Introducere
Imaginează-ți că în fața ta se întinde o rețea de hexagoane, ca un fagure. Unele hexagoane sunt goale; altele sunt umplute de o coloană înaltă de 6 picioare de beton solid. Rezultatul este un fel de labirint. Timp de peste o jumătate de secol, matematicienii au pus întrebări despre astfel de labirinturi generate aleatoriu. Cât de mare este cea mai mare rețea de căi curățate? Care sunt șansele să existe o cale de la o margine la centrul grilei și să iasă din nou? Cum se schimbă aceste șanse pe măsură ce grila se umflă în dimensiune, adăugând din ce în ce mai multe hexagoane la marginile sale?
La aceste întrebări este ușor de răspuns dacă există fie mult spațiu gol, fie mult beton. Să presupunem că fiecărui hexagon i se atribuie starea la întâmplare, independent de toate celelalte hexagoane, cu o probabilitate care este constantă pe întreaga grilă. Ar putea exista, să zicem, o șansă de 1% ca fiecare hexagon să fie gol. Betonul aglomerează grila, lăsând doar mici buzunare de aer între ele, făcând efectiv zero șansa de a găsi o cale către margine. Pe de altă parte, dacă există o șansă de 99% ca fiecare hexagon să fie gol, există doar o stropire subțire de pereți de beton, punctând zone de spațiu deschis - nu prea un labirint. Găsirea unei căi de la centru la margine în acest caz este aproape o certitudine.
Pentru grilele mari, există o schimbare remarcabil de bruscă atunci când probabilitatea atinge 1/2. La fel cum gheața se topește în apă lichidă la exact zero grade Celsius, caracterul labirintului se schimbă drastic în acest punct de tranziție, numit probabilitate critică. Sub probabilitatea critică, cea mai mare parte a rețelei se va afla sub beton, în timp ce căile goale ajung invariabil în fundături. Peste probabilitatea critică, tracturi masive sunt lăsate goale, iar pereții de beton sunt cei care se vor stinge cu siguranță. Dacă te oprești exact la probabilitatea critică, betonul și golul se vor echilibra unul pe celălalt, fără a putea domina labirintul.
„În punctul critic, ceea ce apare este un grad mai mare de simetrie”, a spus Michael Aizenman, fizician matematician la Universitatea Princeton. „Asta deschide ușa către un corp imens de matematică.” De asemenea, are aplicații practice pentru orice, de la proiectarea măștilor de gaz la analize ale modului în care bolile infecțioase se răspândesc sau cum se infiltrează uleiul prin roci.
Într-o hârtie postată toamna trecută, patru cercetători au calculat în sfârșit șansa de a găsi o cale pentru labirinturi la probabilitatea critică de 1/2.
O cursă înarmărilor
Ca doctorand în Franța la mijlocul anilor 2000, Pierre Nolin a studiat scenariul probabilității critice în detaliu. Labirintul aleatoriu, crede el, este „un model cu adevărat frumos, poate unul dintre cele mai simple modele pe care le poți inventa”. Aproape de sfârșitul studiilor sale de doctorat, pe care le-a terminat în 2008, Nolin a devenit captivat de o întrebare deosebit de provocatoare despre cum se comportă o grilă hexagonală la probabilitatea critică. Să presupunem că construiești o grilă în jurul unui punct central, astfel încât acesta să aproximeze un cerc și îți construiești aleatoriu labirintul de acolo. Nolin a vrut să exploreze șansa că vei putea găsi o cale deschisă care să ajungă de la margine la centru și înapoi, fără să te retragi. Matematicienii numesc aceasta cale monocromatică cu două brațe, deoarece atât „brațele” interioare, cât și cele exterioare sunt pe căi deschise. (Uneori, astfel de grile sunt considerate în mod echivalent ca fiind făcute din două culori diferite, să spunem albastru deschis și albastru închis, mai degrabă decât din celule deschise și închise.) Dacă măriți dimensiunea labirintului, lungimea căii necesare va crește, de asemenea, , iar șansa de a găsi o astfel de cale va deveni din ce în ce mai mică. Dar cât de repede scad șansele, pe măsură ce labirintul crește arbitrar?
