Noua dovadă înfiletează acul pe o problemă de geometrie lipicioasă | Revista Quanta

În 1917, matematicianul japonez Sōichi Kakeya a pozat ceea ce la început părea nimic mai mult decât un exercițiu distractiv de geometrie. Așezați un ac infinit de subțire, lung de centimetri pe o suprafață plană, apoi rotiți-l astfel încât să îndrepte în fiecare direcție pe rând. Care este cea mai mică zonă pe care acul o poate mătura?

Dacă o rotești pur și simplu în jurul centrului său, vei obține un cerc. Dar este posibil să mutați acul în moduri inventive, astfel încât să tăiați o cantitate mult mai mică de spațiu. De atunci, matematicienii au pus o versiune înrudită a acestei întrebări, numită conjectura Kakeya. În încercările lor de a o rezolva, ei au descoperit conexiuni surprinzătoare cu analiza armonică, teoria numerelor și chiar fizica.

„Într-un fel, această geometrie a liniilor care indică în multe direcții diferite este omniprezentă într-o mare parte a matematicii”, a spus Jonathan Hickman de la Universitatea din Edinburgh.

Dar este și ceva pe care matematicienii încă nu îl înțeleg pe deplin. În ultimii câțiva ani, au dovedit variații ale conjecturii Kakeya in setari mai usoare, dar întrebarea rămâne nerezolvată în spațiul normal, tridimensional. De ceva timp, a părut că toate progresele s-au blocat pe această versiune a conjecturei, deși are numeroase consecințe matematice.

Acum, doi matematicieni au mutat acul, ca să spunem așa. Noua lor dovadă doboară un obstacol major care a rezistat de zeci de ani – reaprind speranța că o soluție ar putea fi în sfârșit la vedere.

Care este mica afacere?

Kakeya a fost interesat de mulțimi în plan care conțin un segment de dreaptă de lungime 1 în fiecare direcție. Există multe exemple de astfel de seturi, cel mai simplu fiind un disc cu diametrul de 1. Kakeya a vrut să știe cum ar arăta cel mai mic astfel de set.

El a propus un triunghi cu laturile ușor prăbușite, numit deltoid, care are jumătate din aria discului. S-a dovedit, însă, că se poate face mult, mult mai bine.

În 1919, la doar câțiva ani după ce Kakeya și-a pus problema, matematicianul rus Abram Besicovitch a arătat că dacă îți aranjezi acele într-un mod foarte special, poți construi un set cu aspect spinos care are o suprafață arbitrar de mică. (Din cauza Primului Război Mondial și a Revoluției Ruse, rezultatul său nu va ajunge în restul lumii matematice timp de câțiva ani.)

Pentru a vedea cum ar putea funcționa, luați un triunghi și împărțiți-l de-a lungul bazei sale în bucăți triunghiulare mai subțiri. Apoi glisați acele bucăți în jur astfel încât să se suprapună cât mai mult posibil, dar să iasă în direcții ușor diferite. Repetând procesul de nenumărate ori - subdivând triunghiul în fragmente din ce în ce mai subțiri și rearanjandu-le cu grijă în spațiu - vă puteți face setul cât de mic doriți. În limita infinită, puteți obține o mulțime care din punct de vedere matematic nu are zonă, dar poate încă, paradoxal, să găzduiască un ac îndreptat în orice direcție.

„Este un fel de surprinzător și contraintuitiv”, a spus Ruixiang Zhang de la Universitatea din California, Berkeley. „Este un set foarte patologic.”

Acest rezultat poate fi generalizat la dimensiuni mai mari: este posibil să construiți o mulțime cu un volum arbitrar mic, care conține un segment de linie unitar îndreptat în fiecare direcție în n-spatiul dimensional.

Besicovitch părea să fi rezolvat complet întrebarea lui Kakeya. Dar zeci de ani mai târziu, matematicienii au început să lucreze la o altă versiune a problemei în care au înlocuit suprafața (sau volumul, în cazul de dimensiuni superioare) cu o altă noțiune de dimensiune.

Pentru a înțelege această reîncadrare a întrebării, luați mai întâi fiecare segment de linie într-un set Kakeya și îngrășați-l puțin - ca și cum ați folosi un ac real, mai degrabă decât unul ideal. În plan, setul tău va fi format din dreptunghiuri extrem de subțiri; în spațiul tridimensional, vei avea o colecție de tuburi extrem de subțiri.

