Un diplômé de première année trouve un ensemble de nombres paradoxaux | Quanta Magazine

Les mathématiciens se réjouissent lorsqu'ils prouvent que des choses apparemment impossibles existent. Tel est le cas d'un nouvelle preuve mis en ligne en mars par Cédric Piatte, étudiant diplômé de première année à l'Université d'Oxford.

Pilatte a prouvé qu'il est possible de créer un ensemble — une collection de nombres — qui satisfasse deux propriétés apparemment incompatibles. La première est qu'il n'y a pas deux paires de nombres dans l'ensemble qui totalisent le même total. Par exemple, additionnez deux nombres quelconques dans {1, 3, 5, 11} et vous obtiendrez toujours un nombre unique. Il est facile de construire de petits ensembles "Sidon" comme celui-ci, mais à mesure que le nombre d'éléments augmente, la probabilité que les sommes coïncident augmente également, détruisant l'aspect Sidon de l'ensemble.

La deuxième exigence est que l'ensemble doit être très grand. Il doit être infini et vous devriez pouvoir générer n'importe quel nombre suffisamment grand en additionnant au plus trois nombres dans l'ensemble. Cette propriété, qui fait de l'ensemble une « base asymptotique d'ordre 3 », nécessite un ensemble important et dense de nombres. "Ils tirent dans des directions opposées", a déclaré Pilatte. « Les ensembles de Sidon sont contraints d'être petits, et une base asymptotique est contrainte d'être grande. Ce n'était pas évident que ça puisse marcher. »

La question de savoir si un tel ensemble existe a traîné pendant des décennies, depuis qu'il a été posé par le prolifique mathématicien hongrois Paul Erdős et deux collaborateurs en 1993. La fascination d'Erdős pour les ensembles de Sidon peut être attribuée à une conversation qu'il a eue en 1932 avec leur inventeur Simon Sidon, qui à l'époque était intéressé à comprendre le taux de croissance de ces ensembles. (Erdős décrira plus tard Sidon comme "plus fou que le mathématicien moyen", ce qu'il voulait presque certainement dire comme un compliment.)

Les ensembles de Sidon apparaissent dans une variété de contextes mathématiques, y compris la théorie des nombres, la combinatoire, l'analyse harmonique et la cryptographie, mais la simple question de savoir quelle taille ils peuvent atteindre a été un mystère persistant qu'Erdős a réfléchi pendant une grande partie de sa carrière. Erdős s'est rendu compte très tôt que les ensembles de Sidon étaient extrêmement difficiles à mettre à l'échelle. En 1941, lui et un autre mathématicien prouvé que le plus grand ensemble de Sidon possible dont les membres sont tous inférieurs à un entier N doit être inférieur à la racine carrée de N plus un terme qui croît proportionnellement à la quatrième racine de N. (En 1969, Bernt Lindström montrerait qu'il est plus petit que $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, et en 2021 un autre groupe de mathématiciens resserré la limite à $latex sqrt{N}+0.998 fois sqrt[4]{N}$.) En d'autres termes, les ensembles de Sidon doivent être clairsemés.

On sait depuis longtemps qu'un ensemble de Sidon ne peut pas être une base asymptotique d'ordre 2, où tout entier peut être exprimé comme la somme d'au plus deux nombres. (Les nombres impairs, par exemple, forment une base d'ordre 2.) Comme Pilatte l'a expliqué, c'est si simple à montrer que les mathématiciens n'ont pas pris la peine de l'écrire : "Cet ordre 2 est impossible était probablement connu bien avant qu'il ne soit explicitement écrit dans la littérature." Il a expliqué que c'est parce que "les séquences de Sidon ne peuvent pas dépasser une certaine densité, alors que les bases asymptotiques d'ordre 2 sont toujours plus denses que ce seuil, de sorte que les deux propriétés ne peuvent pas être maintenues à la fois".

On croyait généralement qu'une base asymptotique d'ordre 3 pouvait être construite à partir d'un ensemble de Sidon, mais prouver cela était une autre affaire. "Les gens pensaient que cela devait être vrai", a déclaré le conseiller de Pilatte James Maynard. "Mais il y avait une difficulté avec les techniques que nous utilisions."

Quelques progrès avaient été réalisés avant que Pilatte ne relève le défi. En 2010, le mathématicien hongrois Sándor Kiss montré qu'un ensemble de Sidon peut être une base asymptotique d'ordre 5 - ce qui signifie que tout entier suffisamment grand peut être écrit comme la somme d'au plus cinq éléments de l'ensemble - et en 2013 Kiss et deux de ses collègues prouvé la conjecture pour une base asymptotique d'ordre 4. Deux ans plus tard, le mathématicien espagnol Javier Cilleruelo pris ces résultats un pas de plus en prouvant qu'il est possible de construire un ensemble de Sidon qui soit une base asymptotique d'ordre 3 + e, ce qui signifie que tout entier suffisamment grand N peut être écrit comme la somme de quatre membres de l'ensemble de Sidon, avec l'un d'eux plus petit que N^e pour un positif arbitrairement petit e.

