बिलियर्ड्स टेबल का रहस्यमय गणित | क्वांटा पत्रिका

डिज़्नी की 1959 की फ़िल्म में Mathmagic भूमि में डोनाल्ड, डोनाल्ड डक, बिलियर्ड्स की ज्यामिति के वर्णनकर्ता के वर्णन से प्रेरित होकर, क्यू गेंद पर ऊर्जावान प्रहार करता है, अंत में इच्छित गेंदों को हिट करने से पहले इसे टेबल के चारों ओर रिकोशेटिंग भेजना। डोनाल्ड पूछते हैं, "आपको गणित के लिए यह कैसा लगता है?"

क्योंकि आयताकार बिलियर्ड टेबल में चार दीवारें समकोण पर मिलती हैं, डोनाल्ड जैसे बिलियर्ड प्रक्षेपवक्र पूर्वानुमानित और अच्छी तरह से समझे जाते हैं - भले ही उन्हें व्यवहार में लागू करना मुश्किल हो। हालाँकि, अनुसंधान गणितज्ञ अभी भी अन्य बहुभुज (सपाट पक्षों के साथ आकार) के आकार में तालिकाओं पर बिलियर्ड गेंदों के संभावित प्रक्षेपवक्र के बारे में बुनियादी सवालों का जवाब नहीं दे सकते हैं। यहां तक ​​कि बहुभुजों में सबसे सरल त्रिभुज, अभी भी रहस्य बने हुए हैं।

क्या किसी गेंद को हिट करना हमेशा संभव है ताकि वह एक तथाकथित आवधिक कक्षा बनाते हुए, उसी दिशा में यात्रा करते हुए अपने शुरुआती बिंदु पर लौट आए? किसी को नहीं मालूम। अन्य, अधिक जटिल आकृतियों के लिए, यह अज्ञात है कि गेंद को मेज के किसी भी बिंदु से मेज के किसी अन्य बिंदु तक मारना संभव है या नहीं।

हालाँकि ये प्रश्न ज्यामिति के दायरे में बिल्कुल फिट लगते हैं क्योंकि यह हाई स्कूल में पढ़ाया जाता है, लेकिन इन्हें हल करने के प्रयासों के लिए दुनिया के कुछ अग्रणी गणितज्ञों को डायनेमिक सिस्टम, टोपोलॉजी और डिफरेंशियल ज्योमेट्री सहित अलग-अलग क्षेत्रों से विचार लाने की आवश्यकता होती है। किसी भी महान गणित समस्या की तरह, इन समस्याओं पर काम ने नए गणित का निर्माण किया है और उन अन्य क्षेत्रों में ज्ञान को उन्नत किया है। फिर भी इस सारे प्रयास के बावजूद, और आधुनिक कंप्यूटरों ने जो अंतर्दृष्टि प्रदान की है, ये प्रतीत होने वाली सीधी-सादी समस्याएं समाधान का हठपूर्वक विरोध करती हैं।

डोनाल्ड डक के समय-समय पर उलझे हुए शॉट के बाद से गणितज्ञों ने बिलियर्ड्स के बारे में क्या सीखा है।

वे आम तौर पर मानते हैं कि उनकी बिलियर्ड गेंद एक असीम रूप से छोटा, आयामहीन बिंदु है और यह दीवारों से सही समरूपता के साथ उछलती है, उसी कोण पर प्रस्थान करती है, जैसा कि नीचे देखा गया है।

घर्षण के बिना, गेंद अनिश्चित काल तक यात्रा करती है जब तक कि वह एक कोने तक नहीं पहुंच जाती, जो गेंद को जेब की तरह रोक देता है। बिलियर्ड्स का गणितीय रूप से विश्लेषण करना इतना कठिन होने का कारण यह है कि एक कोने के दोनों ओर उतरने वाले दो लगभग समान शॉट्स के प्रक्षेप पथ बेतहाशा भिन्न हो सकते हैं।

