Kvantti Goemans-Williamson -algoritmi Hadamardin testillä ja likimääräisillä amplitudirajoitteilla

Kvantti Goemans-Williamson -algoritmi Hadamardin testillä ja likimääräisillä amplitudirajoitteilla

Aikaleima: 12. heinäkuuta 2023 klo 8

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2ja Susanne F. Yelin1

1Fysiikan laitos, Harvardin yliopisto, Cambridge, Massachusetts 02138, USA
2NVIDIA, Santa Clara, California 95051, USA
3Tietojenkäsittelyn ja matemaattisten tieteiden laitos (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 USA

Onko tämä artikkeli mielenkiintoinen vai haluatko keskustella? Scite tai jätä kommentti SciRate.

Abstrakti

Puolimääräiset ohjelmat ovat optimointimenetelmiä, joilla on laaja valikoima sovelluksia, kuten vaikeita kombinatorisia ongelmia. Yksi tällainen puolimääräinen ohjelma on Goemans-Williamson-algoritmi, suosittu kokonaislukurelaksaatiotekniikka. Esittelemme variaatiokvanttialgoritmin Goemans-Williamson-algoritmille, joka käyttää vain $n{+}1$ kubittia, vakiomäärää piirivalmisteluja ja $text{poly}(n)$ odotusarvoja, jotta voidaan likimääräisesti ratkaista puolimääräisiä ohjelmia, joissa on jopa $N=2^n$ muuttujaa ja $M rajoituksia (N)$. Tehokas optimointi saavutetaan koodaamalla objektiivimatriisi oikein parametroiduksi unitaariksi, joka on ehdollinen apukubitille, tekniikka, joka tunnetaan nimellä Hadamard-testi. Hadamard-testin avulla voimme optimoida tavoitefunktion estimoimalla vain yhden oheiskubitin odotusarvon sen sijaan, että arvioitaisiin erikseen eksponentiaalisesti monta odotusarvoa. Samalla tavalla havainnollistetaan, että puolimääräiset ohjelmointirajoitukset voidaan panna tehokkaasti täytäntöön toteuttamalla toinen Hadamard-testi sekä asettamalla polynomimäärä Paulin merkkijonoamplitudirajoituksia. Osoitamme protokollamme tehokkuuden suunnittelemalla Goemans-Williamson-algoritmin tehokkaan kvanttitoteutuksen erilaisiin NP-koviin ongelmiin, mukaan lukien MaxCut. Menetelmämme ylittää analogisten klassisten menetelmien suorituskyvyn GSet-kirjaston hyvin tutkittujen MaxCut-ongelmien osajoukossa.

Kvantti-Goemans-Williamson-algoritmi Hadamard-testillä ja likimääräisillä amplitudirajoituksilla PlatoBlockchain-tietoäly. Pystysuuntainen haku. Ai.

Suositeltu kuva: HTAAC-QSDP:n kaavio Goemans-Williamson-algoritmille $n=3$ ei-apukubitilla. a) Klassinen $N$-muuttujien ongelma (tässä $N$-vertex MaxCut-tehtävä, jossa $N=8$). Painomatriisia $W$ käytetään unitaarin $U_W$ luomiseen. b) Hadamardin testiä käytetään arvioimaan tehokkaasti tavoitefunktiota ja populaation tasapainottamista koskevia rajoituksia. $n$-qubit-tila $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ valmistetaan variaatiokvanttipiirillä $U_V$. $n+1$th (apu) qubit alustetaan muodossa $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Tämän jälkeen suoritetaan Hadamard-testi: $U_W$ toteutetaan ohjattuna yksikkönä, joka on ehdollinen apukubitille, joka sitten mitataan laskemaan $langle sigma_{n+1} range_{W,t} = text{Im}[langle psi|U_W|psi range]$ tai [Im}[langle psi|U_W|psi rangele]$ tai ranga_langle text {s+m. psi|U_P|psi range]$. c) $M=1^n$ SDP:n amplitudirajoitukset pakotetaan likimäärin vain $m sim text{poly}(n)$ Pauli-merkkijonorajoitteilla. Nämä lasketaan keräämällä $n$-qubit Pauli-$z$ mittauksia ja käyttämällä marginaalitilastoja arvioimaan $m$ odotusarvot.

