Matematicienii se minunează de tăieturile „nebune” din patru dimensiuni | Revista Quanta

Obiectele centrale de studiu în topologie sunt spații numite varietăți, care arată plate când măriți pe ele. Suprafața unei sfere, de exemplu, este o varietate bidimensională. Topologii înțeleg foarte bine astfel de varietăți bidimensionale. Și au dezvoltat instrumente care le permit să înțeleagă varietățile tridimensionale și cele cu cinci sau mai multe dimensiuni.

Dar în patru dimensiuni, „totul devine puțin razna”, a spus Sam Hughes, cercetător postdoctoral la Universitatea din Oxford. Uneltele nu mai funcționează; apare un comportament exotic. La fel de Tom Mrowka de la Institutul de Tehnologie din Massachusetts a explicat: „Există suficient spațiu pentru a avea fenomene interesante, dar nu atât de mult spațiu încât să se destrame”.

La începutul anilor 1990, Mrowka și Peter Kronheimer de la Universitatea Harvard studiau modul în care suprafețele bidimensionale pot fi încorporate în varietăți cu patru dimensiuni. Ei au dezvoltat noi tehnici pentru a caracteriza aceste suprafețe, permițându-le să obțină perspective cruciale asupra structurii altfel inaccesibile a varietăților cu patru dimensiuni. Descoperirile lor au sugerat că membrii unei clase largi de suprafețe tăiază toți prin varietatea lor părinte într-un mod relativ simplu, lăsând o proprietate fundamentală neschimbată. Dar nimeni nu a putut dovedi că acest lucru a fost întotdeauna adevărat.

În februarie, împreună cu Daniel Ruberman de la Universitatea Brandeis, Hughes a construit o succesiune de contraexemple — suprafețe bidimensionale „nebunești” care își disecă varietățile părinte în moduri pe care matematicienii le credeau a fi imposibile. Contraexemplele arată că varietățile cu patru dimensiuni sunt chiar mai remarcabil de diverse decât își dăduseră seama matematicienii din deceniile anterioare. „Este într-adevăr o hârtie frumoasă”, a spus Mrowka. „Mă tot uit la asta. Sunt o mulțime de lucruri mici delicioase acolo.”

Realizarea unei liste

La sfârșitul anului trecut, Ruberman ajutat la organizare o conferință care a creat o nouă listă a celor mai semnificative probleme deschise din topologia de dimensiuni joase. În pregătirea pentru aceasta, el a analizat o listă anterioară de probleme topologice importante nerezolvate din 1997. Aceasta includea o întrebare pe care Kronheimer o pusese pe baza muncii sale cu Mrowka. „A fost acolo și cred că a fost puțin uitat”, a spus Ruberman. Acum credea că poate răspunde.

Pentru a înțelege întrebarea, este de ajutor să luăm în considerare mai întâi două idei cheie: multiplele simple conectate și grupul fundamental.

Manifoldurile pur și simplu conectate sunt spații fără găuri care trec prin ele. Într-o dimensiune, o linie infinită este pur și simplu conectată, dar un cerc nu. În două dimensiuni, un plan infinit și suprafața unei sfere sunt pur și simplu conectate, dar suprafața unei gogoși nu este.

Matematicienii fac această distincție riguroasă plasând bucle pe o varietate și luând în considerare modul în care acestea pot fi deformate. Dacă orice buclă poate fi redusă la un punct, atunci o varietate este pur și simplu conectată. Pe un plan sau pe suprafața unei sfere, de exemplu, acest lucru este posibil - gândiți-vă să trageți o sfoară întinsă. Dar dacă acel șir se învârte în jurul unui cerc, nu se poate micșora. În mod similar, pe suprafața unei gogoși, buclele care merg fie în jurul ori prin orificiul central nu pot fi deformate într-un singur punct. Gogoasa in sine iti sta in cale.

Matematicienii clasifică spațiile care nu sunt conectate pur și simplu prin calculul „grupului lor fundamental”, un obiect a cărui structură reflectă modul în care buclele se micșorează. Varietățile care sunt pur și simplu conectate au un grup fundamental „banal” cu un singur element. Dar multiplele cu găuri în ele au grupuri fundamentale mai complicate.

Varietățile cu patru dimensiuni care sunt pur și simplu conectate pot fi încă destul de ciudate. Pentru a le înțelege, matematicienii se gândesc la ce se poate întâmpla cu suprafețele bidimensionale încorporate în ele.

Prin analogie, gândiți-vă să așezați o buclă de sfoară pe o bucată de hârtie. Nu prea poți face cu el. Dar ridicați-l în spațiul tridimensional și îl puteți lega în noduri complicate. Modalitățile în care puteți manipula șirul - o varietate unidimensională - clarifică natura spațiului în care este încorporat.

