Căutarea de a decoda setul Mandelbrot, faimosul fractal al matematicii | Revista Quanta

La mijlocul anilor 1980, la fel ca casetofonele Walkman și cămășile vopsite în cravată, silueta asemănătoare cu insectele a setului Mandelbrot era peste tot.

Studenții l-au tencuit pe pereții căminului din întreaga lume. Matematicienii au primit sute de scrisori, solicitări dornice de imprimări ale setului. (Ca răspuns, unii dintre ei au produs cataloage, complete cu liste de prețuri; alții și-au compilat cele mai izbitoare caracteristici în cărți.) Mai mulți fani cunoscători de tehnologie ar putea apela la numărul din august 1985 al revistei Scientific American. Pe capacul său, Mandelbrot-ul așezat desfășurat în cârce de foc, cu hotarul în flăcări; înăuntru erau instrucțiuni de programare atente, care detaliau modul în care cititorii ar putea genera imaginea emblematică pentru ei înșiși.

Până atunci, acele vârste și-au extins, de asemenea, raza de acțiune mult dincolo de matematică, în colțuri aparent neînrudite ale vieții de zi cu zi. În următorii câțiva ani, setul lui Mandelbrot va inspira cele mai noi picturi ale lui David Hockney și cele mai noi compoziții ale mai multor muzicieni - piese asemănătoare fuga în stilul lui Bach. Ar apărea în paginile ficțiunii lui John Updike și va ghida modul în care criticul literar Hugh Kenner a analizat poezia lui Ezra Pound. Va deveni subiectul halucinațiilor psihedelice și al unui documentar popular povestit de marele SF Arthur C. Clarke.

Setul Mandelbrot este o formă specială, cu un contur fractal. Folosește un computer pentru a mări granița zimțată a setului și vei întâlni văi de căluți de mare și parade de elefanți, galaxii spirale și filamente asemănătoare neuronilor. Indiferent cât de adânc ai explora, vei vedea întotdeauna copii aproape ale setului original - o cascadă infinită și amețitoare de auto-asemănări.

Această asemănare cu sine a fost un element de bază al cărții de succes a lui James Gleick Haos, care a cimentat locul decorului Mandelbrot în cultura populară. „A avut un univers de idei”, a scris Gleick. „O filozofie modernă a artei, o justificare a noului rol al experimentării în matematică, o modalitate de a aduce sisteme complexe în fața unui public larg.”

Setul Mandelbrot devenise un simbol. A reprezentat nevoia unui nou limbaj matematic, o modalitate mai bună de a descrie natura fractală a lumii din jurul nostru. A ilustrat cât de profundă complexitate poate apărea din cele mai simple reguli - la fel ca viața însăși. („Deci este un adevărat mesaj de speranță,” John Hubbard, unul dintre primii matematicieni care au studiat setul, a spus într-un videoclip din 1989, „că eventual biologia poate fi înțeleasă într-adevăr în același mod în care aceste imagini pot fi înțelese.” În setul Mandelbrot, ordinea și haosul trăiau în armonie; determinismul și liberul arbitru ar putea fi împacate. Un matematician și-a amintit că s-a împiedicat pe platoul de filmare când era adolescent și l-a văzut ca pe o metaforă a graniței complicate dintre adevăr și minciună.

Decorul lui Mandelbrot a fost peste tot, până nu a mai fost.

În decurs de un deceniu, părea să dispară. Matematicienii au trecut la alte subiecte, iar publicul a trecut la alte simboluri. Astăzi, la doar 40 de ani de la descoperirea sa, fractalul a devenit un clișeu, borderline kitsch.

Dar o mână de matematicieni au refuzat să-i dea drumul. Ei și-au dedicat viața descoperirii secretelor setului Mandelbrot. Acum, ei cred că sunt în sfârșit pe punctul de a o înțelege cu adevărat.

Povestea lor este una a explorării, a experimentării – și a modului în care tehnologia modelează felul în care gândim și întrebările pe care le punem despre lume.

Vânătorii de recompense

În octombrie 2023, 20 de matematicieni din întreaga lume s-au adunat într-o clădire ghemuită din cărămidă pe ceea ce a fost cândva o bază de cercetare militară daneză. Baza, construită la sfârșitul anilor 1800 în mijlocul pădurii, a fost ascunsă pe un fiord de pe coasta de nord-vest a celei mai populate insule a Danemarcei. O torpilă veche păzea intrarea. Fotografii alb-negru, înfățișând ofițeri de marine în uniformă, bărci aliniate la un doc și teste submarine în curs, împodobeau pereții. Timp de trei zile, în timp ce un vânt înverșunat a biciuit apa din afara ferestrelor în spumă, grupul a susținut o serie de discuții, cele mai multe dintre ele susținute de doi matematicieni de la Universitatea Stony Brook din New York: Mişa Lyubici și Dima Dudko.

