Îmbinând câmpuri, matematicienii merg la distanță pe problema veche | Revista Quanta

Schimbarea planurilor a venit într-o călătorie. Într-o zi frumoasă din aprilie trecut, matematicienii Rachel Greenfeld și Sarah Peluse au plecat de la instituția lor de origine, Institutul pentru Studii Avansate din Princeton, New Jersey, îndreptându-se spre Rochester, New York, unde ambii erau programați să susțină discuții a doua zi.

Ei s-au luptat de aproape doi ani cu o presupunere importantă în analiza armonică, domeniul care studiază cum să despartă semnalele complexe în frecvențele lor componente. Împreună cu un al treilea colaborator, Marina Iliopoulou, ei studiau o versiune a problemei în care frecvențele componente sunt reprezentate ca puncte dintr-un plan ale căror distanțe între ele sunt legate de numere întregi. Cei trei cercetători încercau să demonstreze că nu puteau fi prea multe dintre aceste puncte, dar până acum, toate tehnicile lor au rămas scurte.

Păreau să-și învârt roțile. Atunci Peluse a avut un gând: ce se întâmplă dacă ar renunța la problema analizei armonice – temporar, desigur – și și-ar îndrepta atenția către seturi de puncte în care distanța dintre oricare două puncte este exact un număr întreg? Ce structuri posibile pot avea astfel de seturi? Matematicienii au încercat să înțeleagă seturile întregi de distanțe încă din cele mai vechi timpuri. De exemplu, triplele pitagoreene (cum ar fi 3, 4 și 5), reprezintă triunghiuri dreptunghiulare ale căror trei vârfuri sunt toate la distanțe întregi.

„În mașină, cred că pentru că Rachel a fost prinsă cu mine, am adus-o în discuție”, a spus Peluse, care acum este profesor la Universitatea din Michigan. Ideea de a aborda distanțe întregi a electrificat Greenfeld.

Înainte să-și dea seama, se îmbarcaseră nu într-o singură schimbare de direcție, ci în două.

„De fapt, am încetat să fim atenți unde mergem și nu am coborât de pe autostradă”, a spus Peluse. „Mergeam în direcția opusă față de Rochester cu o oră înainte de a observa, pentru că eram atât de entuziasmați de matematică.”

În 1945, Norman Anning și Paul Erdős s-au dovedit că un set infinit de puncte din plan care sunt toate distanțe întregi între ele trebuie să se afle pe o dreaptă. Pentru un set finit de puncte, posibilitățile sunt puțin mai variate. Matematicienii au construit seturi mari care se află fie pe o linie, fie pe un cerc, uneori cu trei sau patru puncte în plus, care se află pe calea principală. (Punctele în sine nu trebuie să aibă coordonate întregi - întrebarea este despre distanțele dintre ele.)

Nimeni nu a venit cu un set mare de puncte cu nicio altă configurație, dar nimeni nu a dovedit că alte configurații sunt imposibile. În cei aproape 80 de ani de la rezultatul lui Anning și Erdős, subiectul nu a înregistrat practic niciun progres - până acum.

Greenfeld, Iliopoulou și Peluse au s-au dovedit că toate punctele dintr-un set de distanțe întregi mari - cu excepția poate unei mâne rare de puncte aberante - trebuie să se afle pe o singură linie sau cerc. „Dacă doriți să aveți un set mare în care toate distanțele pe perechi sunt numere întregi, atunci cercurile și liniile sunt singurii jucători”, a spus József Solymosi de la Universitatea din Columbia Britanică. El a numit rezultatul lor o „soluție fantastică”.

Noua abordare folosește idei și tehnici din trei domenii distincte ale matematicii: combinatorică, teoria numerelor și geometrie algebrică. Această unire a diferitelor domenii „ar putea fi o adevărată descoperire psihologică”, a spus Terence tao, un matematician la Universitatea din California, Los Angeles.

Alex Iosevici, de la Universitatea din Rochester, este de acord. „Au pus o bază foarte solidă pentru un set foarte larg de probleme”, a spus el. „Nu există absolut nicio îndoială în mintea mea că acest lucru va găsi aplicații și mai profunde.”

Limitele simplității

În cadrul unui plan, este ușor să alegeți un set infinit de puncte care sunt la distanțe întregi între ele - luați doar linia preferată, imaginați-vă o linie numerică suprapusă pe ea și utilizați unele sau toate punctele corespunzătoare numerelor întregi. Dar aceasta este singura modalitate de a construi o distanță întregă infinită stabilită în plan, așa cum au realizat Anning și Erdős în 1945. De îndată ce ai doar trei puncte care nu sunt toate pe aceeași linie, configurația ta devine atât de constrânsă încât este imposibil. pentru a adăuga infinit mai multe puncte.

