Introducere
Cu mai bine de 2,000 de ani în urmă, matematicianul grec Eratosthenes a inventat o metodă de găsire a numerelor prime care continuă să reverbereze prin matematică și astăzi. Ideea lui a fost să identifice toate numerele prime până la un anumit punct prin „cernerea” treptat a numerelor care nu sunt prime. Sita lui începe prin a tăia toți multiplii lui 2 (cu excepția lui 2), apoi multiplii lui 3 (cu excepția lui 3 însuși). Următorul număr, 4, este deja tăiat, așa că următorul pas este să tăiați multiplii lui 5 și așa mai departe. Singurele numere care supraviețuiesc sunt numere prime - numere ai căror unici divizori sunt 1 și ei înșiși.
Eratosthenes s-a concentrat pe setul complet de numere prime, dar poți folosi variații pe sita lui pentru a căuta numere prime cu tot felul de caracteristici speciale. Doriți să găsiți „primuri gemene”, care sunt la doar 2, cum ar fi 11 și 13 sau 599 și 601? Există o sită pentru asta. Doriți să găsiți numere prime care sunt cu 1 mai mari decât un pătrat perfect, cum ar fi 17 sau 257? Există o sită și pentru asta.
Sitele moderne au alimentat multe dintre cele mai mari progrese în teoria numerelor cu privire la probleme, de la Ultima Teoremă a lui Fermat până la conjectura primelor gemene încă nedovedită, care spune că există infinit de perechi de numere prime gemene. Metodele cu sită, a scris matematicianul ungur Paul Erdős în 1965, sunt „poate cel mai puternic instrument elementar al nostru în teoria numerelor”.
Cu toate acestea, această putere este constrânsă de înțelegerea limitată de către matematicieni a modului în care numerele prime sunt distribuite de-a lungul dreptei numerice. Este simplu să faci o sită până la un număr mic, cum ar fi 100. Dar matematicienii vor să înțeleagă comportamentul sitelor atunci când numerele devin mari. Ei nu pot spera să enumere toate numerele care supraviețuiesc sităi până la un punct de oprire extrem de mare. Deci, în schimb, încearcă să estimeze câte numere sunt pe acea listă.
Introducere
Pentru sita lui Eratosthenes, această estimare depinde de cât de des numerele întregi sunt divizibile cu 2, sau 3, sau 5 și așa mai departe - informații relativ ușor de obținut. Dar pentru site mai complicate, cum ar fi cele pentru numere prime gemene, informațiile cruciale se referă adesea la resturile pe care primele le lasă în urmă atunci când sunt împărțite la numere diferite. De exemplu, cât de des numerele prime lasă un rest de 1 când sunt împărțite la 3? Sau un rest de 8 când este împărțit la 15?
Pe măsură ce vă deplasați de-a lungul liniei numerice, aceste rămășițe se stabilesc în modele previzibile statistic. În 1896, matematicianul belgian Charles-Jean de la Vallée Poussin a demonstrat că resturile se uniformizează treptat - de exemplu, dacă aruncați numere prime într-una din două găleți, în funcție de faptul că restul lor este 1 sau 2 când sunt împărțite la 3, două găleți vor conține în cele din urmă aproximativ același număr de numere prime. Dar pentru a extrage întregul potențial din metodele de sită, matematicienii trebuie să știe nu numai că gălețile se uniformizează în cele din urmă, ci cât de curând o fac.
Asta s-a dovedit o provocare. După o explozie de progres în anii 1960 și un altul în anii 1980, noile dezvoltări s-au stins în mare parte. O excepție notabilă a avut loc în 2013, când Yitang Zhang a publicat a dovadă reper că există infinit de multe perechi de numere prime mai apropiate unele de altele decât o legătură finită. Dar principalul corp de lucru dezvoltat în anii '80 nu a înregistrat, în esență, niciun progres timp de mai mult de trei decenii.
Acum subiectul se bucură de o renaștere, declanșată de a serie of trei lucrări scris de matematicianul de la Oxford James Maynard în 2020 (cu doi ani înainte de a fi a primit medalia Fields, cea mai mare onoare a matematicii). Maynard a analizat un număr numit „nivel de distribuție” care surprinde cât de repede resturile prime devin uniform distribuite în găleți (uneori cu referire la anumite tipuri de site). Pentru multe site utilizate în mod obișnuit, el a arătat că nivelul de distribuție este de cel puțin 0.6, depășind recordul anterior de 0.57 din anii 1980.