Întrebări legate mai simple au primit răspunsuri cu zeci de ani în urmă. Calcule din 1979 de către Marcel den Nijs a estimat șansa de a găsi o cale, sau un braț, de la margine la centru. (Contrasta asta cu cerința lui Nolin ca să existe un braț înăuntru și unul separat în afară.) Lucrarea lui Den Nijs a prezis că șansa de a găsi un braț într-o rețea hexagonală este proporțională cu $latex 1/n^{5/48}$ , Unde n este numărul de plăci de la centru până la margine sau raza grilei. În 2002, Gregory Lawler, Oded Schramm și Wendelin Werner in cele din urma s-au dovedit că predicția cu un singur braț era corectă. Pentru a cuantifica succint probabilitatea de scădere pe măsură ce dimensiunea grilei crește, cercetătorii folosesc exponentul de la numitor, 5/48, care este cunoscut sub numele de exponent cu un singur braț.
Nolin a vrut să calculeze exponentul monocromatic cu două brațe, mai evaziv. Simulări numerice în 1999 a arătat că era foarte aproape de 0.3568, dar matematicienii nu au reușit să stabilească valoarea exactă a acestuia.
A fost mult mai ușor să calculezi ceea ce este cunoscut sub numele de exponent policromatic cu două brațe, care caracterizează șansa ca, începând din centru, să poți găsi nu numai o cale „deschisă” către perimetru, ci și o cale separată „închisă”. (Gândiți-vă la poteca închisă ca la una care traversează vârfurile pereților de beton ai labirintului.) În 2001, Stanislav Smirnov și Werner s-au dovedit că acest exponent era 1/4. (Deoarece 1/4 este substanțial mai mare decât 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ se micșorează mai repede decât $latex 1/n^{5/48}$ ca n dezvoltă. Prin urmare, șansa unei structuri policromatice cu două brațe este mult mai mică decât șansa unui braț, așa cum ne-am putea aștepta.)
Acest calcul se bazase mult pe cunoștințele despre forma clusterelor din grafic. Imaginați-vă că un labirint la probabilitatea critică este extrem de mare - format din milioane și milioane de hexagoane. Acum găsiți un grup de hexagoane goale și trasați marginea grupului cu un Sharpie negru gros. Acest lucru probabil nu va avea ca rezultat un blob simplu, rotund. De la kilometri în aer, ai vedea o curbă zdruncinată care se dublează în mod constant înapoi, deseori părând că e pe cale să se încrucișeze, dar nu se angajează niciodată.
Acesta este un tip de curbă numită curbă SLE, introdusă de Schramm în a Hârtie 2000 care a redefinit domeniul. Un matematician care studiază șansele de a găsi o cale deschisă și una închisă știe că acele căi trebuie să se afle în grupuri mai mari de locuri deschise și închise, care în cele din urmă se întâlnesc de-a lungul unei curbe SLE. Proprietățile matematice ale curbelor SLE se traduc apoi în informații neprețuite despre căile din labirint. Dar dacă matematicienii caută mai multe căi de același tip, curbele SLE își pierd mult din eficacitate.
Până în 2007, Nolin și colaboratorul său Vincent Beffara au creat simulări numerice care arătau că exponentul monocromatic cu două brațe era de aproximativ 0.35. Acesta era în mod suspect de aproape de 17/48 - suma exponentului cu un singur braț, 5/48, și exponentului policromatic cu două brațe, 1/4 (sau 12/48). „17/48 este cu adevărat izbitor”, a spus Nolin. El a început să bănuiască că 17/48 era răspunsul adevărat - adică exista o legătură simplă între diferitele tipuri de exponenți. Le puteți adăuga doar împreună. „Am spus, OK, e prea frumos pentru a fi fals; trebuie să fie adevărat.”
