس می‌کرد.

اما از آنجایی که تعداد بسیار کمی از آنها وجود داشت، کاراییانی و نیوتن می‌توانستند با دست به آنها حمله کنند - نمایش‌های گالوی خود را یک به یک محاسبه کردند تا تلاش کنند و یک مسابقه را ایجاد کنند.

کاریانی گفت: «آنجا ما به نوعی از محاسبه نقاط و نقاط زیادی در برخی از منحنی ها لذت بردیم.

تلاش تا حدی موفقیت آمیز بود. کاراییانی و نیوتن در نهایت موفق شدند ثابت کنند که تمام منحنی‌های بیضوی بیش از نیمی از میدان‌های درجه دوم فرضی مدولار هستند، از جمله میدان‌هایی که از ترکیب اعداد گویا با جذر -1، -2، -3 یا -5 تشکیل شده‌اند. برای سایر میدان‌های درجه دوم خیالی، آنها توانستند مدولار بودن را برای بسیاری از منحنی‌های بیضوی، اما نه همه، ثابت کنند. (مدولار بودن نگهدارنده ها همچنان یک سوال باز است.)

نتایج آن‌ها پایه‌ای برای بررسی برخی از سؤالات اساسی در مورد منحنی‌های بیضوی بر روی میدان‌های درجه دوم خیالی است که ریاضی‌دانان در مورد منطق‌ها و واقعیات دنبال می‌کنند. این شامل نسخه خیالی آخرین قضیه فرما می شود - هرچند که پیش از دستیابی به آن باید مقدمات بیشتری فراهم شود - و نسخه خیالی حدس توس و سوینرتون-دایر.

اما اگر ریاضیدانان در هر دو مکان پیشرفت کنند، کاراییانی بخشی از آن نخواهد بود - حداقل در حال حاضر. پس از سال ها کار بر روی مدولار بودن منحنی های بیضوی، او آماده است تا چیز دیگری را امتحان کند.

او گفت: «اگر در یک جهت نتیجه بگیرم، همیشه دوست ندارم فقط در آن جهت کار کنم. "بنابراین اکنون من علایقم را به چیزی با طعم هندسی بیشتر تغییر داده ام."

اصلاح: ژوئیه 6، 2023
این مقاله در ابتدا گفت که هیچ فرمول کلی برای حل یک معادله چند جمله ای که بالاترین توان آن 4 یا بالاتر است وجود ندارد. عدد صحیح 5 است. مقاله تصحیح شده است.