Lucrările lui Maynard și studiile ulterioare pe care le-a determinat „da o nouă viață teoriei analitice a numerelor”, a spus John Friedlander de la Universitatea din Toronto, care a jucat un rol important în evoluțiile din anii 1980. „Este o adevărată renaștere.”
Introducere
În ultimele luni, trei dintre studenții absolvenți ai lui Maynard avea scris lucrări extinderea rezultatelor atât ale lui Maynard, cât și ale lui Zhang; una dintre aceste hârtii, de Jared Duker Lichtman (acum un bursier postdoctoral la Universitatea Stanford), a împins nivelul de distribuție al lui Maynard până la aproximativ 0.617. Lichtman a folosit apoi această creștere pentru a calcula limitele superioare îmbunătățite ale numărului de numere prime gemene până la un punct de oprire dat și numărul de „reprezentări Goldbach” - reprezentări ale numerelor pare ca sumă a două numere prime.
„Acești oameni mai tineri urmăresc [pe] ceea ce este cu adevărat subiectul fierbinte acum”, a spus Andrew Granville de la Universitatea din Montreal.
O creștere de la 0.6 la 0.617 ar putea părea de mică importanță pentru oamenii din afara teoriei numerelor. Dar în teoria site-ului, a spus Granville, „uneori acele mici victorii pot avea consecințe devastatoare”.
Inclusiv și Excluzând
Pentru a estima câte numere îndepărtează o sită până la un punct de oprire N, matematicienii folosesc o abordare bazată pe ceva numit includere/excludere. Pentru a vedea cum funcționează, luați în considerare sita lui Eratostene. Această sită începe prin eliminarea tuturor multiplilor de 2 - adică aproximativ jumătate din numere N. Apoi, sita elimină toți multiplii de 3 - aproximativ 1/3 din numerele până la N. Deci ați putea crede că până acum ați eliminat aproximativ 1/2 + 1/3 din numerele de până la N.
Dar aceasta este o supranumărare, deoarece ați numărat dublu numere care sunt multipli ai lui 2 și 3 (multiplii lui 6). Acestea sunt aproximativ 1/6 din toate numerele până la N, deci pentru a le corecta numărarea de două ori, trebuie să scădeți 1/6, aducând totalul cumulat pentru ceea ce eliminați la 1/2 + 1/3 − 1/6.
Apoi, puteți trece la multipli de 5 - asta va adăuga 1/5 la numărătoare, dar trebuie să scadă 1/10 și 1/15 pentru a corecta pentru supranumărarea numerelor care sunt divizibile cu 2 și 5, sau ambele 3 și 5. Chiar și atunci nu ați terminat - ați corectat din greșeală de două ori numerele care sunt divizibile cu 2, 3 și 5, așa că pentru a remedia acest lucru trebuie să adăugați 1/30 la numărătoare, aducând totalul cumulat la 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30.
Pe măsură ce acest proces continuă, suma câștigă din ce în ce mai mulți termeni, implicând fracții cu numitori din ce în ce mai mari. Pentru a preveni ca micile erori în aproximări precum „aproximativ 1/2” și „aproximativ 1/3” să se adună prea mult, teoreticienii numerelor opresc de obicei procesul de adunare și scădere înainte de a fi trecut prin întreaga sită și se mulțumesc cu limite superioare și inferioare în loc de un răspuns exact.
În teorie, un proces similar ar trebui să funcționeze pentru seturi mai frumoase de numere prime, cum ar fi numerele prime gemene. Dar când vine vorba de ceva de genul primelor gemene, includerea/excluderea nu va funcționa decât dacă știți cât de uniform sunt distribuite resturile prime în găleți.
