जटिल क्वांटम सिस्टम के लिए डाहलम केंद्र, फ़्री यूनिवर्सिटी बर्लिन, जर्मनी
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सार
यादृच्छिक क्वांटम सर्किट के अनुप्रयोग क्वांटम कंप्यूटिंग और क्वांटम कई-बॉडी सिस्टम से लेकर ब्लैक होल के भौतिकी तक होते हैं। इन अनुप्रयोगों में से कई क्वांटम छद्म यादृच्छिकता की पीढ़ी से संबंधित हैं: यादृच्छिक क्वांटम सर्किट को एकात्मक $t$-डिजाइनों का अनुमान लगाने के लिए जाना जाता है। एकात्मक $t$-डिज़ाइन संभाव्यता वितरण हैं जो $t$th क्षणों तक Haar यादृच्छिकता की नकल करते हैं। एक मौलिक पेपर में, ब्रैंडो, हैरो और होरोडेकी साबित करते हैं कि गहराई $O(nt^{10.5})$ की एक ईंटवर्क वास्तुकला में qubits पर यादृच्छिक क्वांटम सर्किट अनुमानित एकात्मक $t$-डिजाइन हैं। इस काम में, हम इस तर्क पर फिर से विचार करते हैं, जो $Omega(n^{-1}t^{-9.5})$ द्वारा स्थानीय यादृच्छिक क्वांटम सर्किट के लिए पल ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय अंतर को कम करता है। हम इस निचली सीमा को $Omega(n^{-1}t^{-4-o(1)})$ तक सुधारते हैं, जहां $o(1)$ टर्म $0$ के रूप में $ttoinfty$ हो जाता है। इस स्केलिंग का एक सीधा परिणाम यह है कि यादृच्छिक क्वांटम सर्किट अनुमानित एकात्मक $t$-डिजाइन को गहराई $O(nt^{5+o(1)})$ में उत्पन्न करते हैं। हमारी तकनीकों में गाओ का क्वांटम संघ बाध्य और क्लिफोर्ड समूह की अनुचित प्रभावशीलता शामिल है। एक सहायक परिणाम के रूप में, हम Haar यादृच्छिक एकल qubit इकाइयों के साथ इंटरलीव किए गए यादृच्छिक क्लिफोर्ड इकाइयों के लिए Haar माप के लिए तेजी से अभिसरण साबित करते हैं।
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