Introduksjon
I århundrer har matematikere forsøkt å forstå og modellere bevegelsen til væsker. Ligningene som beskriver hvordan krusninger krøller overflaten av en dam har også hjulpet forskere til å forutsi været, designe bedre fly og karakterisere hvordan blodet strømmer gjennom sirkulasjonssystemet. Disse ligningene er villedende enkle når de er skrevet på riktig matematisk språk. Løsningene deres er imidlertid så komplekse at det kan være uoverkommelig vanskelig å forstå selv grunnleggende spørsmål om dem.
Kanskje den eldste og mest fremtredende av disse ligningene, formulert av Leonhard Euler for mer enn 250 år siden, beskriver strømmen av en ideell, inkompressibel væske: en væske uten viskositet, eller indre friksjon, som ikke kan tvinges inn i et mindre volum. "Nesten alle ikke-lineære væskeligninger er på en måte avledet fra Euler-ligningene," sa Tarek Elgindi, en matematiker ved Duke University. "De er de første, kan du si."
Likevel er mye ukjent om Euler-ligningene - inkludert om de alltid er en nøyaktig modell av ideell væskestrøm. Et av de sentrale problemene i væskedynamikk er å finne ut om likningene noen gang mislykkes, og produserer useriøse verdier som gjør dem ute av stand til å forutsi en væskes fremtidige tilstander.
Matematikere har lenge mistenkt at det eksisterer begynnelsesforhold som gjør at ligningene brytes ned. Men de har ikke klart å bevise det.
In et fortrykk postet på nettet forrige måned, har et par matematikere vist at en bestemt versjon av Euler-ligningene noen ganger feiler. Beviset markerer et stort gjennombrudd - og selv om det ikke helt løser problemet for den mer generelle versjonen av ligningene, gir det håp om at en slik løsning endelig er innen rekkevidde. "Det er et fantastisk resultat," sa Tristan Buckmaster, en matematiker ved University of Maryland som ikke var involvert i arbeidet. "Det er ingen resultater av denne typen i litteraturen."
Det er bare en hake.
Det 177 sider lange beviset - resultatet av et tiår langt forskningsprogram - gjør betydelig bruk av datamaskiner. Dette gjør det uten tvil vanskelig for andre matematikere å bekrefte det. (Faktisk er de fortsatt i ferd med å gjøre det, selv om mange eksperter tror det nye arbeidet vil vise seg å være korrekt.) Det tvinger dem også til å regne med filosofiske spørsmål om hva et "bevis" er, og hva det vil mener om den eneste levedyktige måten å løse slike viktige spørsmål fremover er ved hjelp av datamaskiner.
Å se udyret
I prinsippet, hvis du vet plasseringen og hastigheten til hver partikkel i en væske, bør Euler-ligningene kunne forutsi hvordan væsken vil utvikle seg for all tid. Men matematikere vil vite om det faktisk er tilfelle. Kanskje i noen situasjoner vil ligningene fortsette som forventet, og produsere nøyaktige verdier for væskens tilstand til enhver tid, bare for at en av disse verdiene plutselig skal skyte i været til det uendelige. På det tidspunktet sies Euler-ligningene å gi opphav til en "singularitet" - eller, mer dramatisk, å "sprenge".
Når de treffer den singulariteten, vil ikke ligningene lenger være i stand til å beregne væskestrømmen. Men "for noen år siden falt det folk var i stand til å gjøre veldig, veldig langt fra å [bevise sprengning]," sa Charlie Fefferman, en matematiker ved Princeton University.
Det blir enda mer komplisert hvis du prøver å modellere en væske som har viskositet (som nesten alle væsker i den virkelige verden gjør). En million-dollar tusenårspris fra Clay Mathematics Institute venter på alle som kan bevise om lignende feil forekommer i Navier-Stokes-ligningene, en generalisering av Euler-ligningene som står for viskositet.