Motivul se rezumă la geometrie simplă. Imaginați-vă că începeți cu două puncte, A și B, care sunt la o distanță întreagă. Dacă doriți să adăugați un al treilea punct, C, care este o distanță întreagă atât de la A cât și de la B, dar nu se află pe linia care le trece, majoritatea punctelor din plan nu vor funcționa. Singurele puncte viabile trăiesc pe curbe speciale numite hiperbole care se intersectează între A și B. Dacă A și B sunt, să zicem, la 4 unități unul de celălalt, atunci există exact patru dintre aceste hiperbole. (O hiperbolă are de obicei două părți distincte, deci, de exemplu, cele două curbe roșii din figura de mai jos formează o singură hiperbolă.)

Odată ce ați ales C (care în acest exemplu este de 3 unități din A și 5 unități din B), nu mai aveți opțiuni pentru a adăuga mai multe puncte. Orice punct pe care l-ați putea adăuga trebuie să se afle pe una dintre hiperbolele dintre A și B sau pe linia care trece prin ele. Dar trebuie să se afle și pe una dintre hiperbolele dintre A și C și una dintre hiperbolele dintre B și C (sau liniile corespunzătoare) - cu alte cuvinte, un nou punct poate fi plasat numai acolo unde trei hiperbole sau linii se intersectează (deși nu orice punct de intersecție va funcționa). Există doar un număr limitat de aceste hiperbole și linii pentru început și două hiperbole (sau linii) se pot intersecta în cel mult patru puncte. Deci, ajungi să ai doar un număr finit de puncte de intersecție din care să alegi — nu poți construi un set infinit.

Când vine vorba de înțelegerea cum arată de fapt un set finit de puncte întregi de distanță, abordarea hiperbolă devine rapid greoaie. Pe măsură ce adaugi puncte, trebuie să te lupți cu un număr tot mai mare de hiperbole. De exemplu, până când setul tău are doar 10 puncte, adăugarea unui al 11-lea va crea 10 noi familii de hiperbole - toate cele dintre noul tău punct și fiecare dintre punctele deja din set. „Nu poți adăuga multe puncte, pentru că te vei pierde în toate acele hiperbole și intersecții”, a spus Greenfeld.

Deci, matematicienii au căutat principii mai ușor de gestionat pentru a construi seturi mari de puncte întregi de distanță care nu se află pe o linie. Dar ei au reușit să vină cu o singură abordare: Pune-ți punctele pe un cerc. Dacă doriți o distanță întreagă stabilită cu, să zicem, un trilion de puncte, există modalități de a găsi un trilion de puncte pe un cerc cu raza 1 ale cărui distanțe sunt toate fracții. Apoi puteți umfla cercul până când toate distanțele fracționale se transformă în numere întregi. Cu cât doriți mai multe puncte în setul dvs., cu atât va trebui să umflați cercul.

De-a lungul anilor, matematicienii au venit cu doar exemple puțin mai exotice. Ei pot construi seturi întregi mari de distanțe în care toate punctele, cu excepția celor patru, se află pe o linie sau toate, cu excepția a trei, se află pe un cerc. Mulți matematicieni bănuiesc că acestea sunt singurele seturi întregi mari de distanțe în care nu toate punctele sunt pe o linie sau un cerc. Vor ști asta cu siguranță dacă vor putea vreodată să dovedească ceva numit conjectura Bombieri-Lang. Dar matematicienii sunt împărțiți în ceea ce privește dacă această presupunere este probabil să fie adevărată.

De la lucrările lui Anning și Erdős din 1945, matematicienii au făcut puține progrese în înțelegerea seturilor de distanțe întregi. De-a lungul timpului, problema distanței întregi părea să se alăture unei game de alte probleme din combinatorică, teoria numerelor și geometrie care sunt simplu de afirmat, dar aparent imposibil de rezolvat. „Este o măsură a cât de patetică este matematica noastră”, a spus Tao.

Într-un fel, problema distanței întregi a fost o victimă a propriilor succese timpurii. Dovada hiperbolei, cu simplitatea sa ingenioasă, este emblematică pentru filozofia susținută de Erdős, un matematician foarte influent care a vorbit adesea despre „Carte” – un volum imaginat al celor mai elegante dovezi din matematică. Cultura simplității promovată de Erdős a dus la „rezultate extraordinare” în geometria combinatorie, a spus Iosevich. Dar poate duce și la punctele moarte - în acest caz, despre valoarea aducerii abordărilor din geometria algebrică.