Aceste seturi îngrășate au întotdeauna o anumită zonă (sau volum, dar ne vom menține deocamdată la cazul bidimensional). Pe măsură ce schimbați lățimea acului, această zonă se va schimba. În anii 1970, matematicianul Roy Davies (care a murit luna trecută) a arătat că dacă suprafața totală se modifică cu o cantitate mică, lățimea fiecărui ac trebuie să se modifice drastic. De exemplu, dacă doriți ca o versiune îngrășată a setului lui Besicovitch să aibă o suprafață de 1/10 de inch pătrat, fiecare ac trebuie să aibă o grosime de aproximativ 0.000045 inch: e^-10 de un inch, mai exact. Dar dacă doriți să faceți suprafața totală de 1/100 de inch pătrat - de 10 ori mai mică - acul ar trebui să fie e^-100 de un inch grosime. (Patruzeci și trei de zerouri urmează punctul zecimal înainte de a ajunge la celelalte cifre.)

„Dacă îmi spui cât de mică vrei să fie zona, atunci trebuie să cer un ac care este incredibil de subțire”, a spus Charles Fefferman de la Universitatea Princeton.

Matematicienii măsoară „dimensiunea” mulțimii Kakeya folosind o cantitate numită dimensiunea Minkowski, care este legată de o dimensiune obișnuită (definită ca numărul de direcții independente de care aveți nevoie pentru a descrie un spațiu), dar nu este exact la fel.

Iată o modalitate de a vă gândi la dimensiunea Minkowski: luați-vă setul și acoperiți-l cu bile mici, fiecare având un diametru de o milioneme din unitatea preferată. Dacă setul tău este un segment de linie de lungime 1, vei avea nevoie de cel puțin 1 milion de bile pentru a-l acoperi. Dacă setul tău este un pătrat cu zona 1, vei avea nevoie de multe, multe altele: un milion pătrat sau un trilion. Pentru o sferă cu volumul 1, este aproximativ 1 milion cub (un chintilion) și așa mai departe. Dimensiunea Minkowski este valoarea acestui exponent. Măsoară viteza cu care crește numărul de bile de care aveți nevoie pentru a vă acoperi setul pe măsură ce diametrul fiecărei bile devine mai mic. Un segment de linie are dimensiunea 1, un pătrat are dimensiunea 2 și un cub are dimensiunea 3.

Aceste dimensiuni sunt familiare. Dar folosind definiția lui Minkowski, devine posibil să se construiască o mulțime care are o dimensiune de, să zicem, 2.7. Deși un astfel de set nu umple spațiul tridimensional, este într-un anumit sens „mai mare” decât o suprafață bidimensională.

Când acoperiți un set cu bile de un anumit diametru, aproximați volumul versiunii îngrășate a setului. Cu cât volumul setului scade mai încet odată cu dimensiunea acului tău, cu atât mai multe bile ai nevoie pentru a-l acoperi. Prin urmare, puteți rescrie rezultatul lui Davies - care afirmă că aria unei mulțimi Kakeya în plan scade lent - pentru a arăta că mulțimea trebuie să aibă o dimensiune Minkowski de 2. Conjectura Kakeya generalizează această afirmație la dimensiuni mai mari: O mulțime Kakeya trebuie au întotdeauna aceeași dimensiune cu spațiul pe care îl locuiește.

Această afirmație simplă a fost surprinzător de greu de dovedit.

Un turn al conjecturilor

Până a făcut Fefferman o descoperire uluitoare în 1971, conjectura a fost privită ca o curiozitate.

La vremea aceea lucra la o cu totul altă problemă. El a vrut să înțeleagă transformata Fourier, un instrument puternic care permite matematicienilor să studieze funcții scriindu-le ca sume de unde sinusoidale. Gândiți-vă la o notă muzicală, care este formată din o mulțime de frecvențe suprapuse. (De aceea un do mijlociu pe un pian sună diferit de un do mijlociu pe o vioară.) Transformarea Fourier permite matematicienilor să calculeze frecvențele constitutive ale unei anumite note. Același principiu funcționează pentru sunete la fel de complicate precum vorbirea umană.