Introducere
Pentru o vreme, nu a rezultat nimic din conjectura lui Nolin și Beffara, deși Nolin a postat-o pe site-ul său pentru ca alții să lucreze. S-a mutat în Hong Kong în 2017 pentru a ocupa un post de profesor la Universitatea City din Hong Kong și a continuat să lucreze la această problemă. În 2018, a adus în discuție exponentul cu Wei Qian, care atunci era post-doctorat la Universitatea din Cambridge din Anglia. Qian studia geometria aleatoare mai degrabă în context continuu decât discret, cu un accent special pe curbele SLE. Ea se afla în mijlocul unui proiect care folosea SLE pentru a calcula exponenți într-un alt tip de model aleator, iar Nolin a început să bănuiască că expertiza ei era relevantă și pentru exponentul monocromatic cu două brațe. Perechea a găsit în curând o ecuație simplă a cărei soluție ar da exponentul, dar acea ecuație se baza pe o cantitate intermediară care avea de-a face cu spațiul închis de o curbă SLE la marginea grilei. Nolin și Qian nu au putut stabili acel număr.
„Am făcut multe calcule, dar încă nu am fost capabil să calculez această proprietate”, a spus Qian. „Nu am reușit, așa că m-am oprit de ceva timp.”
„Nu l-am menționat niciodată nimănui pentru că nu eram siguri dacă va fi util sau nu”, a adăugat Nolin.
Exponentul Coloanei vertebrale
Exponentul monocromatic cu două brațe este deosebit de interesant deoarece descrie și „coloana vertebrală” a unei grile: colecția de hexagoane care sunt conectate la două brațe distincte care se extind la două brațe care nu se suprapun: unul la marginea labirintului și unul la centrul acesteia. Când aceste site-uri sunt colorate, ele formează o rețea care ajunge peste întreaga grilă și se numește coloana vertebrală. Când cercetătorii modelează răspândirea bolilor sau a formațiunilor de rocă poroasă, coloana vertebrală este o autostradă de-a lungul căreia microbii sau petrolul pot curge. Exponentul pe care l-au căutat Nolin și Qian dezvăluie dimensiunea coloanei vertebrale și este denumit exponentul coloanei vertebrale.
Nolin și Qian nu au fost singurii după coloana vertebrală. Xin Sun, pe atunci de la Universitatea din Pennsylvania, încercase și el să calculeze exponentul coloanei vertebrale. În anii precedenți, Sun și colaboratorii, inclusiv Nina Holden de la Universitatea din New York, au descoperit o modalitate de a studia curbele SLE folosind suprafețe fractale aleatorii. Aceste suprafețe întinse, curbe, au margini festonate care se extind în vârle lungi. Unele puncte sunt la un hop scurt de la vecinii lor, în timp ce altele sunt o călătorie de câteva luni. În anumite locuri, aceste efecte sunt prea extreme pentru a fi vizualizate. „De fapt, nu este posibil să-l desenezi” complet exact, a spus Holden. „Ar trebui să întindeți foarte mult suprafața.”
În vara anului 2022, Sun l-a înrolat pe Zijie Zhuang, un student absolvent în anul doi, să se alăture studiului labirintului aleatoriu la probabilitatea critică. Ei au considerat labirinturi aleatorii în care hexagoanele se aflau pe o suprafață fractală aleatorie, în loc de pe un plan plat. Deoarece hazardul determină unde și cât de mult este întinsă și comprimată suprafața, suprafața are proprietăți unice. (Aceste proprietăți fac, de asemenea, astfel de suprafețe utile pentru fizicienii care studiază modele de gravitație cuantică într-un univers bidimensional, dându-le numele: suprafețe gravitaționale cuantice Liouville.) De exemplu, dacă duceți foarfecele la o astfel de suprafață, formele două jumătăți nu depind una de alta. „Acest tip de independență simplifică foarte mult lucrurile”, a spus Scott Sheffield al Institutului de Tehnologie din Massachusetts. Când lucrurile sunt aleatorii, știi mai puține despre ele, dar asta ar putea însemna mai puține informații de care să ții cont în mod obositor.
Sun și Zhuang au încercat mai întâi să determine probabilitatea ca o cale deschisă să conecteze un cerc mic în jurul centrului rețelei de un cerc mai mare, înconjurător. După ce au răspuns la această întrebare, Sun a sugerat un pas în ambiție: calcularea șansei ca două căi să conecteze cercurile imbricate, ceea ce le-ar fi oferit o modalitate de a calcula exponentul coloanei vertebrale. Curând, însă, au întâmpinat dificultăți. „Am încercat această abordare timp de câteva luni, dar calculul pare să nu fie foarte manevrabil”, a scris Zhuang într-un e-mail.
