Teoreticianul care vede matematica în artă, muzică și scriere | Revista Quanta

Sarah Hart a avut întotdeauna un ochi pentru modurile ascunse în care matematica pătrunde în alte domenii. În copilărie, a fost uimită de omniprezența numărului 3 în basmele ei. Mama lui Hart, profesoară de matematică, a încurajat-o să caute modele, oferindu-i puzzle-uri de matematică pentru a-și petrece timpul.

Hart a continuat să obțină un doctorat în teoria grupurilor în 2000 și mai târziu a devenit profesor la Birkbeck, Universitatea din Londra. Cercetările lui Hart au sondat structura grupurilor Coxeter, versiuni mai generale ale structurilor care catalogează simetriile poligoanelor și prismelor. În 2023, ea a publicat Once Upon a Prime, o carte despre felurile în care matematica apare în ficțiune și poezie. „Deoarece noi, oamenii, facem parte din univers, este firesc ca formele noastre de exprimare creativă, printre care literatura, să manifeste și o înclinație pentru model și structură”, a scris Hart. „Așadar, matematica este cheia unei perspective complet diferite asupra literaturii.”

Din 2020, Hart este profesor de geometrie la Gresham College din Londra. Gresham nu are cursuri tradiționale; în schimb, profesorii săi susțin fiecare mai multe prelegeri publice pe an. Hart este prima femeie care a ocupat vreodată poziția de 428 de ani, care a fost ocupată în secolul al XVII-lea de Isaac Barrow, renumit pentru că a învățat un alt Isaac (Newton). Mai recent, a fost deținut de Roger Penrose, un matematician care a câștigat Premiul Nobel pentru Fizică în 17. Hart a vorbit cu Cuante despre modul în care matematica și arta se influențează reciproc. Interviul a fost condensat și editat pentru claritate.

De ce ai ales să-ți scrii cartea despre legăturile dintre matematică și literatură?

Aceste legături sunt mai puțin explorate și mai puțin cunoscute decât cele dintre matematică și, să zicem, muzică. Legăturile dintre matematică și muzică au fost celebrate cel puțin încă de la pitagoreici. Cu toate acestea, deși s-au scris și au existat cercetări academice despre anumite cărți, autori sau genuri, nu am văzut o carte pentru un public larg despre conexiunile mai largi dintre matematică și literatură.

Cum ar trebui să se gândească oamenii din domeniul artelor despre matematică?

Există multe puncte comune între matematică și, să zic, celelalte arte. În literatură, ca și în muzică și artă, nu începi niciodată cu nimic. Dacă ești poet, alegi: voi avea un haiku cu constrângerile sale numerice foarte precise sau voi scrie un sonet care are un anumit număr de versuri, o anumită schemă de rimă, un anumit metru? Chiar și ceva care nu are o schemă de rimă va avea întreruperi de linie, un ritm. Vor exista constrângeri care inspiră creativitate, care te ajută să te concentrezi.

La matematică avem același lucru. Avem niște reguli de bază. În cadrul acesteia, putem explora, ne putem juca și putem demonstra teoreme. Ceea ce poate face matematica pentru arte este să ajute la găsirea de noi structuri, să arate care sunt posibilitățile. Cum ar arăta o piesă muzicală care nu are o semnătură? Ne putem gândi la cele 12 tonuri și le aranjam diferit și iată toate modalitățile prin care poți face asta. Iată diferite scheme de culori pe care le puteți concepe, aici sunt diferite forme de metru poetic.

Care este un exemplu despre modul în care matematica a fost afectată de literatură?

Cu mii de ani în urmă, în India, poeții încercau să se gândească la posibilele contoare. În poezia sanscrită, ai silabe lungi și scurte. Lung este de două ori mai lung decât scurt. Dacă doriți să aflați câte sunt care durează trei, puteți avea scurt, scurt, scurt sau lung, scurt sau scurt, lung. Există trei moduri de a face trei. Există cinci moduri de a crea o frază de patru lungime. Și există opt moduri de a crea o frază de cinci lungime. Această secvență pe care o obțineți este una în care fiecare termen este suma celor doi anteriori. Reproduceți exact ceea ce noi astăzi numim șirul Fibonacci. Dar asta a fost cu secole înainte de Fibonacci.

Ce zici de influența matematicii asupra literaturii?

O secvență destul de simplă, dar care funcționează foarte, foarte puternic, este cartea lui Eleanor Catton Luminarele, care a apărut în 2013. Ea a folosit secvența care merge 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Fiecare capitol din acea carte are jumătate din lungimea celui de dinainte. Creează acest efect cu adevărat fascinant, deoarece ritmul crește, iar alegerile personajelor sunt mai restrânse. Totul zboară spre încheiere. Până la sfârșit, capitolele sunt extrem de scurte.

