Legătura lui Pierre de Fermat către dovada primară de matematică a unui elev de liceu | Revista Quanta

La fel ca mulți studenți la matematică, am visat măreția matematică. Am crezut că sunt aproape odată. O problemă dificilă de algebră din facultate m-a făcut să lucrez până târziu în noapte. După ore de luptă, am simțit că se apropie o descoperire. Am manipulat cu îndemânare expresiile. Am factorizat, multiplicat și simplificat, până când descoperirea mea s-a dezvăluit în cele din urmă:

$latex 1 + 1 = 2$.

Nu m-am putut abține să nu râd. Lumea știa deja că $latex 1 + 1 = 2$, așa că „teorema lui Honner” nu trebuia să fie. Și, deși mulți matematicieni tineri au experimentat dezamăgirea unei descoperiri nu tocmai, remarcabilul povestea lui Daniel Larsen mentine visul viu.

Larsen era student de liceu în 2022, când a dovedit un rezultat despre un anumit tip de număr care a ocolit matematicienii timp de decenii. El a demonstrat că numerele Carmichael - un tip curios de număr nu tocmai prim - ar putea fi găsite mai frecvent decât se știa anterior, stabilind o nouă teoremă care va fi pentru totdeauna asociată cu munca sa. Deci, care sunt numerele Carmichael? Pentru a răspunde la asta, trebuie să ne întoarcem în timp.

Pierre de Fermat își are numele pe una dintre cele mai cunoscute teoreme din matematică. Timp de peste 300 de ani, Ultima Teoremă a lui Fermat a fost simbolul suprem al măreției matematice de nerealizat. În anii 1600, Fermat a mâzgălit o notă despre teorema propusă de el într-o carte pe care o citea, pretinzând că știe cum să o demonstreze fără a oferi detalii. Matematicienii au încercat să rezolve problema ei înșiși până în anii 1990, când Andrew Wiles a dovedit-o în cele din urmă folosind noi tehnici descoperite la sute de ani după moartea lui Fermat.

Dar este „micuța teoremă” mai puțin faimoasă a lui Fermat care se referă la numerele Carmichael. Iată o modalitate de a afirma:

Având în vedere un număr prim $latex p$, atunci pentru orice număr întreg $latex a$, cantitatea $latex a^p – a$ este divizibilă cu $latex p$.

De exemplu, luați primul $latex p = 11$ și întregul $latex a = 2$. Mica teoremă a lui Fermat spune că $latex 2^{11} – 2 = 2046$ este divizibil cu 11 și este: $latex 2046 div 11 = 186$. Sau luați $latex p = 7$ și $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 ori 2340$, deci $latex 4^7 – 4$ este într-adevăr divizibil cu 7.

Spre deosebire de Ultima Teoremă a lui Fermat, nu a fost nevoie de 300 de ani pentru a rezolva mica lui teoremă. Leonhard Euler a publicat o dovadă la mai puțin de un secol mai târziu. Și pentru că este vorba despre numere prime, oamenii au găsit modalități de a le folosi.

O modalitate de a folosi mica teoremă a lui Fermat este să arăți că un număr nu este prim. Să presupunem că vă întrebați dacă 21 este prim sau nu. Dacă 21 ar fi prim, atunci conform micii teoreme a lui Fermat, pentru orice număr întreg $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ ar trebui să fie divizibil cu 21. Dar dacă încercați unele valori ale lui $ latex a$ vezi ca asta nu merge. De exemplu, $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, care nu este un multiplu al lui 21. Prin urmare, pentru că nu satisface mica teoremă a lui Fermat, 21 nu poate fi prim.

Aceasta poate părea o modalitate prostească de a verifica dacă un număr este prim. La urma urmei, știm $latex 21 = de 3 ori 7$. Dar verificarea dacă numerele mari sunt prime este o sarcină importantă și consumatoare de timp în matematica modernă, așa că matematicienii caută întotdeauna comenzi rapide. În acest scop, matematicienii s-au întrebat dacă inversul micii teoreme a lui Fermat ar putea fi adevărat.