Introducere
Între timp, deși Nolin și Qian nu reușiseră să găsească valoarea exponentului, au făcut progrese în alte moduri. Qian și-a luat concediu din funcția ei la Centrul Național Francez pentru Cercetare Științifică și sa alăturat lui Nolin ca profesor la Universitatea City din Hong Kong. (De asemenea, s-au căsătorit.) În vara anului 2021, ea a dat peste câteva lucrări ale lui Sun și colaboratorilor săi care au intrigat-o, așa că, pe măsură ce restricțiile de călătorie cauzate de pandemie au fost ridicate, ea a planificat o vizită în decembrie 2022 la Institutul pentru Studii Avansate din Princeton. , New Jersey, unde Sun petrecea anul.
S-a dovedit o vizită profitabilă. Pe măsură ce Qian a descris ecuația pe care ea și Nolin au găsit-o, Sun a început să creadă că ar putea fi potrivită tehnicii lui și a lui Zhuang de a suprapune labirinturile pe suprafețele gravitaționale cuantice Liouville. „Este un fel de coincidență”, a spus Sun. „Un tip are lacăt, un tip are cheie.”
Zhuang a fost puțin sceptic. „Nu avem predicții și nici măcar nu știm dacă formula va avea o soluție bună”, a spus el, descriind starea de fapt la acea vreme. Sun și Zhuang și-au petrecut următoarele câteva luni folosind tehnicile lor gravitaționale cuantice Liouville - cheia - pentru a debloca cantitatea evazivă din ecuația lui Nolin și Qian cu ani mai devreme - blocarea.
După patru luni de muncă, Sun și Zhuang deschiseseră lacătul metaforic. Sun a trimis un e-mail către Zhuang, Qian și Nolin, proclamând: „Vești grozave: Formula exactă pentru exponentul dorsal”. Răspunsul, a găsit el, a fost o expresie moderat complicată a rădăcinilor pătrate și a funcției sinusului trigonometric. A fost în acord cu estimările anterioare, un flux nesfârșit de cifre care începe cu 0.3566668.
Cei patru și-au transformat munca într-o lucrare scrisă, rafinând argumentul până când ideile de la Nolin și Qian, pe de o parte, și Sun și Zhuang, pe de altă parte, s-au combinat pentru a crea o dovadă că Sheffield, care a fost consilierul doctoral al lui Sun, a numit „o frumoasă bijuterie." „Strategia de demonstrare este cu siguranță surprinzătoare și foarte originală, dar atunci când o vezi, este și ceva care se simte oarecum natural”, a spus Holden.
Nolin își deplânge suspiciunea din 2011 că exponentul era exact 17/48. „Am indus în eroare terenul de ceva vreme. Nu sunt foarte mândru de asta.” Exponentul coloanei vertebrale este izbitor de diferit de verii săi policromatici. Nu numai că este irațional, dar este și transcendental, adică ca $latex pi$ și e, nu poate fi scris ca soluție la o ecuație polinomială simplă.
„Dovada nu explică cu adevărat de unde vine această formulă”, a spus el. „Le-am arătat fizicienilor și așteptăm cu nerăbdare înțelegerea lor.”
Natura transcendentală a exponentului coloană vertebrală a atras atenția celorlalți din domeniu. Gregory Huber de la Chan Zuckerberg Biohub, care a fost coautor al a articol de continuare despre exponentul coloana vertebrală, a spus că crede că rezultatul este „prima privire a unui nou continent” în mecanica statistică. Deși combinarea curbelor SLE și a gravitației cuantice Liouville este extrem de tehnică, răspunsul numeric clar și simplu care a apărut, a scris el, este „uimitor de simplu și elegant”.
- Distribuție de conținut bazat pe SEO și PR. Amplifică-te astăzi.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Împuterniciți-vă. Accesați Aici.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Cunoștințe amplificate. Accesați Aici.
- PlatoESG. carbon, CleanTech, Energie, Mediu inconjurator, Solar, Managementul deșeurilor. Accesați Aici.
- PlatoHealth. Biotehnologie și Inteligență pentru studii clinice. Accesați Aici.