I 2013, Thomas Hou, en matematiker ved California Institute of Technology, og Guo Luo, nå ved Hang Seng University of Hong Kong, foreslo et scenario der Euler-ligningene ville føre til en singularitet. De utviklet en datasimulering av en væske i en sylinder hvis øvre halvdel virvlet med klokken mens den nederste halvdelen virvlet mot klokken. Mens de kjørte simuleringen, begynte mer kompliserte strømmer å bevege seg opp og ned. Det førte igjen til merkelig oppførsel langs sylinderens grense der motsatte strømmer møttes. Væskens virvelvekst – et mål på rotasjon – vokste så raskt at den så ut til å blåse opp.
Hou og Luos arbeid var tankevekkende, men ikke et sant bevis. Det er fordi det er umulig for en datamaskin å beregne uendelige verdier. Det kan komme veldig nært å se en singularitet, men det kan faktisk ikke nå det - noe som betyr at løsningen kan være veldig nøyaktig, men det er fortsatt en tilnærming. Uten støtte fra et matematisk bevis, kan verdien av virvlingen bare synes å øke til det uendelige på grunn av en eller annen artefakt av simuleringen. Løsningene kan i stedet vokse til enorme tall før de avtar igjen.
Slike reverseringer hadde skjedd før: En simulering ville indikere at en verdi i ligningene eksploderte, bare for at mer sofistikerte beregningsmetoder skulle vise noe annet. "Disse problemene er så ømfintlige at veien er full av vraket av tidligere simuleringer," sa Fefferman. Det var faktisk slik Hou startet på dette området: Flere av hans tidligere resultater motbeviste dannelsen av hypotetiske singulariteter.
Likevel, da han og Luo publiserte løsningen deres, trodde de fleste matematikere at det med stor sannsynlighet var en ekte singularitet. "Det var veldig grundig, veldig presist," sa Vladimir Sverak, en matematiker ved University of Minnesota. "De gikk virkelig langt for å fastslå at dette er et reelt scenario." Påfølgende arbeid av Elgindi, Sverak og andre bare styrket den overbevisningen.
Men et bevis var unnvikende. "Du har sett udyret," sa Fefferman. "Så prøver du å fange det." Det betydde å vise at den omtrentlige løsningen som Hou og Luo så nøye simulerte er, i en spesifikk matematisk forstand, veldig, veldig nær en eksakt løsning av ligningene.
Nå, ni år etter den første observasjonen, Hou og hans tidligere doktorgradsstudent Jiajie Chen har endelig lyktes i å bevise eksistensen av den nærliggende singulariteten.
Flyttingen til selv-lignende land
Hou, senere sammen med Chen, utnyttet det faktum at ved nærmere analyse så den omtrentlige løsningen fra 2013 ut til å ha en spesiell struktur. Etter hvert som ligningene utviklet seg gjennom tiden, viste løsningen det som kalles et selv-lignende mønster: Formen lignet senere mye på dens tidligere form, bare omskalert på en bestemt måte.
Som et resultat trengte ikke matematikerne å prøve å se på singulariteten i seg selv. I stedet kunne de studere det indirekte ved å fokusere på et tidligere tidspunkt. Ved å zoome inn på den delen av løsningen med riktig hastighet - bestemt basert på løsningens selvliknende struktur - kunne de modellere hva som ville skje senere, inkludert ved singulariteten i seg selv.
Det tok noen år for dem å finne en analog analog til 2013-scenarioet. (Tidligere i år brukte et annet team av matematikere, som inkluderte Buckmaster, forskjellige metoder for å finne en lignende omtrentlig løsning. De bruker for tiden den løsningen for å utvikle et uavhengig bevis på singularitetsdannelse.)
Med en omtrentlig selvliknende løsning i hånden, trengte Hou og Chen å vise at en eksakt løsning finnes i nærheten. Matematisk tilsvarer dette å bevise at deres omtrentlige selv-lignende løsning er stabil - at selv om du skulle forstyrre den litt og deretter utvikle ligningene som starter med de forstyrrede verdiene, ville det ikke være noen måte å unnslippe et lite nabolag rundt omtrentlig løsning. "Det er som et svart hull," sa Hou. "Hvis du starter med en profil i nærheten, vil du bli sugd inn."