De asemenea, matematicienii vor să știe dacă pot reconstrui funcția originală dacă li se dau doar câteva dintre infinitele frecvențe constitutive ale acesteia. Ei au o bună înțelegere a modului de a face acest lucru într-o singură dimensiune. Dar, în dimensiuni mai mari, ei pot face diferite alegeri cu privire la frecvențele pe care să le folosească și pe care să le ignore. Fefferman a dovedit, spre surprinderea colegilor săi, că s-ar putea să nu reușești să-ți reconstruiești funcția atunci când te bazezi pe un mod deosebit de binecunoscut de a alege frecvențele.

Dovada lui s-a bazat pe construirea unei funcții prin modificarea setului Kakeya al lui Besicovitch. Acest lucru i-a inspirat mai târziu pe matematicieni să dezvolte o ierarhie de conjecturi despre comportamentul dimensional superior al transformării Fourier. Astăzi, ierarhia include chiar și presupuneri despre comportamentul unor ecuații diferențiale parțiale importante din fizică, cum ar fi ecuația Schrödinger. Fiecare presupunere din ierarhie o implică automat pe cea de sub ea.

Conjectura Kakeya se află chiar la baza acestui turn. Dacă este fals, atunci sunt și enunțurile mai sus în ierarhie. Pe de altă parte, a demonstra că este adevărat nu ar implica imediat adevărul conjecturilor situate deasupra, dar ar putea oferi instrumente și perspective pentru a le ataca.

„Lucrul uimitor despre conjectura Kakeya este că nu este doar o problemă distractivă; este un adevărat blocaj teoretic”, a spus Hickman. „Nu înțelegem multe dintre aceste fenomene în ecuațiile cu diferențe parțiale și analiza Fourier, deoarece nu înțelegem aceste mulțimi Kakeya.”

Alcătuirea unui plan

Dovada lui Fefferman - împreună cu conexiunile descoperite ulterior cu teoria numerelor, combinatorie și alte domenii - a reînviat interesul pentru problema Kakeya în rândul matematicienilor de top.

În 1995, Thomas Wolff a demonstrat că dimensiunea Minkowski a unui set Kakeya în spațiul 3D trebuie să fie de cel puțin 2.5. Acea limită inferioară s-a dovedit a fi dificil de crescut. Apoi, în 1999, matematicienii Nets Katz, Izabella Łaba și Terence tao a reusit sa o bata. Noua lor limită: 2.500000001. În ciuda cât de mică a fost îmbunătățirea, a depășit o barieră teoretică masivă. Hârtia lor era publicată în Analele matematicii, cel mai prestigios jurnal din domeniu.

Katz și Tao au sperat mai târziu să aplice unele dintre ideile din acea lucrare pentru a ataca conjectura Kakeya 3D într-un mod diferit. Ei au emis ipoteza că orice contraexemplu trebuie să aibă trei proprietăți particulare și că coexistența acelor proprietăți trebuie să conducă la o contradicție. Dacă ar putea demonstra acest lucru, ar însemna că conjectura Kakeya era adevărată în trei dimensiuni.

Nu au putut merge până la capăt, dar au făcut unele progrese. În special, ei (împreună cu alți matematicieni) au arătat că orice contraexemplu trebuie să aibă două din cele trei proprietăți. Trebuie să fie „plane”, ceea ce înseamnă că ori de câte ori segmente de linie se intersectează într-un punct, acele segmente se află, de asemenea, aproape în același plan. De asemenea, trebuie să fie „granulat”, ceea ce necesită ca planurile punctelor de intersecție din apropiere să fie orientate în mod similar.

Asta a lăsat a treia proprietate. Într-un set „lipicios”, segmentele de linie care indică aproape în aceeași direcție trebuie, de asemenea, să fie situate aproape unele de altele în spațiu. Katz și Tao nu au putut dovedi că toate contraexemplele trebuie să fie lipicioase. Dar intuitiv, un set lipicios pare a fi cea mai bună modalitate de a forța o mulțime de suprapunere între segmentele de linie, făcând astfel setul cât mai mic posibil - exact ceea ce aveți nevoie pentru a crea un contraexemplu. Dacă cineva ar putea arăta că un set Kakeya lipicios are o dimensiune Minkowski mai mică de 3, ar infirma conjectura Kakeya 3D. „Se pare că „lipicios” ar fi cel mai îngrijorător caz”, a spus Larry Guth al Institutului de Tehnologie din Massachusetts.

Nu mai este o îngrijorare.