Ces résultats ont été obtenus en utilisant des variantes d'une méthode probabiliste mise au point par Erdős qui consiste à générer un ensemble aléatoire d'entiers et à le modifier légèrement pour créer un ensemble qui satisfait les deux propriétés.

Pilatte s'est rendu compte que la méthode probabiliste avait été poussée aussi loin qu'elle pouvait aller. "Vous pouvez obtenir une base d'ordre 4 en utilisant des méthodes probabilistes, mais vous ne pouvez pas obtenir une base d'ordre 3", a-t-il déclaré. "Cela échoue tout simplement."

Pilatte a donc adopté une approche différente, se tournant plutôt vers une procédure qui utilise les logarithmes des nombres premiers comme éléments constitutifs des ensembles de Sidon. Développé par le théoricien hongrois des nombres Imre Rouzsa et les Cilleruelo, cette approche donne des ensembles de Sidon plus grands et plus denses que la méthode probabiliste, dont Pilatte avait besoin pour créer une base d'ordre inférieur qui obéissait également à la propriété de Sidon. Mais la méthode nécessitait une facilité avec des nombres premiers qui manquait même aux plus grands experts du monde. "Vous auriez besoin d'une compréhension des nombres premiers qui va au-delà de tout ce que nous avons", a déclaré Pilatte. "Alors ce n'était pas bon."

La recherche d'une solution a emmené Pilatte dans une direction inattendue, loin de la théorie additive des nombres et dans le monde de la géométrie algébrique, une branche des mathématiques qui étudie la relation entre les formes géométriques, comme les courbes et les surfaces, et les équations qui les définissent. Utilisant une idée de Cilleruelo, Pilatte a commencé par remplacer les nombres par des polynômes, ce qui a immédiatement rendu le problème plus facile à résoudre.

Un polynôme est une expression algébrique composée d'une somme de termes, dont chacun est un produit d'un coefficient constant et d'une ou plusieurs variables élevées à des puissances entières non négatives. Les termes peuvent être combinés en utilisant l'addition, la soustraction et la multiplication. Par exemple, 3x² + 22x + 35 est un polynôme à trois termes. Factoriser un polynôme signifie le décomposer en un produit d'autres polynômes plus simples. Dans cet exemple, 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Un polynôme irréductible - qui ne peut pas être factorisé - est l'analogue d'un nombre premier.

Échanger des nombres entiers contre des variables et des coefficients peut sembler étrange, mais ils ont plus en commun que vous ne le pensez. "Il s'avère que les polynômes se comportent de manière très similaire aux nombres entiers", a déclaré le collègue de Pilatte à Oxford. Thomas Bloom. "Je peux les additionner, les soustraire, les multiplier, les diviser." Et à certains égards, les mathématiciens comprennent bien mieux les polynômes que les nombres. "Toutes ces choses qui, avec les nombres premiers, ressemblent à de la science-fiction pour nous sont connues dans le monde polynomial", a déclaré Maynard.

L'utilisation d'un résultat récent par le mathématicien de l'Université de Columbia Est-ce que Sawin sur la distribution des polynômes irréductibles dans les progressions arithmétiques, Pilatte a pu construire un ensemble qui possédait juste la bonne quantité de hasard et juste la bonne densité de nombres pour satisfaire les contraintes d'Erdős.

"J'étais extrêmement heureux", a déclaré Pilatte. "Je rejoins le groupe de personnes ici qui ont résolu un problème d'Erdős, et c'est amusant."

Mais ce qui le ravit le plus, c'est la façon surprenante dont il est arrivé à la solution. "C'est cool que ces techniques très profondes de la géométrie algébrique puissent également être utilisées pour cette question simple et concrète sur les ensembles de nombres", a-t-il déclaré.

Les problèmes d'Erdő ont un talent étrange pour déterrer des liens entre des branches des mathématiques supposées sans rapport, et les découvertes que font les mathématiciens en essayant d'y répondre sont souvent plus significatives que les réponses elles-mêmes. "Ils sont trompeurs quant à leur profondeur, et la solution de Cédric en est un excellent exemple", a déclaré Bloom. "Je suis sûr qu'Erdős aurait été ravi."

Correction: Le 5 juin 2023
Cet article donnait à l'origine un exemple d'un ensemble Sidon qui n'est pas réellement un ensemble Sidon. Cet exemple a été supprimé.