Un alt exemplu de structură matematică puțin mai complicată este ceea ce se numește pătrate latine ortogonale. Un pătrat latin este un fel ca o grilă de sudoku. În acest caz, ar fi o grilă de 10 pe 10. Fiecare număr apare exact o dată în fiecare rând și în fiecare coloană. Pătratele latine ortogonale sunt formate prin suprapunerea a două pătrate latine, astfel încât există o pereche de numere în fiecare spațiu. Grila formată de primul număr din fiecare pereche este un pătrat latin, la fel și grila formată de al doilea număr din fiecare pereche. În plus, în grila de perechi, nicio pereche nu apare de mai multe ori.

Acestea sunt foarte utile în tot felul de moduri. Puteți face coduri de corectare a erorilor din ele, care sunt utile pentru trimiterea de mesaje pe anumite canale zgomotoase. Însă unul dintre lucrurile grozave despre aceștia, mărimea 10, este că unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, Leonhard Euler, a crezut că nu ar putea exista. A fost una dintre puținele momente în care a făcut o greșeală; de aceea a fost atât de interesant. La mult timp după ce a făcut această presupunere că aceste lucruri nu ar putea exista pentru anumite dimensiuni, a fost respinsă, iar pătrate de această dimensiune au fost găsite în 1959. A fost pe acoperi of Scientific American acel an.

La câțiva ani după aceea, un scriitor francez, Georges Perec, căuta o structură pe care să o folosească pentru cartea sa Viața: un manual de utilizare. El a ales unul dintre aceste pătrate latine ortogonale. Și-a pus cartea într-un bloc de apartamente din Paris, care avea 100 de camere, un pătrat de 10 pe 10. Fiecare capitol era într-o cameră diferită și fiecare capitol avea aroma sa unică. Avea liste cu 10 lucruri — diverse țesături, culori, așa ceva. Fiecare capitol ar folosi o combinație unică. Este un mod cu adevărat fascinant de a structura cartea.

În mod clar prețuiești scrisul bun. Ce părere aveți despre calitatea scrierii în lucrările de cercetare la matematică?

Este foarte variabil! Știu că prețuim concizia, dar cred că uneori acest lucru este dus prea departe. Există prea multe lucrări care nu au exemple utile.

Ceea ce prețuim de fapt este un argument ingenios care, pentru că acoperă toate cazurile deodată atât de inteligent, este și scurt și elegant. Acest lucru nu este același lucru cu a-ți strânge argumentul lung într-un spațiu mai mic decât are nevoie, acoperind pagina cu sigilii arcane pe care le-ai creat pentru a face notația mai scurtă, dar pe care nu numai cititorul, ci probabil tu însuți va trebui să le despachetezi laborios. din nou pentru a înțelege ce se întâmplă.

Nu ne gândim suficient la notări utile care să reamintească cititorului ce înseamnă. Notația corectă poate transforma absolut o bucată de matematică și poate face loc și pentru generalizări. Gândiți-vă la trecerea, din punct de vedere istoric, de la scrierea unui necunoscut, pătratul său și cubul său cu trei litere diferite și cât de mult mai probabil, și chiar posibil, este să începeți să vă gândiți la  când ați început să scrieți  și  în schimb.

Vedeți evoluție în legăturile dintre matematică și artă?

Sunt lucruri noi tot timpul. Fractalii erau peste tot în anii 1990. Pe fiecare perete al căminului pentru studenți, era o poză cu setul Mandelbrot sau ceva de genul acesta. Toată lumea spunea: „Oh, asta este incitant, fractali”. Aveți, de exemplu, muzicieni, compozitori, care folosesc secvențe fractale în compozițiile lor.

Când aveam aproximativ 16 ani, existau aceste lucruri noi numite calculatoare grafice. Foarte palpitant. Și o prietenă a mamei mele mi-a dat acest program care putea desena un set Mandelbrot pe unul dintre aceste mici calculatoare grafice. Avea aproximativ, nu știu, 200 de pixeli. Programezi chestia asta și apoi a trebuit să-l las 12 ore. Ar reprezenta aceste 200 de puncte la sfârșitul acesteia. Deci, chiar și simplii școlari s-ar putea implica în acest lucru la sfârșitul anilor ’80 și începutul anilor ’90 și să producă aceste imagini pentru ei înșiși.

Chiar și când erai la școală, erai deja foarte interesat de matematica hardcore, se pare că.

 Cred că am fost interesat de când chiar înainte să știu că asta înseamnă că sunt matematic. Ca, întotdeauna făceam modele de când eram un copil mic, mic.