Care este inversul unei teoreme? Poate vă amintiți de la ora de matematică că o teoremă poate fi gândită ca o declarație condiționată de forma „dacă P apoi Q.” O teoremă spune că dacă P partea (antecedentul sau ipoteza) este adevărată, atunci Q partea (consecventa sau concluzia) trebuie să fie de asemenea adevărată. Reversul unei teoreme este afirmația pe care o obțineți atunci când schimbați antecedentul și consecința. Deci inversul „Dacă P apoi Q” este afirmația „Dacă Q apoi P. "

Să luăm în considerare teorema lui Pitagora. Ni se spune adesea că scrie $latex a^2 + b^2 = c^2$. Dar acest lucru nu este tocmai corect. Teorema lui Pitagora este de fapt o afirmație condiționată: spune că dacă un triunghi dreptunghic are lungimi laturi $latex a$, $latex b$ și $latex c$, cu $latex c$ fiind lungimea ipotenuzei, atunci $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Deci, care este converse? Se spune că dacă lungimea laturii unui triunghi $latex a$, $latex b$ și $latex c$ satisfac ecuația $latex a^2 + b^2 = c^2$, atunci este un triunghi dreptunghic.

Este tentant să credem că inversul unei teoreme este întotdeauna adevărat și mulți studenți au căzut în această capcană. Reversul teoremei lui Pitagora se întâmplă să fie adevărat, ceea ce ne permite să concluzionăm că un triunghi cu laturile lungimii 9, 40 și 41 trebuie să fie un triunghi dreptunghic deoarece $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Dar inversul unei afirmații adevărate nu trebuie să fie adevărat: De exemplu, deși este adevărat că dacă $latex x$ este un număr pozitiv, atunci $latex x^2$ este pozitiv, invers - dacă $latex x^2$ este un număr pozitiv, atunci $latex x$ este pozitiv — nu este, deoarece $latex (-1)^2$ este pozitiv, dar −1 în sine nu este.

Este o practică matematică bună să explorezi inversul unei afirmații, iar matematicienii care căutau teste de primalitate au vrut să știe dacă inversul micii teoreme a lui Fermat este adevărat. Reversul spune că, având în vedere un întreg $latex q$, dacă numărul $latex a^q – a$ este divizibil cu $latex q$ pentru orice număr întreg $latex a$, atunci $latex q$ trebuie să fie un număr prim. Dacă acest lucru ar fi adevărat, s-ar ocoli o parte din munca de calcul de a verifica dacă $latex q$ este divizibil cu alte numere decât 1 și el însuși. Așa cum se întâmplă atât de des în matematică, această întrebare a condus la noi întrebări, care în cele din urmă au condus la câteva idei matematice noi.

Când începeți să explorați inversul micii teoreme a lui Fermat, veți descoperi că este valabil pentru o mulțime de numere. De exemplu, pentru orice număr întreg $latex a$, numărul $latex a^2 – a$ este divizibil cu 2. Puteți vedea acest lucru factorizând $latex a^2 – a$ ca $latex a ori (a-1) $. De cand a și $latex a − 1$ sunt numere întregi consecutive, unul dintre ele trebuie să fie par și astfel produsul lor trebuie să fie divizibil cu 2.

Argumente similare arată că $latex a^3 – a$ este întotdeauna divizibil cu 3 și $latex a^5 – a$ este întotdeauna divizibil cu 5 (vezi exercițiile de mai jos pentru mai multe detalii). Deci inversul micii teoreme a lui Fermat este valabil pentru 3 și 5. Reversul ne spune la ce ne așteptăm și pentru numerele mici neprime. Dacă îl folosim pentru a verifica dacă 4 este prim sau nu, vom calcula $latex 2^4 – 2$ și vom observa că 14 nu este divizibil cu 4.

