هندسه ساده پشت براونی ها و مساحت های برابر

جینا، دانشجوی هندسه، دیشب تا دیروقت بیدار ماند و تکالیفش را در حین تماشا انجام داد بریتانیا پخته کردن، بنابراین وقتی بالاخره به رختخواب رفت ذهن خواب آلودش هنوز پر از کیک و قطب نما بود. این به یک رویای غیرمعمول منجر شد.

جینا خود را داور Great Brownie Bake Off در دانشگاه تخیلی یافت، مدرسه‌ای که دانش‌آموزان بسیاری از هندسه را یاد می‌گیرند اما حساب را بسیار کم می‌آموزند. تیم‌های دانش‌آموز Imaginary U وظیفه داشتند بزرگ‌ترین قهوه‌ای را که می‌توانستند درست کنند، و تعیین برنده به عهده جینا بود.

تیم آلفا اولین نفری بود که به پایان رسید و آنها با افتخار قهوه ای مستطیلی خود را برای داوری ارائه کردند. جینا یک خط کش بیرون آورد و براونی را اندازه گرفت: طول آن 16 اینچ و عرض آن 9 اینچ بود. تیم بتا به سرعت با براونی مربعی خود که هر طرف 12 اینچ اندازه داشت دنبال کرد. از آن زمان بود که دردسر شروع شد.

کاپیتان تیم آلفا گفت: "براونی ما خیلی بلندتر از شماست." مال ما به وضوح بزرگتر است، بنابراین ما برنده هستیم!

نماینده ای از تیم بتا گفت: "اما ضلع کوتاه مستطیل شما بسیار کوتاهتر از ضلع مربع ما است." میدان ما به وضوح بزرگتر است. ما برنده شده ایم!"

بحث کردن در مورد این موضوع برای جینا عجیب بود. او گفت: "مساحت براونی مستطیل شکل 9 ضربدر 16 است که 144 اینچ مربع است." مساحت براونی مربع 12 ضربدر 12 است که آن هم 144 اینچ مربع است. براونی ها هم اندازه هستند: کراوات است.»

هر دو تیم گیج به نظر می رسیدند. یکی از دانش‌آموزان که هرگز ضرب را آموزش نداده بود، گفت: «منظور شما را از «زمان‌ها» متوجه نمی‌شوم. دیگری گفت: «نه من. نفر سوم گفت: "من در مورد دانش آموزانی که در کالج مجتمع یک بار از اعداد استفاده می کنند شنیدم، اما این به چه معناست؟" دانشگاه تخیلی واقعاً مکان عجیبی بود، حتی با وجود رویاها.

جینا باید چه کار می کرد؟ او چگونه می‌توانست تیم‌ها را متقاعد کند که اندازه‌های قهوه‌ای آنها یکسان است، اگر آنها نمی‌دانستند که چگونه مساحت را اندازه‌گیری کنند و اعداد را ضرب کنند؟ خوشبختانه جینا ایده نابغه ای داشت. او گفت: یک چاقو به من بده.

جینا 12 اینچ سمت دراز براونی مستطیلی شکل را اندازه گرفت و برشی موازی با ضلع کوتاه ایجاد کرد. این مستطیل بزرگ را به دو مستطیل کوچکتر تبدیل کرد: یکی به ابعاد 9 در 12 و دیگری 9 در 4. او با سه برش سریع، قطعه 9 در 4 را به سه قطعه کوچکتر 3 در 4 تبدیل کرد. کمی تنظیم مجدد منجر به صدای اوه ها و آه های شنیدنی از سوی جمعیت شد: جینا مستطیل را به یک کپی دقیق از مربع تبدیل کرده بود.

هر دو تیم اکنون باید توافق می کردند که براونی های آنها یک اندازه است. با تشریح یکی و مرتب کردن مجدد آن برای تشکیل دیگری، جینا نشان داد که دو براونی مساحت کل یکسانی را اشغال کرده‌اند. کالبد شکافی هایی مانند این برای هزاران سال در هندسه مورد استفاده قرار گرفته اند تا نشان دهند که اندازه ها یکسان هستند و نتایج قابل توجه زیادی در مورد کالبد شکافی و معادل سازی وجود دارد. حتی امروزه ریاضیدانان هنوز از کالبد شکافی و بازآرایی برای درک کامل زمانی که برخی اشکال معادل هستند استفاده می کنند که منجر به نتایج شگفت انگیز اخیر می شود.