बहुभुज बिलियर्ड्स का विश्लेषण करने की एक प्रमुख विधि यह सोचना नहीं है कि गेंद मेज के किनारे से उछल रही है, बल्कि यह कल्पना करना है कि हर बार जब गेंद दीवार से टकराती है, तो वह मेज की एक ताजा प्रति में यात्रा करती रहती है जो उसके ऊपर उलटी होती है। किनारा, एक दर्पण छवि का निर्माण। यह प्रक्रिया (नीचे देखी गई), जिसे बिलियर्ड पथ का खुलासा कहा जाता है, गेंद को एक सीधी रेखा प्रक्षेपवक्र में जारी रखने की अनुमति देती है। कल्पित तालिकाओं को उनके पड़ोसियों पर वापस मोड़कर, आप गेंद के वास्तविक प्रक्षेपवक्र को पुनः प्राप्त कर सकते हैं। यह गणितीय युक्ति प्रक्षेप पथ के बारे में उन चीज़ों को सिद्ध करना संभव बनाती है जिन्हें अन्यथा देखना चुनौतीपूर्ण होता।

उदाहरण के लिए, इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि सरल आयताकार तालिकाओं में प्रत्येक बिंदु के माध्यम से अनंत रूप से कई आवधिक प्रक्षेप पथ क्यों होते हैं। एक समान तर्क किसी भी आयत के लिए लागू होता है, लेकिन ठोसता के लिए, एक ऐसी तालिका की कल्पना करें जो लंबी की तुलना में दोगुनी चौड़ी हो।

मान लीजिए आप एक आवर्त कक्षा खोजना चाहते हैं जो तालिका को पार करती है n लंबी दिशा में समय और m छोटी दिशा में कई बार. चूँकि आयत की प्रत्येक दर्पण छवि दीवार से उछलती हुई गेंद से मेल खाती है, गेंद को एक ही दिशा में यात्रा करते हुए अपने शुरुआती बिंदु पर लौटने के लिए, इसके प्रक्षेपवक्र को दोनों दिशाओं में समान संख्या में तालिका को पार करना होगा। इसलिए m और n सम होना चाहिए. समान आयतों का एक ग्रिड बनाएं, प्रत्येक को उसके पड़ोसियों की दर्पण छवि के रूप में देखा जाए। मूल तालिका के एक बिंदु से कॉपी के समान बिंदु तक एक रेखाखंड बनाएं n टेबल दूर लंबी दिशा में और m छोटी दिशा में टेबल दूर। यदि पथ किसी कोने से होकर गुजरता है तो मूल बिंदु को थोड़ा समायोजित करें। यहाँ एक उदाहरण है जहाँ n = 2 और m = 6. जब वापस मुड़ा जाता है, तो पथ एक आवधिक प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है, जैसा कि हरे आयत में दिखाया गया है।

एक त्रिभुज असमानता

त्रिभुजों में बिलियर्ड्स, जिनमें आयतों की अच्छी समकोण ज्यामिति नहीं होती, अधिक जटिल है। जैसा कि आपको हाई स्कूल ज्यामिति से याद होगा, त्रिभुज कई प्रकार के होते हैं: न्यूनकोण त्रिभुज, जहां तीनों आंतरिक कोण 90 डिग्री से कम होते हैं; समकोण त्रिभुज, जिसका कोण 90 डिग्री होता है; और अधिक त्रिभुज, जिनका एक कोण 90 डिग्री से अधिक होता है।

न्यून और समकोण त्रिभुज के आकार की बिलियर्ड टेबल में आवधिक प्रक्षेप पथ होते हैं। लेकिन कोई नहीं जानता कि क्या यही बात अधिक त्रिभुजों के लिए भी सच है।