Introducere
Pentru a vedea acest lucru, gândiți-vă la modul în care ar putea funcționa o sită twin prime. Puteți începe prin a folosi sita lui Eratosthenes pentru a găsi toate numerele prime până la N. Apoi, faceți o a doua rundă de cernere care elimină fiecare prim care nu face parte dintr-o pereche de prime gemene. O modalitate de a face acest lucru este de a elimina un prim dacă numărul care se află la două puncte în stânga sa nu este prim (sau ați putea privi două puncte la dreapta - oricare va funcționa). Folosind sita din stânga, veți păstra numere prime precum 13, deoarece 11 este, de asemenea, prim, dar tăiați numere prime precum 23, deoarece 21 nu este prim.
Vă puteți gândi la această sită ca fiind mai întâi mutarea setului de numere prime cu două puncte la stânga pe linia numerică, apoi tăierea numerelor din setul deplasat care nu sunt prime (cum ar fi 21). În setul deplasat, vei tăia multiplii lui 3, apoi multiplii lui 5 și așa mai departe. (Nu trebuie să vă faceți griji cu privire la multiplii lui 2, deoarece numerele din setul deplasat sunt toate impare, cu excepția primului.)
Urmează includerea/excluderea, pentru a estima câte numere ați tăiat. În sita lui Eratosthenes, tăierea multiplilor lui 3 elimină aproximativ 1/3 din toate numerele. Dar în setul mai mic de numere prime deplasate, este mai greu de prezis câte vor cădea când tăiem multiplii lui 3.
Orice număr k în setul deplasat este cu 2 mai puțin decât unele prime. Astfel, dacă k este un multiplu al lui 3, apoi primul său corespondent, k + 2, are un rest de 2 când sunt împărțite la 3. Numerele prime au un rest de 1 sau 2 când sunt împărțite la 3 (cu excepția lui 3), așa că ați putea ghici că jumătate din numerele prime până la N au un rest de 1 și jumătate au un rest de 2. Asta ar însemna că în această etapă a site-ului tăiați aproximativ jumătate din numerele din setul deplasat (în loc de 1/3 ca în sita lui Eratosthenes). Așadar, ați scrie o jumătate de termen în suma de includere/excludere.
Datorită lui de la Vallée Poussin, știm că, în cele din urmă, jumătate dintre numerele prime au un rest de 1 și jumătate au un rest de 2 atunci când împărțiți la 3. Dar pentru a face includere/excludere, nu este suficient să știți că restul de găleți se echilibrează. în cele din urmă - trebuie să știi că se echilibrează până la N. În caz contrar, nu poți avea încredere în „1/2” din suma de includere/excludere. Poate că matematicienii s-au îngrijorat de mai bine de un secol, distribuția numerelor prime are ciudățenii ciudate care subminează unele dintre numerele necesare pentru suma noastră de includere/excludere.
„Dacă nu ai teoreme de distribuție, nu poți înțelege ce se întâmplă când îți termini sita”, a spus Terence tao de la Universitatea din California, Los Angeles.
Un punct de trecere fundamental
O predicție despre cât de repede încep să se uniformizeze gălețile a fost disponibilă pentru teoreticienii numerelor sub forma celei mai celebre probleme nerezolvate din teoria numerelor - ipoteza Riemann generalizată. Această ipoteză, dacă este adevărată, ar implica că dacă ne uităm la toate numerele prime până la un număr foarte mare N, apoi resturile prime sunt distribuite uniform în găleți pentru orice divizor până la aproximativ rădăcina pătrată a N. Deci, de exemplu, dacă te uiți la numerele prime mai mici de 1 trilion, te-ai aștepta ca acestea să fie distribuite uniform în găleți rămase atunci când le împărțiți la 120, sau 7,352 sau 945,328 - orice divizor mai mic de aproximativ 1 milion ( rădăcina pătrată a 1 trilion). Matematicienii spun că ipoteza Riemann generalizată prezice că nivelul de distribuție al primelor este de cel puțin 1/2, deoarece o altă modalitate de a scrie rădăcina pătrată a lui N este ca N1/2.
Introducere
Dacă această ipoteză este corectă, asta ar însemna că, atunci când cerneți până la 1 trilion, puteți tăia multipli de 2, apoi 3, apoi 5 și puteți continua până când suma de includere/excludere începe să implice divizori peste aproximativ 1. milioane - dincolo de acest punct, nu puteți calcula termenii din suma dvs. La mijlocul anilor 1900, teoreticienii numerelor au demonstrat multe teoreme de sită de forma „Dacă ipoteza Riemann generalizată este corectă, atunci...”
