עזרו לסגן אוהורה של מסע בין כוכבים להתגבר על הסיכויים האסטרונומיים

כמה פתרונות פאזלים כל כך יפים ועדיפים כל כך על גישת השכל הישר שהם יכולים להיראות כמו נס. הפתרון לשאלה השלישית אצלנו חידת התובנות האחרונה, למשל, הפגין כמה מהתכונות הללו. השאלה - לגבי הדרך הטובה ביותר להשתמש בשלושה מאזני איזון, כולל אחד שבור שנותן תוצאות אקראיות, כדי למצוא מטבע מזויף - יכולה להיפתר בחוכמה בארבע שקילות, למרות שבהתחלה נראה שהבעיה דורשת לפחות שש.

היום אנו מציגים חידה שהפתרון הטוב ביותר שלה משפר את הפתרון הברור יותר פי 60 ומעלה! המתמטיקאי ההונגרי המפורסם פול ארדס התייחס להוכחות יפות כאילו הן מ הספר - כרך אלוהי שבו אלוהים מאחסן את ההוכחות המושלמות לכל בעיות המתמטיקה. ובכן, אם הספר מכיל חידות כלשהן, זה חייב להיות בתוכו.

לכבוד השחקן והפעיל נישל ניקולס, שנפטר בחודש שעבר, הפאזל שלנו מדמיין א מסע בין כוכבים הרפתקה שבה דמותה, סגן אוהורה, מתמודדת עם חידה של חיים ומוות:

כמו מִפְעָל התקרבה לכוכב לכת שלא היה ידוע עד כה במערכת ערפיליות השרשרת, נתן לה לוטננט אוהורה משימת שטח שישית. מסיבת הנחיתה שלה, בת שמונה אנשי צוות, הועברו אל פני כדור הארץ לחקירה. לצערנו, ה מִפְעָל נמשך להיענות לקריאת מצוקה, והנחיתה עמדה בפני עצמה.

למרות שהצוות לא הצליח לזהות עקבות של חיים תבוניים, כוכב הלכת היה מאוכלס על ידי הקטנאטי, ציוויליזציה מתקדמת עם טכנולוגיית הסוואה מתקדמת. הקטנאטי תפסו את מסיבת הנחיתה של אוהורה וניסו אותם על הסגת גבול.

"יש לך סבירות גבוהה להיות אשם בפשע הזה, שדינו מוות", אמר השופט קטנאטי. "אבל החוקים שלנו, בחוכמתם, מכירים בכך שלעולם לא ניתן לבטל כל ספק, ומכאן שכל העונשים שלנו הם הסתברותיים. אתה תוחזק בחדר משותף, בזמן שנכין חדר רולטה נפרד. בתא הזה יהיו שמונה כפתורים מסודרים בשורה, שכל אחד מהם יגיב ביומטרית לאחד מכם. עם זאת, כדי לבלבל אותך, כל כפתור יסומן באקראי עם אחד מהשמות שלך, כך שהכפתור עם השם שלך לא צריך להיות שלך. למעשה, סביר להניח שהוא לא יהיה שלך.

"ברגע שהחדר יהיה מוכן, נוביל אותך לשם אחד בכל פעם לפי סדר שנבחר. שם, כל אחד מכם יקבל את ההזדמנות למצוא את הכפתור האמיתי שלו. כאשר אתה לוחץ על כפתור, תצוגה תגיד לך למי הכפתור באמת שייך. כל אחד יכול ללחוץ על עד ארבעה מהכפתורים, בכל סדר. כל אחד מכם חייב למצוא את הכפתור שלו. אם מישהו מכם נכשל, או אם מישהו ינסה ללחוץ על כפתור חמישי, כולכם תוצאו להורג. רק אם כולכם תצליחו תשתחררו.

"ברגע שאדם יסיים עם החדר, הוא יובא לתא הבודד שלו בלי שום דרך לתקשר עם מישהו אחר. יש לכם כמה שעות ביחד עד שהתא יהיה מוכן". עם זה, המפלגה הנחיתה נותרה לבדה.

התדהמה שפעה. "טוב, לפחות יש לנו סיכוי קטן," אמר צ'קוב. "אבל ככל שהייתי רוצה להיות אופטימי, הדברים נראים לא טוב. לכל אחד מאיתנו יש סיכוי של 1 ל-2 למצוא את הכפתור שלנו. הסיכוי שכל שמונתנו נעשה זאת הוא רק 1 ל-256, או כ-0.4%. נייט, נייט! זה הרבה יותר גרוע מהרולטה הרוסית הישנה - זו רולטה אסטרונומית אקספוננציאלית".

חבר צוות אחר צלצל. "אבל אנחנו חייבים לנסות. אם כולנו נלחץ על הכפתורים באופן אקראי, נכון, סיכויי ההישרדות שלנו יהיו רק 0.4%. אבל מה אם נמציא אסטרטגיה בינינו כדי לוודא שכל הכפתורים יילחצו אותו מספר פעמים? זה לא ישפר את הסיכויים שלנו?"

אוהורה שקל את זה לרגע. "כן, זה עשוי לעשות קצת הבדל, אבל אני חושד שהשיפור יהיה קטן. עדיין אולי לא נשבור 1%".