Când eram destul de mică, jucăria mea preferată erau niște plăci pictate din lemn foarte simple. Au venit în toate culorile diferite. Le-aș transforma în modele, apoi m-aș uita la el cu mândrie pentru o zi sau cam așa ceva, apoi aș face altul.

Când eram un pic mai în vârstă, mă jucam cu numerele și mă uitam la modele. Mama ar fi cea la care aș merge și aș spune: „M-am plictisit”. Și apoi spunea: „Ei bine, poți să descoperi care este modelul numărului de puncte de care ai nevoie pentru a face un triunghi?” sau orice ar fi fost. Ea m-ar pune să redescopăr numerele triunghiulare sau așa ceva și aș fi foarte entuziasmat.

Biata mea mamă, numărul de invenții uimitoare cu care aș merge la mama mea. „Am dezvoltat un mod cu totul nou de a face ceva!” Și ea spunea: „OK, e foarte frumos. Dar, știi, Descartes s-a gândit la asta cu secole în urmă.” Și apoi plecam; Mi-aș veni cu o altă idee uimitoare câteva zile mai târziu. „Este minunat, dragă. Dar grecii antici îl aveau pe acesta.”

Îți amintești momente deosebit de satisfăcătoare din cariera ta de cercetare în matematică?

Momentele în care în sfârșit înțelegeți care este tiparul pe care îl vedeți sunt întotdeauna satisfăcătoare, precum și când vă gândiți cum să finalizați o dovadă cu care v-ați luptat. Cele mai puternice amintiri ale mele despre acele sentimente de încântare, probabil pentru că au fost primele când le-am simțit, sunt de la începutul carierei mele de cercetare. Dar este încă un sentiment minunat să primești acel „aha”, când în sfârșit înțelegi ce se întâmplă.

Foarte devreme am încercat să demonstrez ceva despre infinitele grupuri Coxeter. Am rezolvat unele dintre cazuri și, privind restul, am venit cu o tehnică care ar funcționa dacă un anumit criteriu ar fi îndeplinit. Puteți scrie aceste relații într-un grafic, așa că am început să alcătuiesc o colecție de grafice pentru care ar putea fi aplicată tehnica mea. Asta a fost de Crăciun un an.

După un timp, setul meu de imagini a început să arate ca un anumit set de grafice care erau enumerate într-o carte despre grupurile Coxeter care se afla în biroul meu și am început să sper că acesta este exact acest set de grafice. Dacă ar fi, atunci asta ar umple golul din demonstrația mea și teorema mea ar fi terminată. Dar nu am putut să verific cu siguranță până când m-am întors la universitate după Crăciun - asta a fost înainte să poți doar Google totul. Cred că anticiparea de a trebui să aștept pentru a-mi confirma bănuiala a făcut-o și mai bine când am ajuns la carte și am comparat setul meu de diagrame scrise de mână cu cele din carte și, într-adevăr, se potriveau.

Ce părere aveți despre întrebarea dacă matematica este creată sau descoperită? Aproape nimeni nu ar argumenta că vreunul dintre romancierii despre care scrii în cartea ta și-a „descoperit” romanele. Este aceasta o diferență fundamentală între matematică și literatură sau nu?

Probabil că este, deși există încă unele rezonanțe.

A face matematică se simte ca o descoperire. Dacă am inventa matematica, cu siguranță nu ar fi atât de greu să dovedim lucruri! Uneori ne dorim cu disperare ca ceva să fie adevărat și nu este. Nu putem evita consecințele logicii, presupun.

Totul se simte ca o descoperire când o faci. Unele alegeri oglindesc ceea ce experimentăm în lumea reală, cum ar fi axiomele geometriei cu care lucrăm, care sunt alese pentru că asta pare să fie cam așa cum este realitatea - deși chiar și acolo, nu există un „punct” sau un „ linie” (pentru că nu putem desena ceva care să nu ocupe spațiu, iar o linie în geometrie nu are lățime și se extinde infinit).

Într-o oarecare măsură, există paralele cu acest continuum în literatură. Odată ce definiți regulile unui sonet, veți fi greu să scrieți unul a cărui primă linie se termină cu „portocaliu” sau „horn”.

Dar nu pot rezista să împărtășesc ceva J.R.R. Tolkien a spus despre scris Hobbit: „Totul a început când citeam lucrările de examen pentru a câștiga niște bani în plus. … Ei bine, într-o zi am ajuns la o pagină goală dintr-un carnet de examen și am mâzgălit pe ea. „Într-o gaură din pământ trăia un hobbit.” Nu știam mai multe despre creaturi decât atât și au trecut ani de zile până când povestea lui a crescut. Nu știu de unde a venit cuvântul.”

Hobbiții – i-a creat sau i-a descoperit?