Introdução
No início deste ano, um trio de matemáticos decidiu transformar limões em limonada - e acabou fazendo grande progresso em um problema que os matemáticos vêm pensando há séculos.
Os três estavam terminando um projeto e pensando nos próximos passos quando, no final de março, dois deles — Levent Alpöge da Universidade de Harvard e Ari Shnidman da Universidade Hebraica de Jerusalém - contraiu o Covid-19, separadamente, mas quase simultaneamente. Muitas pessoas fariam uma pausa nessas circunstâncias, mas o terceiro membro da equipe, Manjul Bhargava da Universidade de Princeton, propôs o contrário. Aumentar as reuniões semanais do Zoom para três ou quatro vezes por semana, sugeriu ele, pode distrair seus colaboradores doentes de seus sintomas. A quarentena, decidiram os três, poderia ser uma oportunidade para pensar sem ser perturbado.
Durante essas reuniões, eles consideraram uma das questões mais antigas da teoria dos números: quantos números inteiros podem ser escritos como a soma de duas frações ao cubo ou, como os matemáticos os chamam, números racionais? O número 6, por exemplo, pode ser escrito como (17/21)3 + (37/21)3, enquanto 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Os matemáticos suspeitam há décadas que metade de todos os números inteiros pode ser escrita dessa maneira. Assim como acontece com os números pares e ímpares, essa propriedade parece dividir os números inteiros em dois campos iguais: aqueles que são a soma de dois cubos e aqueles que não são.
Mas ninguém foi capaz de provar isso, ou mesmo dar qualquer limite sobre a proporção de números inteiros que caem em cada campo. Tanto quanto os matemáticos sabiam, o campo que consiste em somas de cubos racionais pode ser extremamente pequeno - ou pode conter quase todos os números inteiros. matemáticos ter calculado que, se algo chamado de conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer for verdade (como amplamente acreditado), cerca de 59% dos números até 10 milhões são a soma de dois cubos racionais. Mas esses dados podem, na melhor das hipóteses, oferecer dicas sobre como o restante da reta numérica pode se comportar.
Ao contrário dos números pares e ímpares, “esses dois campos são sutis”, disse Barry Mazur de Harvard. Não há nenhum teste para determinar quais números pertencem a qual campo conhecido por funcionar para todos os números. Os matemáticos criaram testes que são fortes candidatos, mas, por enquanto, cada um tem alguma desvantagem - ou os matemáticos não podem provar que o teste sempre chegará a uma conclusão ou não podem provar que a conclusão está correta.
A dificuldade de entender somas de cubos e equações cúbicas em geral tem sido “um embaraço recorrente para os teóricos dos números”, disse Bhargava. Ele ganhou a medalha Fields em 2014 em parte para seu trabalho sobre soluções racionais às equações cúbicas conhecidas como curvas elípticas, das quais as somas de dois cubos são um caso especial.
Agora, em um papel publicado online no final de outubro, Alpöge, Bhargava e Shnidman mostraram que pelo menos 2/21 (cerca de 9.5%) e no máximo 5/6 (cerca de 83%) dos números inteiros podem ser escritos como a soma de duas frações ao cubo.
A questão das somas dos cubos não é apenas uma curiosidade. As curvas elípticas têm uma estrutura ricamente intrincada que as impulsionou para o centro de muitas áreas da matemática pura e aplicada, permitindo notavelmente que os criptógrafos construíssem cifras poderosas. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, a questão central no campo, tem uma recompensa de US$ 1 milhão por sua cabeça como um dos Problemas do Prêmio do Milênio do Clay Mathematics Institute.
O novo trabalho se baseia em um conjunto de ferramentas que Bhargava desenvolveu ao longo dos últimos 20 anos, junto com colaboradores, para explorar toda a família de curvas elípticas. Compreender a soma de dois cubos significa analisar uma família muito menor e “quanto menor a família, mais difícil o problema”, disse Pedro Sarnak do Instituto de Estudos Avançados em Princeton.
Esta família em particular parecia “fora de alcance”, acrescentou Sarnak. “Eu teria dito: 'Isso parece muito difícil, muito difícil.'”
Uma transição de fase
Em contraste com somas de frações cúbicas, que parecem ser abundantes, quase nenhum número inteiro é a soma de duas frações quadradas. No início dos anos 1600, os matemáticos Albert Girard e Pierre de Fermat descobriram um teste simples para determinar quais números inteiros são a soma de dois quadrados: fatore seu número em primos e verifique o expoente de cada primo que tem um resto de 3 quando você o divide por 4. Se esses expoentes são todos pares, seu número é a soma de duas frações ao quadrado; caso contrário, não é. Por exemplo, 490 fatores em 21 × 51 × 72. O único desses fatores que tem um resto de 3 quando você divide por 4 é 7, e 7 tem um expoente par. Portanto, 490 é a soma de dois quadrados (para os curiosos, é igual a 72 + 212).
A grande maioria dos números falha no teste do expoente par. Se você escolher um número inteiro aleatoriamente, a probabilidade de que seja a soma de duas frações ao quadrado é essencialmente zero. Os matemáticos acreditam que o mesmo é verdade para somas de duas frações elevadas à quarta potência, ou quinta potência, ou qualquer potência superior a três. É apenas com as somas dos cubos que de repente há abundância.
Os matemáticos estão acostumados com equações cúbicas que se comportam de maneira diferente daquelas de todas as outras potências. Entre as equações feitas de duas variáveis (como as equações da soma de dois cubos), as equações cujo maior expoente é 1 ou 2 tendem a ser bem compreendidas - normalmente elas não têm soluções racionais ou são infinitas, e geralmente é simples diga qual. Enquanto isso, as equações cujo maior expoente é 4 ou maior geralmente têm apenas uma aspersão finita de soluções racionais.