- Sursa: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :are
- :este
- :nu
- :Unde
- ][p
- $UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Capabil
- Despre Noi
- mai sus
- AC
- acord
- Cont
- precis
- peste
- de fapt
- adăuga
- adăugat
- adăugare
- avansat
- afaceri
- După
- din nou
- în urmă
- AIR
- TOATE
- de-a lungul
- de asemenea
- ambiție
- potrivită
- an
- analize
- și
- O alta
- răspunde
- oricine
- aplicatii
- abordare
- aproximative
- SUNT
- argument
- ARM
- arme
- în jurul
- AS
- alocate
- At
- atenţie
- înapoi
- Șira spinării
- Sold
- BE
- frumos
- a devenit
- deoarece
- fost
- înainte
- început
- Început
- de mai jos
- între
- Mare
- Pic
- Negru
- Albastru
- corp
- atât
- adus
- construi
- dar
- by
- calcula
- calculată
- calcularea
- calcul
- calcule
- denumit
- apeluri
- Cambridge
- a venit
- CAN
- nu poti
- caz
- prins
- Celule
- Celsius
- Centru
- central
- Secol
- sigur
- provocare
- chan
- șansă
- șansele
- Schimbare
- Modificări
- caracter
- caracterizează
- Cerc
- cerc
- Oraș
- Universitatea orașului din Hong Kong
- clar
- Închide
- închis
- Grup
- coincidență
- colaboratori
- colectare
- Coloană
- combinate
- combinând
- cum
- venire
- săvârșire
- complet
- complicat
- calcul
- calcule
- Calcula
- beton
- presupunere
- legat
- Conectarea
- luate în considerare
- constant
- mereu
- context
- continuu
- contrast
- Conversație
- corecta
- ar putea
- crea
- a creat
- critic
- Trece
- curba
- Întuneric
- mort
- zeci de ani
- decembrie
- categoric
- Grad
- depinde
- descris
- descrie
- descriind
- Amenajări
- detaliu
- Determina
- determină
- FĂCUT
- diferit
- dificultăți
- cifre
- diminuarea
- Boală
- boli
- distinct
- do
- Nu
- Domina
- Dont
- De
- Dublu
- jos
- drastic
- a desena
- fiecare
- Mai devreme
- mai ușor
- uşor
- Margine
- în mod eficient
- eficacitate
- efecte
- oricare
- a apărut
- apare
- capăt
- Fără sfârşit
- se încheie
- Anglia
- Întreg
- stabilește
- estimativ
- estimări
- Chiar
- în cele din urmă
- Fiecare
- tot
- exact
- aștepta
- expertiză
- Explica
- explora
- expresie
- extinde
- extindere
- extremă
- extrem
- A eșuat
- fals
- se simte
- puțini
- camp
- imaginat
- umplut
- În cele din urmă
- Găsi
- descoperire
- First
- plat
- debit
- Concentra
- Pentru
- formă
- formulă
- Înainte
- găsit
- patru
- Franţa
- Franceză
- din
- Complet
- funcţie
- GAS
- Gem
- generată
- obține
- Da
- dat
- Oferirea
- licărire
- bine
- am
- absolvent
- grafic
- gravitate
- mare
- Grilă
- Crește
- creste
- Tip
- HAD
- Jumătate
- mână
- Avea
- având în
- he
- puternic
- ei
- superior
- Şosea
- lui
- hit-uri
- Hong
- Hong Kong
- Cum
- Totuși
- HTML
- http
- HTTPS
- mare
- i
- ICE
- idei
- if
- imagina
- in
- În altele
- Inclusiv
- Crește
- independenţă
- independent
- infecțios
- Boli infecțioase
- informații
- în interiorul
- înţelegere
- instanță
- in schimb
- Institut
- interesant
- în
- introdus
- neprețuit
- invariabil
- irațional
- IT
- ESTE
- în sine
- jerseu
- alătura
- alăturat
- călătorie
- doar
- ținut
- Cheie
- Copil
- tipurile
- Cunoaște
- cunoştinţe
- cunoscut
- știe
- Kong
- mare
- mai mare
- cea mai mare
- Nume
- pune
- Părăsi
- lăsând
- stânga
- Lungime
- mai puțin
- minciună
- Ridicat
- ușoară
- ca
- LINK
- Lichid
- bloca
- Lung
- cautati
- pierde
- Lot
- LOWER
- făcut
- revistă
- face
- Efectuarea
- Măști
- Massachusetts
- Institutul de tehnologie din Massachusetts
- masiv
- matematica
- matematic
- matematică
- poate
- însemna
- sens
- mecanică
- Întâlni
- menționat
- ar putea
- milioane
- MIT
- model
- Modele
- moderat
- luni
- mai mult
- cele mai multe
- mutat
- mult
- multiplu
- trebuie sa
- nume
- național
- Natural
- Natură
- În apropiere
- necesar
- vecini
- Nici
- nu
- Nou
- New Jersey
- New York
- ştiri
- următor
- frumos
- Nu.