احتمالاً هنگام ایجاد فرمول های مساحت برای اشکال پایه، کالبد شکافی هندسی را در کلاس ریاضی دیده اید. به عنوان مثال، ممکن است به یاد داشته باشید که مساحت یک متوازی الاضلاع برابر است با طول قاعده آن ضربدر ارتفاع آن: این به این دلیل است که متوازی الاضلاع را می توان تشریح کرد و مجدداً به یک مستطیل مرتب کرد.

این کالبد شکافی نشان می دهد که مساحت متوازی الاضلاع برابر با مساحت مستطیلی با قاعده و ارتفاع یکسان است که همانطور که هرکسی در دانشگاه خیالی شرکت نکرده است می داند که حاصلضرب آن دو عدد است.

وقتی صحبت از Imaginary U شد، کیک براونی بزرگ تازه داشت داغ می‌شد. تیم گاما با یک براونی مثلثی بزرگ نزدیک شد. آنها جسورانه اعلام کردند: "اینجا برنده است." "هر دو طرف ما بسیار طولانی تر از بقیه هستند."

جینا پهلوها را اندازه گرفت. "این هم همین منطقه را دارد!" او فریاد زد. "این یک مثلث قائم الزاویه است، و اندازه پاها 18 و 16 است، و بنابراین منطقه ..." جینا برای لحظه ای مکث کرد و متوجه نگاه های مبهوت چهره همه شد. "اوه بی خیال. فقط چاقو را به من بده.»

جینا به طرز ماهرانه ای از نقطه میانی هیپوتنوس تا وسط پای بلندتر را برش داد، سپس مثلث تازه تشکیل شده را به گونه ای چرخاند که وقتی در قطعه بزرگتر قرار می گیرد، مستطیل کاملی می سازد.

"این دقیقا همان قهوه ای ماست!" تیم آلفا گریه کرد. مطمئناً، مستطیل حاصل 9 در 16 بود: دقیقاً به اندازه ی آنها.

تیم بتا شک داشت. اما چگونه این مثلث با مربع ما مقایسه می شود؟ رهبر تیم آنها پرسید.

جینا برای آن آماده بود. ما قبلاً می دانیم که اندازه مستطیل و مربع یکسان هستند، بنابراین از نظر گذر، مثلث و مربع یک اندازه هستند. گذرا بودن یکی از مهم ترین ویژگی های برابری است: می گوید که اگر a = b و b = c، و سپس a = c. جینا ادامه داد: اگر مساحت براونی اول با مساحت براونی دوم و مساحت براونی دوم برابر با مساحت براونی سوم باشد، اولین و سومین براونی نیز باید مساحت های مساوی داشته باشند.

اما جینا با کالبد شکافی آنقدر سرگرم بود که در آنجا متوقف شد. یا فقط می‌توانیم چند برش دیگر انجام دهیم.»

ابتدا جینا مستطیلی را که قبلا مثلث بود چرخاند. سپس با استفاده از همان الگوی که روی مستطیل تیم آلفا استفاده کرده بود، آن را برش داد.

سپس او نشان داد که چگونه می‌توان این برش جدید مثلث تیم گاما را به مربع تیم بتا تبدیل کرد، دقیقاً همانطور که با مستطیل تیم آلفا انجام داده بود.

در این موقعیت می گوییم که مثلث و مربع "قیچی همخوانی دارند": می توانید تصور کنید که از قیچی برای بریدن یک شکل به تعداد محدودی که می توان آنها را دوباره مرتب کرد و دیگری را تشکیل داد، استفاده کرد. در مورد مثلث و مربع، قهوه ای ها دقیقاً نحوه عملکرد این همخوانی قیچی را نشان می دهند.