एक तीव्र त्रिभुज में एक आवधिक प्रक्षेपवक्र खोजने के लिए, प्रत्येक शीर्ष से विपरीत दिशा तक एक लंबवत रेखा खींचें, जैसा कि नीचे बाईं ओर देखा गया है। उन बिंदुओं को मिलाएँ जहाँ समकोण बनते हैं और एक त्रिभुज बनता है, जैसा कि दाईं ओर देखा गया है।

यह उत्कीर्ण त्रिभुज एक आवधिक बिलियर्ड प्रक्षेपवक्र है जिसे फाग्नानो कक्षा कहा जाता है, जिसका नाम जियोवानी फाग्नानो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1775 में दिखाया था कि इस त्रिभुज की परिधि सभी उत्कीर्ण त्रिभुजों में सबसे छोटी है।

1990 के दशक की शुरुआत में, वाशिंगटन विश्वविद्यालय में फ्रेड होल्ट और ग्रेगरी गैल्परिन और मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में उनके सहयोगी स्वतंत्र रूप से पता चला कि प्रत्येक समकोण त्रिभुज की आवर्ती कक्षाएँ होती हैं। इसे दिखाने का एक सरल तरीका यह है कि पहले एक पैर और फिर दूसरे पैर के बारे में त्रिभुज को प्रतिबिंबित करें, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

एक प्रक्षेपवक्र से प्रारंभ करें जो कर्ण (त्रिभुज की लंबी भुजा) के समकोण पर हो। कर्ण और उसका दूसरा प्रतिबिंब समानांतर हैं, इसलिए उन्हें जोड़ने वाला एक लंबवत रेखा खंड एक प्रक्षेपवक्र से मेल खाता है जो हमेशा के लिए आगे और पीछे उछलेगा: गेंद कर्ण को एक समकोण पर छोड़ती है, दोनों पैरों से उछलती है, दाएं कर्ण पर वापस आती है कोण, और फिर अपना मार्ग पुनः प्राप्त करता है।

लेकिन कुंठित त्रिकोण एक रहस्य बने हुए हैं। अपने 1992 के पेपर में, गैल्परिन और उनके सहयोगियों ने अधिक त्रिकोणों को प्रतिबिंबित करने के लिए कई तरह के तरीके पेश किए, जिससे आप आवधिक कक्षाएँ बना सकते हैं, लेकिन ये तरीके केवल कुछ विशेष मामलों के लिए ही काम करते हैं। फिर, 2008 में, रिचर्ड श्वार्ट्ज ब्राउन यूनिवर्सिटी में दिखाया गया कि सभी अधिक त्रिभुजों के साथ 100 डिग्री या उससे कम का कोण एक आवधिक प्रक्षेपवक्र शामिल करें। उनके दृष्टिकोण में समस्या को कई मामलों में विभाजित करना और पारंपरिक गणित और कंप्यूटर सहायता का उपयोग करके प्रत्येक मामले को सत्यापित करना शामिल था। 2018 में, जैकब गार्बर, बोयान मारिनोव, केनेथ मूर और अलबर्टा विश्वविद्यालय में जॉर्ज टोकार्स्की इस सीमा को बढ़ाया 112.3 डिग्री तक. (टोकर्स्की और मारिनोव एक दशक से अधिक समय बिताया था इस लक्ष्य का पीछा करते हुए।)

एक टोपोलॉजिकल टर्न

यह दिखाने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण का उपयोग किया गया है कि यदि सभी कोण तर्कसंगत हैं - अर्थात, उन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है - तो और भी बड़े कोण वाले अधिक कोण वाले त्रिभुजों में आवधिक प्रक्षेप पथ होने चाहिए। एक समतल समतल पर बहुभुज की नकल करने के बजाय, यह दृष्टिकोण टोपोलॉजिकल सतहों पर बहुभुज की प्रतियों को मैप करता है, डोनट्स में एक या अधिक छेद होते हैं।