Dar multe dintre aceste rezultate nu au avut nevoie de fapt de întreaga putere a ipotezei generalizate Riemann - ar fi suficient să știm că numerele prime erau bine distribuite în găleți pentru aproape fiecare divizor, în loc de fiecare divizor. La mijlocul anilor 1960, Enrico Bombieri și Askold Vinogradov separat gestionate pentru a demonstra doar că: numerele prime au un nivel de distribuție de cel puțin 1/2, dacă ne mulțumim să știm că gălețile se uniformizează pentru aproape fiecare divizor.
Teorema Bombieri-Vinogradov, care este încă folosită pe scară largă, a demonstrat instantaneu multe dintre rezultatele care se bazaseră anterior pe ipoteza Riemann generalizată nedovedită. „Este un fel de standardul de aur al teoremelor de distribuție”, a spus Tao.
Dar matematicienii au bănuit de mult timp - și dovezile numerice au sugerat - că adevăratul nivel de distribuție al numerelor prime este mult mai mare. La sfârșitul anilor 1960, Peter Elliott și Heini Halberstam conjecturat că nivelul de distribuție al numerelor prime este doar o nuanță sub 1 - cu alte cuvinte, dacă te uiți la numere prime până la un număr mare, acestea ar trebui să fie distribuite uniform în găleți chiar și pentru divizori foarte apropiați ca mărime de numărul mare. . Și acești divizori mari contează atunci când faci includere/excludere, deoarece apar atunci când corectezi pentru supranumărări. Deci, cu cât matematicienii pot ajunge mai aproape de nivelul de distribuție prezis de Elliott și Halberstam, cu atât pot calcula mai mulți termeni în suma de includere/excludere. Demonstrarea conjecturei Elliott-Halberstam, a spus Tao, este „visul”.
Până astăzi, însă, nimeni nu a fost capabil să depășească nivelul de 1/2 de distribuție în gradul deplin de generalitate pe care îl atinge teorema Bombieri-Vinogradov. Matematicienii au început să numească această piatră de poticnire „bariera rădăcinii pătrate” pentru numerele prime. Această barieră, a spus Lichtman, este „un tip fundamental de punct de referință în înțelegerea noastră a primelor”.
Noi recorduri mondiale
Cu toate acestea, pentru multe probleme de sită, puteți face progrese chiar și cu informații incomplete despre modul în care numerele prime se împart în găleți. Luați problema primelor gemene: cernerea unui prim dacă numărul două puncte din stânga lui este divizibil cu 3 sau 5 sau 7 este același lucru cu a întreba dacă primul în sine are un rest de 2 atunci când este împărțit la 3 sau 5 sau 7 - în cu alte cuvinte, dacă primul cade în găleata „2” pentru oricare dintre acești divizori. Deci nu trebuie să știți dacă numerele prime sunt distribuite uniform în toate gălețile pentru acești divizori - trebuie doar să știți dacă fiecare găleată „2” conține numărul de numere prime pe care le așteptăm.
În anii 1980, matematicienii au început să descopere cum să demonstreze teoremele de distribuție care se concentrează pe o anumită găleată. Această lucrare a culminat cu o Hârtie 1986 de Bombieri, Friedlander și Henryk Iwaniec care a împins nivelul de distribuție până la 4/7 (aproximativ 0.57) pentru găleți simple, nu pentru toate sitele, ci pentru o clasă largă de acestea.
Ca și în cazul teoremei Bombieri-Vinogradov, corpul de idei dezvoltat în anii 1980 a găsit o serie de aplicații. Cel mai important, a activat a mare salt în înțelegerea de către matematicieni a ultimei teoreme a lui Fermat, care spune că ecuația an + bn = cn nu are soluții cu numere naturale pentru niciun exponent n mai mare decât 2. (Acest lucru a fost demonstrat mai târziu în 1994 folosind tehnici care nu se bazau pe teoreme de distribuție.) După entuziasmul anilor 1980, totuși, au existat puține progrese la nivelul distribuției numerelor prime timp de câteva decenii.