„Nu cred că veți găsi un rezultat [în geometria algebrică] dovedit în ultimii 50 de ani care nu este foarte implicat din punct de vedere tehnic și dezordonat”, a spus Iosevich. „Cu toate acestea, uneori lucrurile trebuie să fie așa.”

Privind retrospectiv, problema distanței întregi aștepta matematicienii care erau dispuși să ia în considerare curbe mai indisciplinate decât hiperbolele și apoi să recurgă la instrumente recondite din geometria algebrică și teoria numerelor pentru a le îmblânzi. „A fost nevoie de oameni cu cunoștințe și interes suficient”, a spus Iosevici.

Majoritatea matematicienilor, a spus el, se mulțumesc să folosească câteva instrumente într-un colț al matematicii pentru întreaga lor carieră. Dar Greenfeld, Iliopoulou și Peluse sunt exploratori neînfricați, a spus Iosevich. „Ei văd matematica ca un întreg coerent.”

Complexizarea problemei

În vara anului 2021, Greenfeld a decis că este timpul să încerce o problemă din analiza armonică la care se gândise încă de la absolvire. Analiza armonică clasică, care formează baza procesării semnalului în lumea reală, se referă la descompunerea semnalelor în unde sinusoidale de diferite frecvențe și faze. Acest proces funcționează deoarece este posibil să se facă o listă infinită de unde sinusoidale care, atunci când sunt combinate, captează toate caracteristicile oricărui semnal, fără nicio redundanță.

Deseori, însă, cercetătorii doresc să studieze ceva mai complicat decât un semnal unidimensional. De exemplu, ar putea dori să descompună un semnal pe un disc din avion. Dar discul poate găzdui doar o colecție finită de unde sinusoidale compatibile - prea puține pentru a capta comportamentul tuturor semnalelor posibile de pe disc. Întrebarea devine atunci: Cât de mare poate fi această colecție finită?

Într-o astfel de colecție, frecvențele sinusurilor pot fi reprezentate ca puncte din plan care par contrarii grupării în linii și cercuri: nu veți găsi niciodată trei puncte care sunt toate aproape de aceeași linie sau patru care sunt toate apropiate. la același cerc. Greenfeld spera să folosească această aversiune pentru a demonstra că aceste seturi de frecvențe pot conține doar câteva puncte.

La o întâlnire din 2021 la Universitatea din Bonn, Greenfeld a participat la o discuție despre „metoda determinantului”, o tehnică din teoria numerelor care poate fi folosită pentru a estima câte puncte întregi de anumite tipuri pot sta pe curbe. Acest instrument, și-a dat seama, ar putea fi exact ceea ce avea nevoie. Greenfeld i-a recrutat pe Iliopoulou și Peluse, care au fost și ei la întâlnire. „Am început să învățăm această metodă împreună”, a spus Greenfeld.

Dar, în ciuda multor eforturi, parcă nu au putut să îndoaie metoda determinantă în scopul lor, iar până în primăvara lui 2023, se simțeau descurajați. Iosevici îi invitase pe Greenfeld și Peluse să conducă la Rochester pentru o vizită. „Așa că ne-am gândit: „OK, vom merge la Rochester, iar discuția cu Alex ne va revigora”, a spus Peluse. Dar după cum s-a dovedit, ei au aterizat în Rochester deja revigorați, datorită unei discuții încurajatoare despre seturile de distanțe întregi pe ocolirea lor neplanificată de-a lungul râului Susquehanna din Pennsylvania.

Au ajuns prea târziu pentru o cină plănuită cu Iosevici, dar l-au găsit așteptând în holul hotelului cu saci de mâncare la pachet. Le-a iertat întârzierea - și a fost mai mult decât iertător a doua zi dimineață, când i-au spus despre planul lor de a aborda seturile întregi de distanțe. „Era atât de entuziasmat”, și-a amintit Peluse. „Din punct de vedere emoțional, acesta a fost un impuls uriaș.”

Ca și în cazul abordării hiperbolelor, Greenfeld, Iliopoulou și Peluse au încercat să controleze structura seturilor de distanțe întregi prin identificarea familiilor de curbe pe care trebuie să se afle punctele. Metoda hiperbolei începe să devină prea complicată de îndată ce aveți mai mult de câteva puncte, dar Greenfeld, Iliopoulou și Peluse și-au dat seama cum să ia în considerare mai multe puncte în același timp, mutând întreaga configurație într-un spațiu de dimensiuni mai mari.