توجه داشته باشید که این الگو در هر جهت کار می کند: می توان از آن برای تبدیل مثلث به مربع یا مربع به مثلث استفاده کرد. به عبارت دیگر، همخوانی قیچی متقارن است: اگر شکل A قیچی با شکل B همخوانی دارد، شکل B نیز قیچی متجانس با شکل A است.

در واقع، استدلال فوق که شامل مثلث، مستطیل و مربع است نشان می دهد که همخوانی قیچی نیز متعدی است. از آنجایی که مثلث قیچی با مستطیل و مستطیل هم قیچی با مربع است، مثلث هم قیچی با مربع است. اثبات در الگوها است: فقط آنها را روی شکل میانی قرار دهید، همانطور که با مستطیل بالا انجام شد.

اگر مثلث را به قطعاتی برش دهید که مستطیل را می سازند، سپس مستطیل را به قطعاتی برش دهید که مربع را تشکیل دهند، قطعات به دست آمده را می توان برای تشکیل هر یک از سه شکل استفاده کرد.

این واقعیت که همخوانی قیچی متعدی است در قلب یک نتیجه شگفت انگیز است: اگر دو چند ضلعی مساحت یکسانی داشته باشند، آنگاه قیچی همخوان هستند. این بدان معنی است که با توجه به هر دو چند ضلعی با مساحت یکسان، همیشه می توانید یکی را به تعداد محدودی از قطعات برش دهید و آنها را دوباره مرتب کنید تا دیگری بسازید.

اثبات این قضیه قابل توجه نیز بسیار ساده است. ابتدا هر چند ضلعی را به مثلث برش دهید.

دوم، هر مثلث را به یک مستطیل تبدیل کنید، شبیه به روشی که جینا براونی مثلثی را مرتب کرد.

اکنون بخش فنی دشوار می آید: هر مستطیل را به یک مستطیل جدید با عرض یک واحد تبدیل کنید.

برای انجام این کار، شروع به بریدن قطعاتی از مستطیل کنید که یک واحد عرض دارند.

اگر بتوانید مستطیل را به تعداد یکپارچه قطعات با عرض 1 برش دهید، کارتان تمام شده است: فقط آنها را روی هم قرار دهید. در غیر این صورت وقتی آخرین قطعه بین 1 تا 2 واحد عرض داشت از خرد کردن خودداری کنید و بقیه را روی هم بچینید.

اگر عرض خود مستطیل کمتر از 1 واحد است نگران نباشید: فقط آن را از وسط برش دهید و از دو تکه آن برای ایجاد یک مستطیل جدید با طول دو برابر و نیم ضخامت استفاده کنید. در صورت لزوم این کار را تکرار کنید تا زمانی که یک مستطیل بین 1 تا 2 واحد داشته باشید.

حال تصور کنید که این مستطیل نهایی دارای ارتفاع باشد h و عرض w، با 1 w < 2. ما آن مستطیل را برش می دهیم و آن را به یک مستطیل با عرض 1 و ارتفاع مرتب می کنیم. h × w. برای انجام این کار، روی آن قرار دهید h × w مستطیل با دلخواه hw × 1 مستطیل مانند این.

سپس از گوشه ای به گوشه دیگر در امتداد خط نقطه برش دهید و مثلث کوچک پایین سمت راست را به دنبال لبه سمت راست برش دهید. hw × 1 مستطیل.

این قطع می کند h × w مستطیل به سه تکه است که می توان آنها را مجدداً به شکل یک مرتب کرد hw × 1 مستطیل. (توجیه این تشریح نهایی مستلزم برخی استدلال های هوشمندانه شامل مثلث های مشابه است. برای جزئیات به تمرین های زیر مراجعه کنید.)

در نهایت، این مستطیل آخر را در بالای پشته قرار دهید، و با موفقیت این چند ضلعی - واقعاً، هر چند ضلعی - را به یک مستطیل با عرض 1 تبدیل کرده اید.