Apoi, în 2013, Zhang și-a dat seama cum să treacă peste bariera rădăcinii pătrate într-o direcție diferită de cea a lui Bombieri, Friedlander și Iwaniec. El a săpat în metode vechi, demodate de la începutul anilor 1980 pentru a obține cele mai mici îmbunătățiri ale nivelului de distribuție 1/2 al lui Bombieri și Vinogradov într-un context în care cerneți doar numere „netede” – cele care nu au factori primi mari. . Această mică îmbunătățire ia permis lui Zhang dovediți conjectura de lungă durată că, pe măsură ce ieși de-a lungul dreptei numerice, vei continua să întâlnești perechi de numere prime care sunt mai apropiate decât o limită fixă. (Ulterior, Maynard și Tao fiecare a venit separat o altă dovadă a acestei teoreme, prin utilizarea unei site îmbunătățite mai degrabă decât a unui nivel îmbunătățit de distribuție.)
Rezultatul lui Zhang s-a bazat pe o versiune a ipotezei Riemann care trăiește în lumea geometriei algebrice. Între timp, lucrările lui Bombieri, Friedlander și Iwaniec s-au bazat pe ceea ce Maynard numește o „conexiune oarecum magică” cu obiecte numite forme automorfe, care au propria lor versiune a ipotezei Riemann. Formele automorfe sunt obiecte extrem de simetrice care, spune Tao, aparțin „finalului de mare putere al teoriei numerelor”.
Cu câțiva ani în urmă, Maynard s-a convins că ar trebui să fie posibil să stoarce mai mult suc din aceste două metode, combinând cunoștințele lor. În seria sa de trei lucrări din 2020, pe care Granville le-a etichetat „tur de forță”, Maynard a reușit să împingă nivelul de distribuție până la 3/5, sau 0.6, într-un context puțin mai restrâns decât cel studiat de Bombieri, Friedlander și Iwaniec. .
Acum, studenții lui Maynard împing aceste tehnici mai departe. Lichtman descoperit recent cum să extindeți nivelul de distribuție al lui Maynard la aproximativ 0.617. Apoi a transformat această creștere în noi limite superioare pentru numărarea ambelor numere prime gemene și a reprezentărilor Goldbach ale numerelor pare ca sumă a două numere prime. Pentru acesta din urmă, este prima dată când cineva poate folosi un nivel de distribuție dincolo de 1/2 din teorema clasică Bombieri-Vinogradov.
Un alt elev al lui Maynard, Alexandru Pascadi, a a egalat cifra de 0.617 pentru nivelul de distribuție nu al numerelor prime ci al numerelor netede. La fel ca numerele prime, numerele netede apar peste tot în teoria numerelor, iar rezultatele despre nivelul lor de distribuție și cel al primelor merg adesea mână în mână.
Între timp, un al treilea student, Julia Stadlmann, a a sporit nivelul de distribuție de numere prime în cadrul pe care l-a studiat Zhang, în care divizorii (în loc de împărțirea numerelor) sunt numere netede. Zhang a învins cu strictețe bariera rădăcinii pătrate în acest context, atingerea unui nivel de distribuție de 0.5017, iar apoi o colaborare online numită proiect Polymath a crescut acel număr până la 0.5233; Stadlmann a crescut acum la 0.525.
Alți matematicieni îi tachinează pe teoreticienii numerelor analitice, a spus Tao, pentru obsesia lor pentru micile progrese numerice. Dar aceste mici îmbunătățiri au o semnificație dincolo de cifrele în cauză. „Este ca o liniuță de 100 de metri sau ceva, [unde] te bărbierești între 3.96 secunde și 3.95 secunde”, a spus el. Fiecare nou record mondial este „un punct de referință pentru cât de mult au progresat metodele tale”.
În general, „tehnicile devin mai clare și mai unificate”, a spus el. „Devine clar, odată ce ai un avans cu privire la o problemă, cum să o adaptezi la o altă problemă.”
Nu există încă o aplicație-bombă pentru aceste noi dezvoltări, dar noua lucrare „schimbă cu siguranță modul în care gândim”, a spus Granville. „Acesta nu înseamnă doar lovirea unui cui mai tare, ci de fapt obținem un ciocan mai îmbunătățit.”