De fapt, puteți verifica până la numărul 561 și totul va indica faptul că inversul micii teoreme a lui Fermat este adevărat. Numerele prime mai mici de 561 împart $latex a^p – a$ pentru fiecare a, iar nonprimele mai mici de 561 nu. Dar asta se schimbă la 561. Cu o teorie a numerelor ușor avansată se poate demonstra că $latex a^{561} – a$ este întotdeauna divizibil cu 561, așa că dacă inversul micii teoreme a lui Fermat ar fi adevărat, atunci 561 ar trebui să fie prim. . Dar nu este: $latex 561 = 3 × 11 × 17$. Deci inversul micii teoreme a lui Fermat este fals.

Matematicienii numesc numere precum 561 „pseudoprim” deoarece îndeplinesc unele condiții asociate cu a fi prim (cum ar fi împărțirea $latexului a^p – a$ pentru toate a) dar nu sunt de fapt numere prime. Au fost găsite mai multe contraexemple la inversul micii teoreme a lui Fermat - următoarele trei sunt 1,105, 1,729 și 2,465. Acestea au devenit cunoscute sub numele de numere Carmichael, numite după matematicianul american Robert Carmichael. După ce au fost descoperiți, au apărut noi întrebări: Există și alte modalități de a identifica numerele Carmichael? Au alte proprietăți speciale? Sunt infinit multe dintre ele? Dacă da, cât de des apar?

Această ultimă întrebare a atras în cele din urmă atenția lui Daniel Larsen. Matematicienii au demonstrat că există într-adevăr o infinitate de numere Carmichael, dar pentru a arăta acest lucru au trebuit să construiască numere Carmichael care erau foarte îndepărtate. Acest lucru a lăsat deschisă întrebarea cum sunt distribuite aceste infinite numere Carmichael de-a lungul liniei numerice. Sunt întotdeauna departe unul de altul prin natura lor sau ar putea să apară cu mai multă frecvență și regularitate decât a arătat această dovadă inițială?

Astfel de întrebări despre numere prime amintesc de întrebări similare și importante despre numerele prime în sine. În urmă cu două mii de ani, Euclid a demonstrat că există infinit de numere prime, dar a durat mult mai mult pentru a înțelege cum sunt distribuite numerele prime pe toată dreapta numerelor. În anii 1800, postulatul lui Bertrand a arătat că pentru orice $latex n > 3$, există întotdeauna un număr prim între $latex n$ și $latex 2n$. Acest lucru ne dă o idee despre cât de des să ne așteptăm la numere prime pe măsură ce ne îndreptăm de-a lungul dreptei numerice.

Matematicienii s-au întrebat dacă vreo versiune a postulatului lui Bertrand este adevărată pentru numerele Carmichael. Daniel Larsen s-a întrebat, de asemenea, și bazându-se pe munca unor matematicieni moderni celebri - medaliatul Fields James Maynard și Terence Tao, printre alții - îşi întoarse curiozitatea într-un nou rezultat despre modul în care sunt distribuite numerele Carmichael. Și în timp ce tinerii matematicieni probabil nu ar trebui să se aștepte să obțină atât de mult în timp ce își îndeplinesc temele din această seară, munca grea, perseverența și succesul lui Daniel Larsen ar trebui să-i inspire să avanseze, chiar dacă sunt re-demonstrând ceva ce știm deja.

Exerciții

1. Folosiți factorizarea pentru a arăta că, dacă $latex a$ este un număr natural, atunci $latex a^3 – a$ este întotdeauna divizibil cu 3.

2. Afirmația „Dacă un patrulater este un dreptunghi, atunci diagonalele patrulaterului sunt congruente” este adevărată. Este inversul adevărat?

3. Arătați că dacă $latex a$ este un număr natural, atunci numărul $latex a^5 – a$ este întotdeauna divizibil cu 5.