حال اگر مساحت چندضلعی اصلی بود A، پس ارتفاع این مستطیل باید باشد A، بنابراین هر چند ضلعی با مساحت A قیچی با یک مستطیل با عرض 1 و ارتفاع همخوانی دارد A. یعنی اگر دو چند ضلعی مساحت داشته باشند A، پس هر دو قیچی همخوان با یک مستطیل هستند، بنابراین از نظر گذرا قیچی با یکدیگر همخوانی دارند. این نشان می دهد که هر چند ضلعی با مساحت A قیچی با هر چندضلعی دیگر با مساحت همخوانی دارد A.

اما حتی این نتیجه قدرتمند برای تکمیل موفقیت آمیز داوری Brownie Bake Off دانشگاه Imaginary کافی نبود. هنوز یک ورودی باقی مانده بود و هیچ کس از آنچه تیم پی با آن ظاهر شد شگفت زده نشد.

لحظه ای که جینا دید آن دایره در حال آمدن است، با عرق سرد از خواب بیدار شد. او می‌دانست که غیرممکن است که یک دایره را به قطعات بسیار محدود برش دهیم و آنها را دوباره مرتب کنیم تا مربع، مستطیل یا هر چند ضلعی تشکیل شود. در سال 1964 ریاضیدانان لستر دوبینز، موریس هیرش و جک کاروش ثابت کردند که یک دایره قیچی با هیچ چندضلعی همخوانی ندارد. رویای جینا به یک کابوس هندسی تبدیل شده بود.

اما همانطور که همیشه به نظر می رسد، ریاضیدانان این مانع را به ریاضیات جدید تبدیل کردند. در سال 1990 Miklós Laczkovich ثابت کرد که می‌توان یک دایره را برش داد و آن را به شکل مربع دوباره مرتب کرد، تا زمانی که بتوانید از قطعات بی‌نهایت کوچک، بی‌نهایت جدا شده و بی‌نهایت دندانه‌دار استفاده کنید که احتمالاً با یک جفت قیچی تولید نمی‌شوند.

به همان اندازه که نتیجه لاکزکوویچ شگفت‌انگیز و هیجان‌انگیز بود، تنها ثابت کرد که چنین تجزیه‌ای از نظر تئوری امکان‌پذیر است. نحوه ساخت قطعات را توضیح نمی داد، فقط می توانست وجود داشته باشد. جایی که آندراس ماته، اولگ پیخورکو و جاناتان نوئل وارد شدند: در اوایل سال 2022 آنها یک مقاله ارسال کرد که در آن آنها با دستاورد لاکزوویچ مطابقت داشتند، اما با قطعاتی که امکان تجسم آنها وجود دارد.

متأسفانه، نمی‌توانید از نتایج آن‌ها برای حل و فصل هر گونه عارضه براونی استفاده کنید. قیچی به تنهایی نمی تواند 10 را تولید کند²⁰⁰ قطعات مورد نیاز در تجزیه آنها. اما این یک گام دیگر به جلو در پاسخ به یک سری سؤالات طولانی است که از زمانی شروع شد که ارشمیدس برای اولین بار لاتکس $pi$ را اختراع یا کشف کرد. و ما را به سمت اختراع یا کشف ریاضیات جدیدی که نسل‌های قبلی نمی‌توانستند رویای آن را ببینند، نگه می‌دارد.

تمرینات

1. توضیح دهید که چگونه می دانیم که در استخراج فرمول مساحت متوازی الاضلاع، مثلثی که بریده ایم کاملاً در فضای طرف دیگر متوازی الاضلاع قرار می گیرد.

2. توضیح دهید که چرا هر مثلثی را می توان به یک مستطیل تقسیم کرد.

برای تمرینات 3 و 4، نمودار مورد استفاده برای نشان دادن اینکه a را در نظر بگیرید h × w مستطیل قیچی با یک است hw × 1 مستطیل، با نقاط برچسب گذاری شده.

3. توضیح دهید که چرا مثلث لاتکس $ XYQ شبیه $latexriangle$ است ABX. این طول از چه چیزی است QY?

4. توضیح دهید که چرا مثلث لاتکس $ PCX مطابق با مثلث لاتکس $ است AZQ.