Cuante efectuează o serie de sondaje pentru a servi mai bine publicul nostru. Ia-ne sondaj pentru cititorii de matematică și vei fi înscris pentru a câștiga gratuit Cuante Merch.
- Distribuție de conținut bazat pe SEO și PR. Amplifică-te astăzi.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Împuterniciți-vă. Accesați Aici.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Cunoștințe amplificate. Accesați Aici.
- PlatoESG. carbon, CleanTech, Energie, Mediu inconjurator, Solar, Managementul deșeurilor. Accesați Aici.
- PlatoHealth. Biotehnologie și Inteligență pentru studii clinice. Accesați Aici.
- Sursa: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- :are
- :este
- :nu
- :Unde
- ][p
- $UP
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15%
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- Capabil
- Despre Noi
- AC
- Cont
- Realizeaza
- peste
- de fapt
- adapta
- adăuga
- plus
- avansa
- avans
- După
- în urmă
- TOATE
- aproape
- de-a lungul
- deja
- de asemenea
- an
- analitic
- analizate
- și
- Angeles
- O alta
- răspunde
- Orice
- oricine
- separat
- aplicație
- aplicatii
- abordare
- aproximativ
- SUNT
- AS
- solicitând
- At
- audiență
- disponibil
- Sold
- barieră
- bariere
- bazat
- BE
- bate
- a devenit
- deoarece
- deveni
- devenire
- fost
- înainte
- comportament
- în spatele
- fiind
- de mai jos
- Benchmark
- Mai bine
- Dincolo de
- Mare
- mai mare
- Cea mai mare
- Bloca
- corp
- atât
- Legat
- limite
- respiraţie
- Aducere
- dar
- by
- calcula
- California
- denumit
- apel
- apeluri
- a venit
- CAN
- Poate obține
- capturi
- transporta
- celebru
- Secol
- provocare
- Modificări
- clasă
- clasic
- clar
- Închide
- mai aproape
- colaborare
- Colorado
- combinând
- cum
- vine
- în mod obișnuit
- comparativ
- complicat
- preocupările
- efectuarea
- încredere
- presupunere
- Consecințele
- Lua în considerare
- conţinut
- context
- continuă
- convins
- corecta
- corectat
- Corespunzător
- ar putea
- socoteală
- Trece
- traversată
- trecere
- crucial
- Liniuţă
- zi
- zeci de ani
- Grad
- În funcție
- depinde de
- devastator
- dezvoltat
- evoluții
- diferit
- direcţie
- distribuite
- distribuire
- împărţi
- împărțit
- do
- face
- făcut
- Dont
- vis
- Picătură
- fiecare
- Devreme
- uşor
- oricare
- Elliott
- activat
- întâlnire
- capăt
- suficient de
- a intrat
- Erori
- În esență,
- estima
- Chiar
- egal
- în cele din urmă
- Fiecare
- dovadă
- exemplu
- Cu excepția
- excepție
- Excitare
- aștepta
- extinde
- extindere
- extrage
- extrem
- factori
- Cădea
- Falls
- departe
- FAST
- DESCRIERE
- membru
- puțini
- Domenii
- imaginat
- Găsi
- descoperire
- termina
- First
- prima dată
- Repara
- fixată
- Concentra
- concentrat
- următor
- Pentru
- Forţarea
- formă
- formulare
- găsit
- din
- alimentat
- Complet
- fundamental
- mai mult
- câștig
- generaţie
- obține
- obtinerea
- dat
- Go
- merge
- Aur
- Gold Standard
- plecat
- treptat
- absolvent
- greacă
- HAD
- Jumătate
- ciocan
- mână
- se întâmplă
- Mai tare
- Avea
- he
- superior
- cea mai mare
- extrem de
- lui
- deţine
- deține
- speranţă
- gazdă
- FIERBINTE
- Cum
- Cum Pentru a
- Totuși
- HTTPS
- mare
- Maghiară
- vânătoare
- idee
- idei
- identifica
- if
- îmbunătățit
- îmbunătățire
- îmbunătățiri
- in
- În altele
- Crește
- informații
- perspective
- instanță
- imediat
- in schimb
- în
- implica
- implicând
- IT
- ESTE
- în sine
- doar
- A pastra
- Copil
- Cunoaște
- Cunoaștere
- mare
- Nume
- Târziu
- mai tarziu
- cel mai puțin
- Părăsi
- stânga
- mai puțin
- Nivel
- Viaţă
- ca
- Limitat
- Linie
- Listă
- mic
- Locuiește
- Lung
- de lungă durată
- Uite
- cautati
- lor
- Los Angeles
- Lot
- LOWER
- revistă
- Principal
- face
- gestionate
- multe
- matematica
- matematică
- materie
- însemna
- Între timp
- metodă
- Metode
- ar putea
- milion
- luni
- mai mult
- cele mai multe
- Mai ales
- muta
- mult
- multiplu
- Nevoie
- necesar
- Nou
- următor
- Nu.