În mod similar, în lumea mai complicată a celor patru dimensiuni, suprafețele bidimensionale sunt „un fel de cheie pentru întreaga afacere, în multe moduri diferite”, a spus Ruberman. „Suprafețele vă spun mult mai multe despre o varietate cu patru dimensiuni decât vă puteți aștepta.” Suprafețele vă permit să distingeți între varietăți: dacă o suprafață poate trăi în interiorul unei varietăți, dar nu în alta, știți că varietățile sunt diferite. Și suprafețele pot fi folosite pentru a construi noi colectoare din cele vechi.

Suprafețele au și grupuri fundamentale corespunzătoare. La fel și complementele lor - partea unui colector care rămâne când luați suprafața. Scoateți ecuatorul din varietăți bidimensionale, cum ar fi suprafața unei sfere sau a unei gogoși, de exemplu, și obțineți două emisfere deconectate. Dar suprafața gogoșii rămâne dintr-o singură bucată dacă scoți un inel vertical în loc de unul orizontal. În mod similar, în funcție de modul în care tăiați o suprafață dintr-o varietate cu patru dimensiuni, puteți obține diferite tipuri de complemente.

În anii 1990, Mrowka și Kronheimer au investigat ce se întâmplă atunci când tăiați o suprafață bidimensională dintr-o varietate cu patru dimensiuni. Dacă colectorul în sine este simplu conectat, ce condiții trebuie să îndeplinească suprafețele pentru a garanta că și complementele lor trebuie să fie pur și simplu conectate?

Kronheimer și Mrowka știau că unele tipuri de suprafețe ar putea avea complemente care nu erau pur și simplu conectate. Dar munca lor părea să indice că o altă clasă largă de suprafețe trebuie să aibă întotdeauna complemente pur și simplu conectate.

Timp de aproape trei decenii, nimeni nu a putut găsi un exemplu de suprafață în acea clasă a cărei complement nu a fost pur și simplu conectat. Dar în toamna lui 2023, după ce a întâlnit problema, Ruberman a crezut că ar putea. În loc să înceapă cu o varietate cu patru dimensiuni și să decupeze o suprafață, el a început cu o suprafață bidimensională care avea proprietățile necesare și a construit o varietate în jurul ei.

Mai întâi, el a îngrășat suprafața într-un blob cu patru dimensiuni. Acest blob cu patru dimensiuni avea o limită tridimensională, la fel cum un obiect tridimensional ca o minge are o limită bidimensională. Ruberman a vrut să atașeze o varietate cu patru dimensiuni aleasă cu grijă de cealaltă parte a graniței, care să servească drept complement al suprafeței. Dacă gambit-ul ar funcționa, atunci această varietate ar avea un grup fundamental complicat, dar grupul fundamental al tuturor lucrurilor luate împreună ar fi trivial. Varietatea cu patru dimensiuni nou construită ar fi, prin urmare, pur și simplu conectată.

Dar pentru a putea lipi totul într-un mod corect, a trebuit să arate că grupul fundamental al noii adăugări satisface tot felul de proprietăți. „Nu aveam idee cum să fac asta”, a spus Ruberman.

Apoi, în ianuarie, Hughes – un teoretician de grup – a ținut o conferință la Brandeis. Ruberman era în public. A recunoscut că Hughes ar putea avea piesa lipsă pe care o căuta. Cei doi s-au întâlnit a doua zi și, în câteva ore, au pus la punct ideile principale de care aveau nevoie. Ceea ce îi lipsea lui Ruberman „este ceva ce teoreticienii grupului l-au calculat de 70, 80 de ani în acest moment”, a spus Hughes. „Suntem la asta pentru totdeauna.” Până la sfârșitul săptămânii, aveau o dovadă completă.

„Știam unele lucruri, iar el știa unele lucruri, iar între noi doi știam destule ca să o facem”, a spus Ruberman.

Din cauza modului în care teoria grupurilor este folosită în demonstrație, „este puțin neobișnuit”, a spus Maggie Miller de la Universitatea din Texas, Austin. „Este scris puțin diferit de cel cu care s-ar simți confortabil majoritatea topologilor cu patru dimensiuni.”

Rezultatul este încă un exemplu de cât de complicată poate deveni topologia în patru dimensiuni. „Există înglobări de suprafețe mai interesante decât am crezut”, a spus Hughes. Acest lucru face mai dificilă clasificarea varietăților și mai dificilă demonstrarea altor tipuri de rezultate despre ele.

Cu toate acestea, în martie, İnanç Baykur de la Universitatea din Massachusetts, Amherst, care a organizat anul trecut conferința de creare a listelor cu Ruberman, a anunțat soluția la o altă problemă care implică pur și simplu varietăți cu patru dimensiuni conectate din lista din 1997.

Se pare că topologii fac curățenie.