यदि आप एक आयत को उसकी छोटी भुजा पर प्रतिबिंबित करते हैं, और फिर दोनों आयतों को उनकी सबसे लंबी भुजा पर प्रतिबिंबित करते हैं, जिससे मूल आयत के चार संस्करण बनते हैं, और फिर ऊपर और नीचे को एक साथ और बाएँ और दाएँ को एक साथ चिपका देते हैं, तो आपने एक डोनट बना लिया होगा, या टोरस, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। मेज पर बिलियर्ड प्रक्षेप पथ टोरस पर प्रक्षेप पथ के अनुरूप होते हैं, और इसके विपरीत।

1986 के एक ऐतिहासिक लेख में, हावर्ड मसूर इस तकनीक का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया कि तर्कसंगत कोणों वाली सभी बहुभुज तालिकाओं में आवधिक कक्षाएँ होती हैं। उनके दृष्टिकोण ने न केवल मोटे त्रिकोणों के लिए काम किया, बल्कि कहीं अधिक जटिल आकृतियों के लिए भी काम किया: अनियमित 100-तरफा तालिकाओं, मान लीजिए, या बहुभुज जिनकी दीवारें ज़िग और ज़ैग बनाती हैं, जो कोनों और क्रेनियों का निर्माण करती हैं, आवधिक कक्षाएँ होती हैं, जब तक कि कोण तर्कसंगत होते हैं।

कुछ हद तक उल्लेखनीय रूप से, एक बहुभुज में एक आवधिक कक्षा का अस्तित्व अनंत रूप से कई के अस्तित्व को दर्शाता है; प्रक्षेप पथ को थोड़ा सा स्थानांतरित करने से संबंधित आवधिक प्रक्षेप पथों का एक परिवार प्राप्त होगा।

रोशनी की समस्या

कोनों और दरारों वाली आकृतियाँ संबंधित प्रश्न को जन्म देती हैं। अपने शुरुआती बिंदु पर लौटने वाले प्रक्षेप पथों के बारे में पूछने के बजाय, यह समस्या पूछती है कि क्या प्रक्षेप पथ किसी दिए गए तालिका के प्रत्येक बिंदु पर जा सकते हैं। इसे रोशनी की समस्या कहा जाता है क्योंकि हम बिलियर्ड टेबल को घेरने वाली दर्पण वाली दीवारों से परावर्तित होने वाली लेजर किरण की कल्पना करके इसके बारे में सोच सकते हैं। हम पूछते हैं कि क्या, किसी विशेष तालिका पर दो बिंदु दिए जाने पर, आप हमेशा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक लेज़र (प्रकाश की अनंत पतली किरण के रूप में आदर्श) चमका सकते हैं। इसे दूसरे तरीके से कहें तो, यदि हम एक प्रकाश बल्ब, जो एक ही समय में सभी दिशाओं में चमकता है, मेज पर किसी बिंदु पर रख दें, तो क्या यह पूरे कमरे को रोशन कर देगा?

समस्या पर शोध की दो मुख्य दिशाएँ रही हैं: ऐसी आकृतियाँ खोजना जिन्हें रोशन नहीं किया जा सकता और यह साबित करना कि आकृतियों के बड़े वर्ग रोशन हो सकते हैं। जबकि ऐसी अजीब आकृतियों को ढूंढना जिन्हें रोशन नहीं किया जा सकता है, सरल गणित के चतुर अनुप्रयोग के माध्यम से किया जा सकता है, यह साबित करते हुए कि बहुत सी आकृतियों को रोशन किया जा सकता है केवल भारी गणितीय मशीनरी के उपयोग के माध्यम से ही संभव है।