Punctul de lipit

În 2014 - la mai bine de un deceniu după ce Katz și Tao au încercat să demonstreze conjectura Kakeya - Tao au postat o schiță a abordării lor pe blogul său, oferind altor matematicieni șansa de a-l încerca singuri.

În 2021, Hong Wang, un matematician la Universitatea din New York și Joshua Zahl de la Universitatea din Columbia Britanică a decis să reia de unde plecaseră Tao și Katz.

Au început prin a presupune existența unui contraexemplu lipicios cu o dimensiune Minkowski mai mică de 3. Ei știau din lucrările anterioare că un astfel de contraexemplu trebuie să fie plan și granulat. „Deci eram în genul de lume la care se gândeau Terry Tao și Nets Katz”, a spus Zahl. Acum trebuiau să arate că proprietățile plane, granulate și lipicioase se jucau reciproc și duceau la o contradicție, ceea ce ar însemna că acest contraexemplu nu ar putea exista de fapt.

Pentru a obține această contradicție, totuși, Wang și Zahl și-au îndreptat atenția într-o direcție pe care Katz și Tao nu o anticipaseră - spre o zonă cunoscută sub numele de teoria proiecției.

Ei au început prin a analiza mai detaliat structura contraexemplului lor lipicios. Dacă luați în considerare versiunea idealizată a mulțimii, aceasta are un număr infinit de segmente de linie îndreptate în fiecare direcție. Dar în această problemă, amintiți-vă că aveți de-a face cu versiuni îngrășate ale acelor segmente de linie - o grămadă de ace. Fiecare dintre acele ace poate conține multe dintre segmentele de linie idealizate, ceea ce înseamnă că puteți codifica întregul set infinit cu un număr finit de ace. În funcție de cât de groase sunt acele, setul tău îngrășat ar putea arăta foarte diferit.

Dacă setul este lipicios, va arăta mai mult sau mai puțin la fel, indiferent cât de groase sunt acele.

Wang și Zahl au folosit această proprietate pentru a arăta că, pe măsură ce acele devin mai subțiri, setul devine din ce în ce mai plan. Prin acest proces, ei puteau „extrage un obiect și mai patologic”, a spus Zahl – ceva care părea să aibă calități imposibile.

Asta au arătat în continuare. Ei au dovedit că acest obiect patologic trebuia să arate în două moduri, ambele ducând la contradicții. Fie ați putea să-l proiectați în spațiul 2D într-un mod care să-l facă mult mai mic în mai multe direcții - ceva pe care Wang și colegii ei tocmai l-au făcut. dovedit a fi imposibil. Or, în cel de-al doilea caz, acele din set ar fi organizate după un gen foarte specific de funcție, pe care Zahl și colaboratorii săi o dovedeseră recent. nu putea exista, pentru că ar duce la alte tipuri de proiecții care nu aveau sens.

Wang și Zahl aveau acum contradicția lor - ceea ce înseamnă că nu există contraexemple lipicioase pentru conjectura Kakeya. (Au arătat acest lucru nu numai pentru dimensiunea Minkowski, ci și pentru o cantitate înrudită numită dimensiunea Hausdorff.) „Rezultatul exclude această întreagă clasă de contraexemple”, a spus Zahl – tipul exact de set pe care matematicienii l-au considerat cel mai probabil să infirme conjectura.

Noua lucrare „este un sprijin puternic pentru ca conjectura Kakeya să fie adevărată”, a spus Pablo Shmerkin de la Universitatea din Columbia Britanică. Deși se aplică doar carcasei tridimensionale, unele dintre tehnicile sale ar putea fi utile în dimensiuni mai mari. După ce au petrecut ani de zile făcând progrese în ceea ce privește conjectura în alte sisteme de numere, matematicienii sunt entuziasmați de această revenire la domeniul inițial al problemei, al numerelor reale.

„Este remarcabil că au rezolvat acest caz complet”, a spus Zhang. „În cadrul real, asta este extrem de rar.” Și dacă cineva poate dovedi că un contraexemplu trebuie să fie lipicios, noul rezultat va implica conjectura completă în trei dimensiuni. Ierarhia conjecturilor construite deasupra ei va rămâne atunci în siguranță, fundația ei stabilă.

„Într-un fel, aceste două probleme diferite în teoria proiecției, care, la prima vedere, nu au mare legătură una cu cealaltă, se potrivesc destul de bine pentru a oferi exact ceea ce era necesar pentru Kakeya”, a spus Zahl.