Suosittu yhteenveto

Puolimääräisten ohjelmien avulla voimme arvioida laajan valikoiman vaikeita ongelmia, mukaan lukien NP-kovat ongelmat. Yksi tällainen puolimääräinen ohjelma on Goemans-Williamson-algoritmi, joka voi ratkaista vaikeita ongelmia, kuten MaxCut. Esittelemme variaatiokvanttialgoritmin Goemans-Williamson-algoritmille, joka käyttää vain $n{+}1$ kubittia, vakiomäärää piirivalmisteluja ja polynomimääräistä odotusarvoa, jotta voidaan likimääräisesti ratkaista puolimääräisiä ohjelmia eksponentiaalisella määrällä muuttujia ja rajoituksia. Koodaamme ongelman kvanttipiiriin (tai unitaariin) ja luemme sen yhdellä lisäkubitilla, joka tunnetaan Hadamardin testinä. Vastaavasti havainnollistetaan, että ongelman rajoitukset voidaan toteuttaa 1) toisella Hadamardin testillä ja 2) Paulin merkkijonorajoitusten polynomimäärällä. Osoitamme protokollamme tehokkuuden suunnittelemalla Goemans-Williamson-algoritmin tehokkaan kvanttitoteutuksen erilaisiin NP-koviin ongelmiin, mukaan lukien MaxCut. Menetelmämme ylittää analogisten klassisten menetelmien suorituskyvyn hyvin tutkittujen MaxCut-ongelmien monipuolisessa osajoukossa.

► BibTeX-tiedot

► Viitteet

[1] Stephen P. Boyd ja Lieven Vandenberghe. "Kupera optimointi". Cambridge Press. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michel X. Goemans. "Semidefinite ohjelmointi kombinatorisessa optimoinnissa". Mathematical Programming 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe ja Stephen Boyd. "Puolimääräisen ohjelmoinnin sovellukset". Applied Numerical Mathematics 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park ja Jin Wang. "Np-kovien perusongelmien parametrisoidut algoritmit: tutkimus". Ihmiskeskeinen Computing and Information Sciences 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Christoph Helmberg. "Semidefinite ohjelmointi kombinatoriseen optimointiin". Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans ja David P. Williamson. "Parannetut approksimaatioalgoritmit maksimileikkaus- ja tyydyttävyysongelmiin käyttämällä puolimääräistä ohjelmointia". J. ACM 42, 1115-1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / +227683.227684

[7] Florian A. Potra ja Stephen J. Wright. "Sisäpistemenetelmät". Journal of Computational and Applied Mathematics 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan ja Zhao Song. "Nopeampi sisäpistemenetelmä puolimääräiseen ohjelmointiin". Vuonna 2020 IEEE:n 61. vuotuinen symposium tietojenkäsittelytieteen perusteista (FOCS). Sivut 910-918. IEEE (2020).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao ja Ruizhe Zhang. "SDP:n ratkaiseminen nopeammin: Vankka ipm-kehys ja tehokas toteutus". Vuonna 2022 IEEE:n 63. vuosisymposiumi tietojenkäsittelytieteen perusteista (FOCS). Sivut 233-244. IEEE (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson ja David B. Shmoys. "Approksimaatioalgoritmien suunnittelu". Cambridge University Press. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn jne. "Kvanttioptimointi käyttämällä variaatioalgoritmeja lähiajan kvanttilaitteissa". Quantum Science and Technology 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann ja Michael Sipser. "Kvanttilaskenta adiabaattisen evoluution avulla" (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: kvant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash ja Daniel A. Lidar. "Adiabaattinen kvanttilaskenta". Rev. Mod. Phys. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar jne. "Maksimimman riippumattoman joukon kvanttioptimointi rydbergin atomimatriiseilla". Science 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki ja Hidetoshi Nishimori. "Kvanttihehkutus poikittaismallissa". Phys. Rev. E 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Elizabeth Gibney. "D-aallon päivitys: Kuinka tiedemiehet käyttävät maailman kiistanalaisinta kvanttitietokonetta". Nature 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone ja Sam Gutmann. "Kvanttilikimääräinen optimointialgoritmi". arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt jne. "Kvanttipiirit, joissa on monia fotoneja ohjelmoitavalla nanofotonisella sirulla". Nature 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore ja Xiaodi Wu. "Kvantti-SDP-ratkaisijat: suuret nopeudet, optimaalisuus ja sovellukset kvanttioppimiseen". 46. ​​kansainvälinen kollokviumi automaateista, kielistä ja ohjelmoinnista (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn ja András Gilyén. "Parannuksia kvantti-sdp-ratkaisuun sovelluksilla". Proceedings of the 46th International Colloquium on Automata, Languages, and Programming (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling ja Ronald de Wolf. "Kvantti-sdp-ratkaisijat: paremmat ylä- ja alarajat". Quantum 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão ja Krysta M. Svore. "Kvanttinopeudet puolimääräisten ohjelmien ratkaisemiseen". Vuonna 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Sivut 415-426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng ja Daniel Stilck França. "Nopeammat kvantti- ja klassiset SDP-approksimaatiot neliölliseen binäärioptimointiin". Quantum 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles ja Mark M. Wilde. "Variational quantum algoritms for semidefinite programming" (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low ja Nathan Wiebe. "Variaatiokvanttialgoritmi kvanttigibbs-tilojen valmisteluun" (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi ja Susanne F Yelin. "Markov-ketjun monte carlon tehostetut variaatiokvanttialgoritmit". Quantum Science and Technology 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li ja Xin Wang. "Variational quantum gibbs -tilan valmistelu typistetyllä taylor-sarjalla". Physical Review Applied 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan ja Satyen Kale. "Kertopainojen päivitysmenetelmä: meta-algoritmi ja sovellukset". Theory of Computing 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Iordanis Kerenidis ja Anupam Prakash. "Kvanttisisäpistemenetelmä lps:lle ja sdps:lle". ACM Transactions on Quantum Computing 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / +3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky ja Luis F. Zuluaga. "Kvanttisisäpistemenetelmät puolimääräiseen optimointiin" (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio ja Patrick J. Coles. "Variaatiokvanttialgoritmit". Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral ja Leong-Chuan Kwek. "Noisy intermediate-scale kvanttialgoritmi semidefinite ohjelmointi". Phys. Rev. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennart Bittel ja Martin Kliesch. "Variaatiokvanttialgoritmien kouluttaminen on np-kovaa". Phys. Rev. Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush ja Hartmut Neven. "Karut tasangot kvanttihermoverkkojen koulutusmaisemissa". Nature Communications 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová ja Nathan Wiebe. "Soittumisen aiheuttamat karut tasangot". PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao ja Susanne F. Yelin. "Setanglementin suunniteltu karu tasangon lieventäminen". Phys. Rev. Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger ja Patrick J. Coles. "Huovien tasankojen puuttuminen kvanttikonvoluutiohermoverkoissa". Phys. Rev. X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharonov, Vaughan Jones ja Zeph Landau. "Polynomi-kvanttialgoritmi Jones-polynomin approksimointiin". Algorithmica 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. komentaja. "Maksimileikkausongelma, maksimileikkausongelma, maksimileikkausongelma". Sivut 1991-1999. Springer USA. Boston, MA (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb ja Xiong Zhang. "Sekoitettu lineaarinen ja puolimääräinen ohjelmointi kombinatoriseen ja neliölliseen optimointiin". Optimization Methods and Software 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / +10556789908805761