Men å ha en generell strategi var bare ett skritt mot løsningen. "Massete detaljer betyr noe," sa Fefferman. Mens Hou og Chen brukte de neste årene på å utarbeide disse detaljene, fant de ut at de måtte stole på datamaskiner igjen - men denne gangen på en helt ny måte.
En hybrid tilnærming
Blant de første utfordringene deres var å finne ut den eksakte påstanden de måtte bevise. De ønsket å vise at hvis de tok et sett med verdier i nærheten av deres omtrentlige løsning og plugget det inn i ligningene, ville utgangen ikke være i stand til å avvike langt. Men hva betyr det at et innspill er «nær» den omtrentlige løsningen? De måtte spesifisere dette i en matematisk utsagn - men det er mange måter å definere begrepet avstand på i denne sammenhengen. For at beviset deres skulle fungere, måtte de velge den riktige.
"Det må måle forskjellige fysiske effekter," sa Rafael de la Llave, en matematiker ved Georgia Institute of Technology. "Så det må velges ved å bruke en dyp forståelse av problemet."
Så snart de hadde den riktige måten å beskrive «nærhet» på, måtte Hou og Chen bevise utsagnet, som kokte ned til en komplisert ulikhet som involverte termer fra både de omskalerte ligningene og den omtrentlige løsningen. Matematikerne måtte sørge for at verdiene til alle disse begrepene balanserte ut til noe veldig lite: Hvis en verdi endte opp med å bli stor, måtte andre verdier være negative eller holdes i sjakk.
"Hvis du lager noe litt for stort eller litt for lite, bryter det hele sammen," sa Javier Gómez-Serrano, en matematiker ved Brown University. "Så det er veldig, veldig forsiktig, delikat arbeid."
"Det er en veldig hard kamp," la Elgindi til.
For å få de stramme grensene de trengte på alle disse forskjellige betingelsene, brøt Hou og Chen ulikheten i to hoveddeler. De kunne ta seg av den første delen for hånd, med teknikker inkludert en som dateres tilbake til 18-tallet, da den franske matematikeren Gaspard Monge søkte en optimal måte å transportere jord for å bygge festningsverk for Napoleons hær. "Slike ting har blitt gjort før, men jeg syntes det var slående at [Hou og Chen] brukte det til dette," sa Fefferman.
Det forlot den andre delen av ulikheten. Å takle det vil kreve datahjelp. For det første var det så mange beregninger som måtte gjøres, og så mye presisjon som kreves, at "mengden arbeid du må gjøre med blyant og papir ville være svimlende," sa de la Llave. For å få ulike termer til å balansere ut, måtte matematikerne utføre en rekke optimaliseringsproblemer som er relativt enkle for datamaskiner, men ekstremt tidkrevende for mennesker. Noen av verdiene var også avhengig av mengder fra den omtrentlige løsningen; siden det ble beregnet ved hjelp av en datamaskin, var det enklere å også bruke en datamaskin til å utføre disse tilleggsberegningene.
"Hvis du prøver å gjøre noen av disse estimatene manuelt, kommer du sannsynligvis til å overvurdere på et tidspunkt, og så taper du," sa Gómez-Serrano. "Tallene er så små og stramme ... og marginen er utrolig tynn."
Men fordi datamaskiner ikke kan manipulere et uendelig antall sifre, oppstår det uunngåelig små feil. Hou og Chen måtte spore disse feilene nøye for å sikre at de ikke forstyrret resten av balansegangen.
Til slutt var de i stand til å finne grenser for alle begrepene, og fullførte beviset: Ligningene hadde faktisk produsert en singularitet.