1958 में, रोजर पेनरोज, एक गणितज्ञ जिसने जीत हासिल की 2020 भौतिकी में नोबेल पुरस्कार, एक घुमावदार तालिका मिली जिसमें एक क्षेत्र का कोई भी बिंदु दूसरे क्षेत्र के किसी भी बिंदु को रोशन नहीं कर सका। दशकों तक, कोई भी ऐसे बहुभुज का आविष्कार नहीं कर सका जिसकी संपत्ति समान हो। लेकिन 1995 में, टोकार्स्की ने त्रिभुजों के बारे में एक साधारण तथ्य का उपयोग करके एक ब्लॉकिश 26-पक्षीय बहुभुज बनाया जिसमें दो बिंदु परस्पर दुर्गम थे, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। अर्थात्, एक बिंदु से ली गई लेज़र किरण, दिशा की परवाह किए बिना, दूसरे बिंदु पर नहीं गिर सकती।

टोकार्स्की ने अपनी विशेष तालिका बनाते समय जो मुख्य विचार इस्तेमाल किया वह यह था कि यदि एक लेज़र किरण 45°-45°-90° त्रिभुज में किसी एक न्यून कोण से शुरू होती है, तो वह उस कोने पर कभी वापस नहीं आ सकती।

उनकी टेढ़ी मेज़ 29 ऐसे त्रिकोणों से बनी है, जिन्हें इस तथ्य का चतुराईपूर्वक उपयोग करने के लिए व्यवस्थित किया गया है। 2019 में अमित वोलेकीजो उस समय तेल अवीव विश्वविद्यालय में स्नातक छात्र थे, उन्होंने इसी तकनीक को लागू किया एक आकृति उत्पन्न करें 22 भुजाओं के साथ (नीचे दिखाया गया है), जिसे उन्होंने साबित किया कि यह एक आकृति के लिए भुजाओं की सबसे छोटी संभव संख्या थी जिसमें दो आंतरिक बिंदु थे जो एक दूसरे को रोशन नहीं करते थे।

दूसरी दिशा में परिणाम साबित करना बहुत कठिन रहा है। 2014 में, स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी की गणितज्ञ मरियम मिर्जाखानी पहली महिला बनीं। फ़ील्ड्स मेडल जीतें, गणित का सबसे प्रतिष्ठित पुरस्कार, रीमैन सतहों के मॉड्यूली स्थानों पर उनके काम के लिए - डोनट्स का एक प्रकार का सामान्यीकरण जो मसूर ने यह दिखाने के लिए किया था कि तर्कसंगत कोणों वाले सभी बहुभुज तालिकाओं में आवधिक कक्षाएँ होती हैं। 2016 में, सैमुअल लेलिएवरे पेरिस-सैकले विश्वविद्यालय के, थिएरी मोंटेइल फ्रेंच नेशनल सेंटर फॉर साइंटिफिक रिसर्च और बराक वीस तेल अवीव विश्वविद्यालय ने मिर्ज़ाखानी के कई परिणाम लागू किए को दिखाने के लिए तर्कसंगत बहुभुज में कोई भी बिंदु सीमित संख्या को छोड़कर सभी बिंदुओं को प्रकाशित करता है। वहाँ अलग-अलग काले धब्बे हो सकते हैं (जैसा कि टोकार्स्की और वोलेकी के उदाहरणों में है) लेकिन कोई अंधेरे क्षेत्र नहीं हैं जैसा कि पेनरोज़ उदाहरण में है, जिसमें सीधी दीवारों के बजाय घुमावदार दीवारें हैं। में वोलेकी का 2019 लेख, उन्होंने यह साबित करके इस परिणाम को मजबूत किया कि अप्रकाशित बिंदुओं के केवल बहुत सारे जोड़े हैं।

अफसोस की बात है, मिर्जाखानी की मृत्यु हो गई कैंसर से संघर्ष के बाद 2017 में 40 साल की उम्र में। उनका काम पूल हॉल में ट्रिक शॉट्स से बहुत दूर लग रहा था। और फिर भी बिलियर्ड प्रक्षेप पथों का विश्लेषण करने से पता चलता है कि कैसे सबसे अमूर्त गणित भी उस दुनिया से जुड़ सकता है जिसमें हम रहते हैं।