- nimic
- acum
- număr
- Cote
- of
- de multe ori
- Ulei
- on
- ONE
- cele
- afară
- deschide
- deschis
- deschide
- or
- original
- Altele
- Altele
- afară
- peste
- pereche
- pandemie
- Hârtie
- lucrări
- în special
- cale
- căi
- Pennsylvania
- Peter
- fizician
- Locuri
- plan
- planificat
- Plato
- Informații despre date Platon
- PlatoData
- buzunare
- Punct
- puncte
- pozat
- poziţie
- posibil
- postat
- Practic
- precedent
- a prezis
- prezicere
- Predictii
- Princeton
- probabil
- Problemă
- Profesor
- profitabil
- Progres
- proiect
- dovadă
- proprietăţi
- proprietate
- mândru
- s-au dovedit
- Quantamagazina
- cantitate
- Cuantic
- întrebare
- Întrebări
- repede
- cu totul
- aleator
- generat aleatoriu
- mai degraba
- aTINGE
- într-adevăr
- Redefined
- menționat
- rafinare
- legate de
- cerință
- cercetare
- cercetători
- restricții
- rezultat
- dezvaluie
- stâncă
- rădăcini
- rotund
- Said
- acelaşi
- Spune
- scenariu
- ştiinţific
- căutare
- vedea
- pare
- trimis
- distinct
- câteva
- Modela
- forme
- ea
- Pantaloni scurți
- a arătat
- parte
- simplu
- Simplifică
- simulări
- sta
- Centre de cercetare
- Mărimea
- sceptic
- mic
- mai mici
- So
- solid
- soluţie
- unele
- ceva
- uneori
- curând
- căutat
- Spaţiu
- special
- Cheltuire
- uzat
- întins
- răspândire
- pătrat
- Pornire
- Stat
- statistic
- Pas
- Încă
- Stop
- oprit
- Strategie
- curent
- structura
- student
- studiat
- studiu
- Studiu
- Studiu
- substanţial
- reuși
- astfel de
- brusc
- de vară
- soare
- sigur
- Suprafață
- surprinzător
- Înconjurător
- Suspect
- Lua
- Tehnic
- tehnică
- tehnici de
- Tehnologia
- decât
- acea
- Graficul
- Statul
- lor
- Lor
- apoi
- Acolo.
- Acestea
- ei
- subțire
- lucruri
- crede
- -Crede
- acest
- aceste
- deşi?
- gândit
- Prin
- timp
- la
- împreună
- de asemenea
- a luat
- Bluze
- Urmă
- tranziţie
- Traduceți
- călătorie
- turbat
- încercat
- adevărat
- încercat
- transformat
- Două
- tip
- sub
- unic
- Univers
- universitate
- Universitatea Cambridge
- deschide
- până la
- utilizare
- utilizat
- util
- folosind
- valoare
- foarte
- vincent
- Vizita
- dorit
- a fost
- Washington
- Apă
- Cale..
- modalități de
- we
- web
- WebP
- website
- BINE
- au fost
- Ce
- cand
- dacă
- care
- în timp ce
- OMS
- a caror
- voi
- cu
- în
- fără
- Apartamente
- de lucru
- ar
- ar da
- scris
- scris
- an
- ani
- York
- Tu
- Ta
- zephyrnet
- zero
- Zuckerberg