As equações cúbicas, ao contrário, podem ter muitas soluções finitas, infinitas ou nenhuma. Essas equações representam uma espécie de transição de fase entre os expoentes abaixo de 3 e os acima, exibindo fenômenos que nunca são vistos nessas outras configurações. “Os cubos são diferentes em todos os aspectos”, disse Mazur.
Ao contrário das equações com expoentes menores, os cubos são surpreendentemente difíceis de entender. Não existe um método abrangente para encontrar ou mesmo contar as soluções racionais para cúbicas que comprovadamente sempre funcionam.
“Mesmo com todo o poder de computação que temos, se você me der uma curva elíptica com coeficientes muito grandes, não sei necessariamente quantas soluções racionais ela tem”, disse Wei Ho, um ex-aluno de Bhargava que é atualmente professor visitante no Instituto de Estudos Avançados.
No problema da soma de dois cubos, as frações envolvidas podem ser enormes: o número 2,803, por exemplo, é a soma de duas frações cúbicas cujos denominadores têm 40 dígitos cada. E uma vez que estamos olhando para números na casa dos milhões, disse Bhargava, muitas das frações “envolveriam mais dígitos do que poderiam caber em todo o papel deste mundo”.
Matrizes de Mapeamento
Como as curvas elípticas são tão ingovernáveis, os teóricos dos números procuram maneiras de vinculá-las a objetos mais tratáveis. Em abril deste ano, enquanto Alpöge e Shnidman lutavam contra Covid, eles e Bhargava desenvolveram o trabalho que este havia feito anteriormente com Ho e descobriram que sempre que uma equação de soma de cubos tem soluções racionais, há uma maneira de construir pelo menos um especial 2 Matriz × 2 × 2 × 2 — um análogo quadridimensional da matriz bidimensional mais familiar. “Começamos a traçar um plano para contar essas matrizes 2 × 2 × 2 × 2”, escreveram os três.
Para fazer isso, a equipe se baseou em dois assuntos clássicos que foram estudados por mais de um século. Uma delas é a “geometria dos números”, que envolve como contar os pontos da rede dentro de diferentes formas geométricas. Este tópico tem experimentado um renascimento no campo das curvas elípticas nos últimos 20 anos, devido em grande parte ao trabalho de Bhargava e colaboradores.
A outra técnica, conhecida como método do círculo, originou-se no trabalho do lendário matemático indiano Srinivasa Ramanujan e seu colaborador de longa data GH Hardy no início do século XX. “Esta é a primeira grande aplicação da combinação do método do círculo com essas técnicas de geometria dos números”, disse Ho. “Essa parte é muito legal.”
Usando esses métodos, o trio foi capaz de mostrar que, para pelo menos 1/6 de todos os números inteiros, não existe nenhuma matriz 2 × 2 × 2 × 2. Isso significa que, para esses números, a equação da soma dos cubos não tem soluções racionais. Portanto, não mais que 5/6 dos números inteiros, ou cerca de 83%, pode ser a soma dos cubos de duas frações.
Na direção inversa, eles descobriram que pelo menos 5/12 de todos os números inteiros têm exatamente uma matriz correspondente. É tentador concluir que esses números são a soma de dois cubos, mas isso não ocorre automaticamente. Todo número que é a soma de dois cubos tem uma matriz, mas isso não significa necessariamente que o inverso é verdadeiro: que todo número com uma matriz é a soma de dois cubos.
Alpöge, Bhargava e Shnidman precisavam do que os pesquisadores de curvas elípticas chamam de teorema inverso – algo que pega informações sobre uma equação cúbica e as usa para construir soluções racionais. Os teoremas de Converse formam um subcampo florescente da teoria das curvas elípticas, então o trio recorreu a dois dos profissionais especialistas do subcampo - Ashay Burungale da Universidade do Texas, Austin e de Princeton. Burungale e Skinner conseguiram mostrar que, pelo menos algumas vezes, se um número inteiro tem uma única matriz associada, então esse número deve ser a soma de dois cubos racionais. O seu teorema, que prova essencialmente uma parte relevante da conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, aparece no artigo como um apêndice de três páginas, que Sarnak descreve como maravilhoso por si só.
Burungale e Skinner não provaram seu teorema para cada número inteiro com exatamente uma matriz – eles tiveram que impor uma condição técnica que reduziu o subconjunto 5/12 para 2/21, ou cerca de 9.5%, de todos os números inteiros. Mas Bhargava está otimista de que Burungale e Skinner, ou outros pesquisadores em sua área, chegarão ao restante de 5/12 (cerca de 41% no total) em pouco tempo. “Suas técnicas estão cada vez mais fortes”, disse Bhargava.
Provar a conjectura completa – que exatamente a metade de todos os inteiros são a soma de dois cubos – exigirá, eventualmente, lidar com o conjunto de números que têm mais de uma matriz associada. Esse conjunto, que Bhargava chama de “muito nebuloso”, inclui números que são a soma de dois cubos e outros que não são. Lidar com esses números exigirá ideias completamente novas, disse ele.
Por enquanto, os pesquisadores estão felizes por finalmente terem resolvido a questão de uma proporção substancial de números inteiros e estão ansiosos para investigar mais as técnicas da prova. “É uma daquelas coisas bonitas: você pode explicar o resultado com muita facilidade, mas as ferramentas estão muito, muito na vanguarda da teoria dos números”, disse Sarnak.