Bevis med datamaskin
Det er fortsatt åpent om mer kompliserte ligninger - Euler-ligningene uten tilstedeværelse av en sylindrisk grense og Navier-Stokes-ligningene - kan utvikle en singularitet. "Men [dette arbeidet] gir i det minste meg håp," sa Hou. "Jeg ser en vei fremover, en måte å kanskje til og med til slutt løse hele Millennium-problemet."
I mellomtiden jobber Buckmaster og Gómez-Serrano med et eget dataassistert bevis – et de håper vil være mer generelt, og derfor i stand til å takle ikke bare problemet som Hou og Chen løste, men også mange andre.
Denne innsatsen markerer en økende trend innen fluiddynamikk: bruk av datamaskiner for å løse viktige problemer.
"På en rekke forskjellige områder av matematikken skjer det oftere og oftere," sa Susan Friedlander, en matematiker ved University of South California.
Men i fluidmekanikk er dataassisterte bevis fortsatt en relativt ny teknikk. Faktisk, når det kommer til utsagn om singularitetsdannelse, er Hou og Chens bevis det første i sitt slag: Tidligere dataassisterte bevis var bare i stand til å takle leketøysproblemer i området.
Slike bevis er ikke så mye kontroversielle som "et spørsmål om smak," sa Peter Constantin ved Princeton University. Matematikere er generelt enige om at et bevis må overbevise andre matematikere om at en eller annen resonnement er riktig. Men, hevder mange, det bør også forbedre deres forståelse av hvorfor et bestemt utsagn er sant, i stedet for bare å bekrefte at det er riktig. "Lærer vi noe fundamentalt nytt, eller vet vi bare svaret på spørsmålet?" sa Elgindi. "Hvis du ser på matematikk som en kunst, så er ikke dette så estetisk tiltalende."
«En datamaskin kan hjelpe. Det er fantastisk. Det gir meg innsikt. Men det gir meg ikke full forståelse, la Constantin til. "Forståelse kommer fra oss."
På sin side håper Elgindi fortsatt å finne ut et alternativt bevis på sprengning helt for hånd. "Jeg er generelt glad for at dette eksisterer," sa han om Hou og Chens arbeid. "Men jeg ser det mer som en motivasjon for å prøve å gjøre det på en mindre datamaskinavhengig måte."
Andre matematikere ser på datamaskiner som et viktig nytt verktøy som vil gjøre det mulig å angripe tidligere uløselige problemer. "Nå er arbeidet ikke lenger bare papir og blyant," sa Chen. "Du har muligheten til å bruke noe kraftigere."
I følge ham og andre (inkludert Elgindi, til tross for hans personlige preferanse for å skrive bevis for hånd), er det en god mulighet for at den eneste måten å løse store problemer i væskedynamikk - det vil si problemer som involverer stadig mer kompliserte ligninger - kan være å stole på tungt på datahjelp. "Det ser for meg ut som om å prøve å gjøre dette uten å bruke mye datastøttede bevis er som å binde en eller muligens to hender bak ryggen," sa Fefferman.
Hvis det ender opp med å være tilfelle og «du ikke har noe valg», sa Elgindi, «så bør folk … som meg selv, som ville si at dette er suboptimalt, være stille.» Det vil også bety at flere matematikere må begynne å lære ferdighetene som trengs for å skrive dataassisterte bevis – noe Hou og Chens arbeid forhåpentligvis vil inspirere. "Jeg tror det var mange mennesker som bare ventet på at noen skulle løse et slikt problem før de investerte noe av sin egen tid i denne tilnærmingen," sa Buckmaster.
Når det er sagt, når det kommer til debatter om i hvilken grad matematikere bør stole på datamaskiner, "er det ikke slik at du trenger å velge side," sa Gómez-Serrano. «[Hou og Chens] bevis ville ikke fungere uten analysen, og beviset ville ikke fungere uten datahjelp. … jeg tror verdien er at folk kan snakke de to språkene.»
Med det, sa de la Llave, "det er et nytt spill i byen."