Pentru a vedea cum funcționează, să presupunem că începeți cu un punct de „referință” A în setul de distanțe întregi. Fiecare alt punct din mulțime este la o distanță întreagă de A. Punctele trăiesc într-un plan, dar puteți lovi planul în spațiul tridimensional prin lipirea unei a treia coordonate pe fiecare punct, a cărei valoare este distanța de la A. De exemplu , să presupunem că A este punctul (1, 3). Apoi punctul (4, 7), care este la 5 unități distanță de A, se transformă în punctul (4, 7, 5) în spațiul tridimensional. Acest proces transformă planul într-un con în spațiul tridimensional al cărui vârf se află la A, acum etichetat (1, 3, 0). Punctele întregi de distanță devin puncte din spațiul tridimensional care se află pe con și, de asemenea, pe o anumită rețea.

În mod similar, dacă alegeți două puncte de referință, A și B, puteți converti punctele din plan în puncte din spațiul cu patru dimensiuni — trebuie doar să dați fiecărui punct două coordonate noi ale căror valori sunt distanțele sale la A și B. Acest proces transformă planul. într-o suprafață curbă într-un spațiu cu patru dimensiuni. Puteți continua să adăugați mai multe puncte de referință în acest fel. Cu fiecare nou punct de referință, dimensiunea crește cu unu și planul este mapat pe o suprafață și mai mișcă (sau, după cum spun matematicienii, o suprafață de grad mai mare).

Cu acest cadru în vigoare, cercetătorii au folosit metoda determinanților din teoria numerelor. Determinanții sunt numere, de obicei asociate cu matrici, care captează o serie de proprietăți geometrice ale unei colecții de puncte - de exemplu, un anumit determinant ar putea măsura aria triunghiului format din trei dintre puncte. Metoda determinanților oferă o modalitate de a folosi astfel de determinanți pentru a estima numărul de puncte care se află simultan pe o suprafață ondulată și pe o rețea - exact genul de situație cu care se confruntau Greenfeld, Iliopoulou și Peluse.

Cercetătorii au folosit o linie de lucru bazată pe metoda determinanților pentru a arăta că atunci când își ridică distanța întreagă stabilită la o dimensiune adecvată, toate punctele trebuie să se afle pe un număr mic de curbe speciale. Aceste curbe, când umbrele lor în plan nu sunt o linie sau un cerc, nu pot conține multe puncte de rețea, care sunt singurele candidate pentru puncte din setul de distanțe întregi. Aceasta înseamnă că numărul de puncte din set care se pot afla în afara liniei principale sau a cercului este delimitat - cercetătorii au arătat că trebuie să fie mai mic decât o funcție care crește foarte lent a diametrului setului.

Legatura lor nu atinge standardul „patru puncte în afara liniei sau trei puncte în afara cercului”, despre care mulți matematicieni cred că este adevărată pentru seturile întregi mari de distanțe. Chiar și așa, rezultatul arată că „esența presupunerii este adevărată”, a spus Jacob Fox de la Universitatea Stanford. O dovadă completă a conjecturii va necesita probabil o altă infuzie de idei noi, au spus matematicienii.

Schema de codare cu dimensiuni înalte a echipei este „extrem de robustă”, a spus Iosevich. „Nu există doar aplicații în principiu – există aplicații la care mă gândesc deja.”

O aplicație, Greenfeld, Iliopoulou și Peluse speră, va fi la problema lor originală de analiză armonică, la care cei trei revin acum. Rezultatul lor privind seturile întregi de distanțe „ar putea fi o piatră de temelie spre asta”, a spus Greenfeld.

Sinteza combinatoriei cu geometrie algebrică pe care cercetătorii au inițiat-o nu se va opri cu seturi întregi de distanțe sau probleme conexe în analiza armonică, a prezis Iosevich. „Cred că ceea ce vedem este o descoperire conceptuală”, a spus el. „Acest lucru transmite un mesaj oamenilor din ambele domenii că aceasta este o interacțiune foarte productivă.”

De asemenea, trimite un mesaj despre valoarea de a face uneori o problemă mai complicată, a spus Tao. Matematicienii se străduiesc de obicei pentru invers, a remarcat el. „Dar acesta este un exemplu în care complexarea problemei este de fapt mișcarea corectă.”

Avansul a schimbat felul în care gândește la curbele de grad înalt, a spus el. „Uneori pot fi prietenii tăi și nu dușmanii tăi.”