În publicul atelierului s-au aflat unii dintre cei mai îndrăzneți exploratori ai setului Mandelbrot. Aproape de față stătea Mitsuhiro Shishikura de la Universitatea din Kyoto, care în anii 1990 a demonstrat că granița setului este cât se poate de complicată. Câteva locuri peste era Hiroyuki Inou, care, alături de Shishikura, a dezvoltat tehnici importante pentru studierea unei regiuni deosebit de importante din setul Mandelbrot. În ultimul rând era Wolf Jung, creatorul lui Mandel, software-ul de bază al matematicienilor pentru investigarea interactivă a setului Mandelbrot. Au fost și prezenți Arnaud Chéritat de la Universitatea din Toulouse, Carsten Petersen de la Universitatea Roskilde (care a organizat atelierul) și alți câțiva care au adus contribuții majore la înțelegerea de către matematicieni a mulțimii Mandelbrot.

Și la tablă stăteau Lyubich, cel mai important expert din lume pe această temă, și Dudko, unul dintre cei mai apropiați colaboratori ai săi. Împreună cu matematicienii Jeremy Kahn și Alex Kapiamba, ei au lucrat pentru a dovedi o presupunere de lungă durată despre structura geometrică a mulțimii Mandelbrot. Acea presupunere, cunoscută sub numele de MLC, este obstacolul final în căutarea de zeci de ani de a caracteriza fractalul, de a-i îmblânzi sălbăticia încâlcită.

Prin construirea și ascuțirea unui set puternic de instrumente, matematicienii au luptat pentru controlul geometriei „aproape tot ce se află în setul Mandelbrot”, a spus Caroline Davis de la Universitatea Indiana – cu excepția câtorva cazuri rămase. „Misha și Dima și Jeremy și Alex sunt ca vânători de recompense, care încearcă să-i dea de urma pe aceștia din urmă.”

Lyubich și Dudko s-au aflat în Danemarca pentru a pune la curent pe alți matematicieni cu privire la progresele recente în ceea ce privește demonstrarea MLC și tehnicile pe care le-au dezvoltat pentru a face acest lucru. În ultimii 20 de ani, cercetătorii s-au adunat aici pentru ateliere dedicate despachetului rezultatelor și metodelor din domeniul analizei complexe, studiului matematic al tipurilor de numere și funcții folosite pentru a genera mulțimea Mandelbrot.

A fost o configurație neobișnuită: matematicienii au mâncat toate mesele împreună și au vorbit și au râs la bere până la orele mici. Când în cele din urmă au decis să meargă la culcare, s-au retras în paturi supraetajate sau pătuțuri în camere mici pe care le împărțeau la etajul doi al unității. (La sosirea noastră, ni s-a spus să luăm cearșafuri și fețe de pernă dintr-o grămadă și să le ducem la etaj pentru a ne face paturile.) În câțiva ani, participanții la conferință înfruntă o baie în apa rece; mai des, ei hoinăresc prin pădure. Dar, în cea mai mare parte, nu este nimic de făcut în afară de matematică.

De obicei, mi-a spus unul dintre participanți, atelierul atrage o mulțime de matematicieni mai tineri. Dar nu a fost cazul de data aceasta - poate pentru că era mijlocul semestrului sau, a speculat el, din cauza cât de dificilă era subiectul. El a mărturisit că în acel moment s-a simțit puțin intimidat de perspectiva de a ține o cuvântare în fața atâtor mari mari ai terenului.

Dar având în vedere că majoritatea matematicienilor din zona mai largă a analizei complexe nu mai lucrează direct la setul Mandelbrot, de ce să dedice un întreg atelier MLC?

Setul Mandelbrot este mai mult decât un fractal și nu doar într-un sens metaforic. Acesta servește ca un fel de catalog principal al sistemelor dinamice - al tuturor modurilor în care un punct s-ar putea deplasa prin spațiu conform unei reguli simple. Pentru a înțelege acest catalog principal, trebuie să traversăm multe peisaje matematice diferite. Mulțimea Mandelbrot este profund legată nu doar de dinamică, ci și de teoria numerelor, topologie, geometrie algebrică, teoria grupurilor și chiar fizică. „Interacționează cu restul matematicii într-un mod frumos”, a spus Sabyasachi Mukherjee al Institutului de Cercetare Fundamentală Tata din India.