פאזל 1

בכמה ניתן לשפר את הסתברות ההישרדות של הצוות אם הם מוודאים שכל כפתור נלחץ באותה תדירות (במקום ללחוץ על ארבעה כפתורים באופן אקראי)?

פאזל 2

הסיפור שלנו ממשיך:

אוהורה הזעיף פנים בריכוז. ואז פתאום נראה שיש לה השראה. היא הכינה סקיצה שנראתה כמו מגן דוד. "אני זוכרת משחק שהיינו משחקים בילדותנו", אמרה. "אני חושב שיש בזה רמז."

"שישה ילדים משחקים במשחק הזה, שמפתח גם כישורי ריצה וגם זיכרון", אמרה. "זה משוחק במגרש משחקים עם שש פינות שהנקודות שלו מסומנות A עד F. כל פינה מתאימה לבסיס הבית של אחד מששת השחקנים, המסומנים a ל f. במילים אחרות, A הוא בסיס הבית של השחקן a. כדי להתחיל סיבוב, הילדים בוחרים באות אקראית מ-A עד ו'. הם מתמקמים בפינה המסומנת עם האות שהם בחרו. ואז שחקן a רץ ומתייג את השחקן שעל בסיס הבית שלו היא הייתה, מעקור אותו. אותו ילד, בתורו, רץ ועוקר את השחקן שעל בסיס הבית שלו היה, וכן הלאה, עד השחקן שהיה בו aבסיס הבית של השחקן רץ לבסיס הריק a מתפנה, ובכך משלים מחזור. לאחר מכן, המשחק עובר עם כיוון השעון לשחקן הבא שעדיין לא רץ. אם ילד כבר נמצא בבסיס הבית שלו, הילד הזה לא צריך לרוץ. הסיבוב הושלם כאשר המשחק הועבר לכל השחקנים הכשירים".

(לדוגמה, באיור המוצג לעיל, שחקן a היא בהתחלה על בסיס C, אז היא רצה ועקירה c מי היה ב-E. Next, c רץ ועקירה e. מאז e היה על A, הוא הולך לבסיס C הריק שבו שחקן a היה, ובכך השלימו מחזור באורך 3. מסתבר ששלושת השחקנים האחרים, b, d ו f, יוצרים מחזור נוסף באורך 3. זה משלים את הסיבוב. במקרה זה, מסלולי הריצה שלהם יוצרים כוכב בעל שש קצוות, אבל הרבה דפוסים אחרים אפשריים.)

"למרות שלעתים קרובות היו לנו מחזורים של ארבע, חמש או שש רגליים, היו הרבה סיבובים ללא מחזורים של יותר משלוש רגליים", נזכר אוהורה.

בסיבוב נתון, אם הילדים משחקים נכון, מה ההסתברות שלא יהיה מחזור שגדול מאורך 3?

אם נתקעת, לחץ למטה כדי לחשוף רמז.

לחץ לרמז:

פאזל 3

בחזרה לסיפור:

"כן זה זה!" קרא אוהורה. "אם החישובים שלי נכונים, יש לנו סיכוי טוב מ-35% לצאת לחופשי."

האם אתה יכול להסביר איזו אסטרטגיה הוצעה על ידי המשחק למעלה וכיצד היא משפרת את סיכויי החופש של הצד הנחיתה מפחות מ-1% ליותר מ-35%?

פאזל 4

ככל שהסיפור שלנו נמשך, מתברר שאחד מהקטנאטים לא אהב במיוחד מִפְעָל צוות ועוקב אחריהם מרחוק. הוא חושד שהם המציאו אסטרטגיה יעילה על סמך הדיאגרמה של אוהורה. הוא נחוש לסכל את התוכנית שלהם על ידי החלקה לחדר ושינוי מכוון של סדר תוויות הכפתורים לפני שהרולטה מתחילה. האם הוא מצליח לסכל את התוכנית? מה על הנחיתה להקפיד במיוחד להסתיר?

פאזל 5

לאיזה גבול מתקרב אחוז ההצלחה המקסימלי כאשר גודל הצד הנחיתה גדל ללא הגבלת זמן? האם תוכל להסביר מדוע השיטה הזו יעילה הרבה יותר מלחיצה אקראית על כפתור?

כפי שמתואר ב- דברי ימי ההיסטוריה העתידיים, התוכנית של אוהורה יצאה לפועל, ועם קצת מזל טוב (אבל לא יותר מדי), הצוות נמלט והמשיך לחקור עולמות מוזרים ומסוכנים אחרים.

זהו זה להרפתקת החלל שלנו. שמח תמוה, ושהמוח שלך ישיג מהירות עיוות.

הערת עורך: הקורא שמגיש את הפיתרון המעניין, היצירתי או התובנה ביותר (כפי ששופט הטור שופט) בסעיף ההערות יקבל מגזין Quanta חולצת טי או אחד מהשניים Quanta ספרים, אליס ובוב פוגשים את קיר האש or קונספירציית המספרים הראשוניים (בחירת הזוכה). ואם ברצונך להציע חידה מועדפת בעמודה תובנות עתידית, הגש אותה כהערה למטה, המסומנת בבירור "הצעה חדשה לפאזל" (הוא לא יופיע באופן מקוון, ולכן יש להגיש בנפרד פתרונות לפאזל לעיל).