[41] Changhui Choi ja Yinyu Ye. "Harvien puolimääräisten ohjelmien ratkaiseminen kaksoisskaalausalgoritmilla iteratiivisella ratkaisijalla". Käsikirjoitus, Hallintotieteiden laitos, Iowan yliopisto, Iowa City, IA 52242 (2000). URL-osoite: web.stanford.edu/​ yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angelika Wiegele. "Biq mac -kirjasto – kokoelma keskikokoisia maksimileikkauksia ja neliöllisiä 0-1 ohjelmointiesiintymiä". Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. "Sekattujen semidefinite-quadratic-lineaaristen ohjelmien dimacs-kirjasto". 7. DIMACSin käyttöönottohaaste (2007). URL-osoite: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. "Max-cut-ongelman vertailu simuloidussa bifurkaatiokoneessa". Keskikokoinen (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. "Pelnettävyys kombinatoristen ongelmien joukossa". Springer USA. Boston, MA (1972).

[46] Dimitri P Bertsekas. "Rajoitettu optimointi ja lagrange-kerroinmenetelmät". Akateeminen lehdistö. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Paris ja Massimiliano F Sacchi. "Kvanttitomografia". Advances in imaging and elektronphysics 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: kvant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini ja Paolo Perinotti. "Optimaalinen kvanttitomografia". IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady ja Daniel FV James. "Numeeriset strategiat kvanttitomografialle: vaihtoehdot täydelliselle optimoinnille". Phys. Rev. A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Javier Peña. "Ensimmäisen asteen menetelmien konvergenssi konveksin konjugaatin kautta". Operations Research Letters 45, 561–564 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.orl.2017.08.013

[51] Alan Frieze ja Mark Jerrum. "Parannetut approksimaatioalgoritmit maxk-leikkaukselle ja maksimipuolijalle". Algorithmica 18, 67-81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Clark David Thompson. "Monimutkaisuusteoria vlsille". Tohtorin väitöskirja. Carnegie Mellonin yliopisto. (1980). url: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li ja Felip Manya. "Maxsat, kovat ja pehmeät rajoitukset". Tyytyväisyyden käsikirjassa. Sivut 903-927. IOS Press (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Nicholas J Higham. "Lähimmän korrelaatiomatriisin laskeminen – rahoituksen ongelma". IMA Journal of Numerical Analysis 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. "Positiivisten puolimääräisten korrelaatiomatriisien estimointi käyttämällä konveksia neliömääräistä puolimääräistä ohjelmointia". Neural Computation 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todd MJ. "Tutkimus hakusuunnista primal-dual interior-point menetelmissä semidefinite programming". Optimointimenetelmät ja ohjelmistot 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / +10556789908805745