Pentru a face progrese în MLC, matematicienii au fost nevoiți să dezvolte un set sofisticat de tehnici - ceea ce Chéritat numește „o filozofie puternică”. Aceste instrumente au atras multă atenție. Astăzi, ele constituie un pilon central în studiul sistemelor dinamice în sens mai larg. S-au dovedit a fi cruciale pentru rezolvarea unei multitudini de alte probleme - probleme care nu au nimic de-a face cu setul Mandelbrot. Și au transformat MLC dintr-o întrebare de nișă într-una dintre cele mai profunde și mai importante conjecturi deschise din domeniu.

Lyubich, matematicianul probabil cel mai responsabil pentru modelarea acestei „filozofii” în forma ei actuală, stă în picioare și drept și vorbește în liniște. Când alți matematicieni de la atelier se apropie de el pentru a discuta un concept sau a pune o întrebare, el închide ochii și ascultă cu atenție, cu sprâncenele groase încruntate. Răspunde cu atenție, cu accent rusesc.

Dar se grăbește și să izbucnească în râsete puternice și calde și să facă glume ironice. Este generos cu timpul și sfaturile sale. El „a hrănit cu adevărat câteva generații de matematicieni”, a spus Mukherjee, unul dintre foștii postdoctori ai lui Lyubich și un colaborator frecvent. După cum spune el, oricine este interesat de studiul dinamicii complexe petrece ceva timp la Stony Brook învățând de la Lyubich. „Misha are această viziune asupra modului în care ar trebui să facem un anumit proiect sau la ce să ne uităm în continuare”, a spus Mukherjee. „El are această imagine grandioasă în minte. Și este fericit să împărtășească asta oamenilor.”

Pentru prima dată, Lyubich simte că este capabil să vadă acea imagine grandioasă în totalitatea ei.

Luptătorii cu premii

Setul Mandelbrot a început cu un premiu.

În 1915, motivată de progresele recente în studiul funcțiilor, Academia Franceză de Științe a anunțat un concurs: Peste trei ani, va oferi un mare premiu de 3,000 de franci pentru lucrul asupra procesului de iterație - chiar procesul care ar mai târziu generează mulțimea Mandelbrot.

Iterația este aplicarea repetată a unei reguli. Conectați un număr într-o funcție, apoi utilizați ieșirea ca următoarea intrare. Continuați să faceți asta și observați ce se întâmplă în timp. Pe măsură ce continuați să vă repetați funcția, numerele pe care le obțineți ar putea crește rapid spre infinit. Sau ar putea fi atrași spre un număr în special, ca pilitura de fier care se mișcă spre un magnet. Sau ajung să sară între aceleași două numere, sau trei, sau o mie, pe o orbită stabilă din care nu pot scăpa niciodată. Sau sări de la un număr la altul fără rimă sau motiv, urmând o cale haotică, imprevizibilă.

Academia Franceză și, în general, matematicienii aveau un alt motiv să fie interesați de iterare. Procesul a jucat un rol important în studiul sistemelor dinamice - sisteme precum rotația planetelor în jurul Soarelui sau curgerea unui flux turbulent, sisteme care se schimbă în timp în conformitate cu un set specificat de reguli.

Premiul a inspirat doi matematicieni să dezvolte un domeniu de studiu complet nou.

Mai întâi a fost Pierre Fatou, care, într-o altă viață, ar fi putut fi un marinar (o tradiție de familie), dacă nu ar fi fost sănătatea lui precară. În schimb, a urmat o carieră în matematică și astronomie, iar până în 1915 a dovedit deja câteva rezultate majore în analiză. Apoi a fost Gaston Julia, un tânăr matematician promițător, născut în Algeria ocupată de francezi, ale cărui studii au fost întrerupte de Primul Război Mondial și de recrutarea sa în armata franceză. La vârsta de 22 de ani, după ce a suferit o accidentare gravă la scurt timp după ce și-a început serviciul - avea să purta o curea de piele pe față pentru tot restul vieții, după ce medicii nu au reușit să repare daunele - s-a întors la matematică, făcând unele dintre ele. lucrarea pe care avea să o depună pentru premiul Academiei dintr-un pat de spital.

Premiul a motivat atât Fatou, cât și Julia să studieze ce se întâmplă atunci când repeți funcții. Au lucrat independent, dar au ajuns să facă descoperiri foarte asemănătoare. Au existat atât de multe suprapuneri în rezultatele lor încât, chiar și acum, nu este întotdeauna clar cum se atribuie creditul. (Julia a fost mai extrăgătoare și, prin urmare, a primit mai multă atenție. A ajuns să câștige premiul; Fatou nici măcar nu a aplicat.) Datorită acestei lucrări, cei doi sunt acum considerați fondatorii domeniului dinamicii complexe.