- notabil
- în special
- acum
- număr
- numere
- obiecte
- obține
- a avut loc
- of
- de pe
- de multe ori
- Vechi
- on
- dată
- ONE
- cele
- on-line
- afară
- or
- Altele
- in caz contrar
- al nostru
- afară
- exterior
- peste
- propriu
- Oxford
- pereche
- perechi
- lucrări
- parte
- special
- trecut
- modele
- Paul
- oameni
- Perfect
- poate
- Plato
- Informații despre date Platon
- PlatoData
- a jucat
- Punct
- posibil
- potenţial
- putere
- puternic
- prezice
- predictibil
- a prezis
- prezicere
- prezice
- împiedica
- precedent
- în prealabil
- Prim
- Problemă
- probleme
- proces
- Progres
- a progresat
- proiect
- dovadă
- Dovedi
- s-au dovedit
- dovedind
- publicat
- Împinge
- împins
- împinge
- împingerea
- Quantamagazina
- întrebare
- repede
- cu totul
- ridicat
- variind
- mai degraba
- ajungând
- Cititor
- real
- într-adevăr
- record
- referință
- se bazează
- rest
- îndepărtat
- eliminarea
- Renaștere
- rezultat
- REZULTATE
- dreapta
- Rol
- rădăcină
- aproximativ
- rotund
- funcţionare
- Said
- acelaşi
- văzut
- Spune
- spune
- Al doilea
- secunde
- vedea
- părea
- serie
- servi
- set
- Seturi
- instalare
- rezolva
- câteva
- mutat
- SCHIMBARE
- să
- a arătat
- semnificație
- asemănător
- simplu
- întrucât
- singur
- Mărimea
- mic
- mai mici
- netezi
- So
- până acum
- soluţii
- unele
- ceva
- uneori
- curând
- a stârnit
- special
- pete
- pătrat
- Stoarce
- standard
- stanford
- Universitatea Stanford
- Începe
- început
- începe
- Pas
- Încă
- Stop
- oprire
- rezistenţă
- student
- Elevi
- studiat
- studiu
- poticnire
- subiect
- Ulterior
- astfel de
- supravieţui
- Lua
- luate
- tehnici de
- durată
- termeni
- decât
- acea
- lumea
- lor
- Lor
- se
- apoi
- teorie
- Acolo.
- Acestea
- ei
- crede
- Al treilea
- acest
- aceste
- deşi?
- trei
- Prin
- timp
- la
- astăzi
- împreună
- de asemenea
- instrument
- subiect
- Toronto
- Total
- Trilion
- adevărat
- încerca
- De două ori
- geamăn
- Două
- Tipuri
- UCLAs
- Submina
- înţelege
- înţelegere
- unificat
- universitate
- Universitatea din California
- nedovedit
- până la
- modernizate
- utilizare
- utilizat
- folosind
- obișnuit
- versiune
- foarte
- vrea
- a fost
- Cale..
- we
- WebP
- BINE
- au fost
- Ce
- cand
- dacă
- care
- OMS
- întreg
- a caror
- larg
- pe larg
- voi
- câştiga
- Victorii
- cu
- cuvinte
- Apartamente
- fabrică
- lume
- îngrijorat
- face griji
- ar
- scrie
- scris
- scris
- ani
- încă
- Tu
- Mai tanar
- Ta
- zephyrnet