[57] Roger Fletcher. "Rangaistustoiminnot". Matemaattinen ohjelmointi The State of Art: Bonn 1982, sivut 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Robert M Freund. "Rangaistus- ja estemenetelmät rajoitettuun optimointiin". Lecture Notes, Massachusetts Institute of Technology (2004). url: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Eric Ricardo Anschuetz. "Kvanttigeneratiivisten mallien kriittiset pisteet". Kansainvälisessä oppimisrepresentaatioiden konferenssissa. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Amir Beck. "Ensimmäisen asteen menetelmät optimoinnissa". SIAM. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / +1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora ja Satyen Kale. "Kombinatorinen, primaali-kaksoislähestymistapa puolimääräisiin ohjelmiin". J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / +2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin ja Anima Anandkumar. "Tensorly-quantum: Kvanttikoneoppiminen tensorimenetelmillä" (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Yannis Panagakis, Anima Anandkumar ja Maja Pantic. "Tensorly: Tensor learning in python". Journal of Machine Learning Research 20, 1–6 (2019). URL-osoite: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: / / jmlr.org/ papers / v20 ​​/ 18-277.html

[64] cuQuantum Team. "Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11" (2022).

[65] Diederik P. Kingma ja Jimmy Ba. "Adam: Menetelmä stokastiseen optimointiin" (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Brahim Chaourar. "Lineaarinen aikaalgoritmi maksimileikkausongelman variantille sarjan rinnakkaisissa kaavioissa". Advances in Operations Research (2017).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Juri Makarychev. "Lyhyt todiste kuratowskin graafin tasoisuuskriteeristä". Journal of Graph Theory 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Béla Bollobás. "Satunnaisten kaavioiden kehitys – jättiläinen komponentti". Sivut 130–159. Cambridgen matematiikan opinnot. Cambridge University Press. (2001). 2 painos.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger ja Marek Karpinski. "Polynomiajan approksimaatiomallit np-kovien ongelmien tiheille esiintymille". Journal of Computer and System Sciences 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Rick Durrett. "Erdös–rényi satunnaiset graafit". Sivut 27–69. Cambridge-sarja tilastollisessa ja todennäköisyyslaskennassa. Cambridge University Press. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary Chartrand ja Ping Zhang. "Kromaattinen graafiteoria". Taylor ja Francis. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / +9781584888017

[72] John van de Wetering. "Zx-laskenta toimivalle kvanttitietotekniikan tutkijalle" (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons ja Seyon Sivarajah. "Vaihegadget-synteesi matalille piireille". Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe ja Shuchen Zhu. "Teoria ravivirheestä kommutaattorin skaalauksella". Phys. Rev. X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk ja John J Bollinger. "Suunniteltu kaksiulotteinen muodostumisvuorovaikutus loukkuun jääneessä kvantti-imulaattorissa, jossa on satoja kierroksia". Nature 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner jne. "Monen kappaleen dynamiikan tutkiminen 51 atomin kvanttisimulaattorilla". Nature 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. "Viimeaikainen edistys kvanttisimulaatiossa suprajohtavia piirejä käyttäen". Journal of Low Temperature Physics 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita ja Maho Nakata. "Suorituskykyinen yleinen ratkaisija erittäin suuriin puolimääräisiin ohjelmointiongelmiin". Julkaisussa SC '12: Proceedings of the International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis. Sivut 1-11. (2012).
https: / / doi.org/ 10.1109 / SC.2012.67

[79] Adrian S. Lewis ja Michael L. Overton. "Omaarvon optimointi". Acta Numerica 5, 149-190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin ja Xiao Yuan. "Lineaarialgebran variaatioalgoritmit". Science Bulletin 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Viitattu

Ei voitu noutaa Crossref siteeratut tiedot viimeisen yrityksen aikana 2023-07-12 14:07:40: Ei voitu noutaa viittauksia 10.22331 / q-2023-07-12-1057 mainittuihin tietoihin Crossrefiltä. Tämä on normaalia, jos DOI rekisteröitiin äskettäin. Päällä SAO: n ja NASA: n mainokset tietoja teosten viittaamisesta ei löytynyt (viimeinen yritys 2023-07-12 14:07:40).

Tämä kirja on julkaistu Quantum - lehdessä Creative Commons Nimeäminen 4.0 Kansainvälinen (CC BY 4.0) lisenssin. Tekijänoikeudet säilyvät alkuperäisillä tekijänoikeuksien haltijoilla, kuten tekijöillä tai heidän instituutioillaan.

Aikaleima:

Lisää aiheesta Quantum Journal