„Complex”, deoarece Fatou și Julia au iterat funcții ale numerelor complexe — numere care combină un număr real familiar cu un așa-numit număr imaginar (un multiplu de i, simbolul pe care matematicienii îl folosesc pentru a desemna rădăcina pătrată a lui −1). În timp ce numerele reale pot fi așezate ca puncte pe o dreaptă, numerele complexe sunt vizualizate ca puncte pe un plan, astfel:

Fatou și Julia au descoperit că repetarea chiar și a unor funcții complexe simple (nu este un paradox în domeniul matematicii!) ar putea duce la un comportament bogat și complicat, în funcție de punctul de plecare. Au început să documenteze aceste comportamente și să le reprezinte geometric.

Dar apoi munca lor a dispărut în obscuritate timp de o jumătate de secol. „Oamenii nici măcar nu știau ce să caute. Au fost limitati la ce întrebări să pună”, a spus Artur Avila, profesor la Universitatea din Zurich.

Acest lucru s-a schimbat când grafica pe computer a devenit majoră în anii 1970.

Până atunci, matematicianul Benoît Mandelbrot și-a câștigat reputația de diletant academic. S-a interesat în multe domenii diferite, de la economie la astronomie, totul în timp ce lucra la centrul de cercetare al IBM, la nord de New York City. Când a fost numit bursier IBM în 1974, a avut și mai multă libertate de a urma proiecte independente. El a decis să aplice puterea considerabilă de calcul a centrului pentru a scoate dinamica complexă din hibernare.

La început, Mandelbrot a folosit computerele pentru a genera tipurile de forme pe care le studiaseră Fatou și Julia. Imaginile codificau informații despre când un punct de plecare, atunci când este repetat, ar scăpa la infinit și când va rămâne prins în alt tipar. Desenele lui Fatou și Julia cu 60 de ani mai devreme arătaseră ca niște grupuri de cercuri și triunghiuri – dar imaginile generate de computer pe care le făcea Mandelbrot arătau ca niște dragoni și fluturi, iepuri și catedrale și capete de conopidă, uneori chiar și nori de praf deconectați. Până atunci, Mandelbrot inventase deja cuvântul „fractal” pentru forme care arătau similare la diferite scări; cuvântul a evocat noțiunea unui nou tip de geometrie — ceva fragmentat, fracționat sau rupt.

Imaginile care apăreau pe ecranul computerului său - astăzi cunoscute sub numele de decoruri Julia - au fost unele dintre cele mai frumoase și mai complicate exemple de fractali pe care Mandelbrot le văzuse vreodată.

Lucrările lui Fatou și Julia s-au concentrat pe geometria și dinamica fiecăreia dintre aceste mulțimi (și funcțiile lor corespunzătoare) în mod individual. Dar computerele i-au oferit lui Mandelbrot o modalitate de a se gândi la o întreagă familie de funcții simultan. Le putea codifica pe toate în imaginea care avea să-i poarte numele, deși rămâne o chestiune de dezbatere dacă el a fost de fapt primul care a descoperit-o.

Mulțimea Mandelbrot se ocupă de cele mai simple ecuații care încă mai fac ceva interesant atunci când sunt iterate. Acestea sunt funcții pătratice ale formei f(z) = z² + c. Fixați o valoare a c — poate fi orice număr complex. Dacă repeți ecuația începând cu z = 0 și găsiți că numerele pe care le generați rămân mici (sau mărginite, după cum spun matematicienii), atunci c este în setul Mandelbrot. Dacă, pe de altă parte, repeți și descoperi că în cele din urmă numerele tale încep să crească spre infinit, atunci c nu este în setul Mandelbrot.

Este simplu să arăți că valorile c aproape de zero sunt în set. Și este la fel de simplu să arăți acele valori mari ale c nu sunt. Dar numerele complexe se ridică la înălțimea numelui lor: granița setului este magnific de complicată. Nu există niciun motiv evident pentru schimbare c cu cantități mici ar trebui să vă facă să continuați să treceți granița, dar pe măsură ce măriți pe ea, apar nenumărate cantități de detalii.

Mai mult decât atât, setul Mandelbrot acționează ca o hartă a seturilor Julia, așa cum se poate vedea în figura interactivă de mai jos. Alegeți o valoare a c în platoul Mandelbrot. Setul Julia corespunzător va fi conectat. Dar dacă părăsiți setul Mandelbrot, atunci setul Julia corespunzător va fi praf deconectat.