Isaac Newton nu era cunoscut pentru generozitatea lui de spirit, iar disprețul său față de rivalii săi era legendar. Dar într-o scrisoare adresată concurentului său Gottfried Leibniz, cunoscut acum sub numele de Epistola Posterior, Newton este un nostalgic și aproape prietenos. În ea, el spune o poveste din perioada studenției sale, când abia începea să învețe matematica. El povestește cum a făcut o descoperire majoră echivalând zonele sub curbe cu sume infinite printr-un proces de ghicire și verificare. Raționamentul lui din scrisoare este atât de fermecător și accesibil, încât îmi amintește de jocurile de ghicire a modelelor pe care copiii mici le place să le joace.
Totul a început când tânărul Newton a citit pe John Wallis Arithmetica Infinitorum, o lucrare fundamentală a matematicii din secolul al XVII-lea. Wallis a inclus o metodă nouă și inductivă de determinare a valorii lui pi, iar Newton a vrut să creeze ceva similar. A început cu problema găsirii zonei unui „segment circular” de lățime reglabilă $latex x$. Aceasta este regiunea de sub cercul unității, definită de $latex y=sqrt{1-x^2}$, care se află deasupra porțiunii axei orizontale de la 0 la $latex x$. Aici $latex x$ poate fi orice număr de la 0 la 1, iar 1 este raza cercului. Aria unui cerc unitar este pi, așa cum știa bine Newton, deci când $latex x=1$, aria de sub curbă este un sfert din cercul unitar, $latexfrac{π}{4}$. Dar pentru alte valori ale $latex x$, nu se știa nimic.
Dacă Newton ar putea găsi o modalitate de a determina aria de sub curbă pentru fiecare valoare posibilă a $latex x$, i-ar putea oferi un mijloc fără precedent de aproximare a pi. Acesta a fost inițial marele lui plan. Dar, pe parcurs, a găsit ceva și mai bun: o metodă de înlocuire a curbelor complicate cu sume infinite de blocuri mai simple formate din puteri de $latex x$.
Primul pas al lui Newton a fost să raționeze prin analogie. În loc să vizeze direct aria segmentului circular, el a investigat zonele segmentelor analoge mărginite de următoarele curbe:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton știa că ariile de sub curbele din lista cu puteri întregi (cum ar fi $latex frac{0}{2}=0$ și $latex frac{2}{2} = 1$) ar fi ușor de calculat, deoarece se simplifică algebric. De exemplu,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
În mod similar,
Dar nu este disponibilă o astfel de simplificare pentru ecuația cercului — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— sau celelalte curbe cu jumătate de puteri. La momentul respectiv, nimeni nu știa cum să găsească zona de sub niciunul dintre ele.
Din fericire, zonele de sub curbe cu puteri întregi au fost simple. Luați curba $latex y_4=1-2x^2+x^4$. O regulă binecunoscută la acea vreme pentru astfel de funcții i-a permis lui Newton (și oricui altcineva) să găsească rapid zona: pentru orice putere cu număr întreg $latex nge 0$, aria de sub curba $latex y=x^n$ peste intervalul de la $latex 0$ la $latex x$ este dat de $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis ghicise această regulă cu metoda sa inductivă, iar Pierre de Fermat a demonstrat-o în mod concludent.) Înarmat cu această regulă, Newton știa că aria de sub curba $latex y_4$ era $latex x- frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Aceeași regulă i-a permis să găsească aria de sub celelalte curbe cu puteri întregi din lista de mai sus. Să scriem $latex A_n$ pentru aria de sub curba $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, unde $latex n= 0, 1, 2, …$ . Aplicarea regulii are randament
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspațiu{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspațiu{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
și așa mai departe. Ideea vicleană a lui Newton a fost să umple golurile, sperând să ghicească $latexA_1$ (seria pentru zona necunoscută a segmentului circular) pe baza a ceea ce putea vedea în cealaltă serie. Un lucru a fost imediat clar: fiecare $latexA_n$ începea pur și simplu cu $latex x$ . Asta a sugerat modificarea formulelor astfel:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Apoi, pentru a înlocui următorul lot de semne de întrebare, Newton s-a uitat la termenii $latex x^3$. Cu puțină licență, putem vedea că chiar și $latexA_0$ a avut unul dintre acești termeni cubi, deoarece îl putem rescrie ca $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. După cum i-a explicat Newton lui Leibniz, el a observat „că cei doi termeni $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ etc., erau în progresie aritmetică” (se referea la 0, 1, 2, 3 din numărători). Bănuind că această progresie aritmetică s-ar putea extinde și în goluri, Newton a ghicit că întreaga secvență de numărători, cunoscute și necunoscute, ar trebui să fie numere separate prin $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2} }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ „și, prin urmare, primii doi termeni ai seriei” de care era interesat — $latexul încă necunoscut A_1$ , $latex A_3$ și $latex A_5$ — „ar trebui să fie $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ etc.”
Astfel, în această etapă, modelele i-au sugerat lui Newton că $latexul A_1$ ar trebui să înceapă ca
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Acesta a fost un început bun, dar avea nevoie de mai mult. În timp ce căuta alte modele, Newton a observat că numitorii din ecuații conțineau întotdeauna numere impare în ordine crescătoare. De exemplu, uitați-vă la $latex A_6$, care are 1, 3, 5 și 7 la numitori. Același model a funcționat pentru $latex A_4$ și $latex A_2$. Destul de simplu. Se pare că acel model a persistat în toți numitorii tuturor ecuațiilor.
Ceea ce a rămas a fost să găsim un model în numărători. Newton a examinat din nou $latex A_2$, $latex A_4$ și $latex A_6$ și a observat ceva. În $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ el a văzut un 1 înmulțind $latexul x$ și încă 1 în termenul $latexfrac {1}{3}x^3$ (a ignorat semn negativ pentru moment). În $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, a văzut numărători de 1, 2, 1. Și în $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , el a văzut numărătorii 1, 3, 3, 1. Aceste numere ar trebui să fie familiare oricui care a studiat vreodată triunghiul lui Pascal, un aranjament triunghiular de numere care, cel mai simplu, este creat prin adunarea numerelor de deasupra lui, începând cu 1 în partea de sus.
În loc să-l invoce pe Pascal, Newton s-a referit la acești numărători drept „puteri ale numărului 11”. De exemplu, 112 = 121, care este al doilea rând din triunghi și 113 = 1331, care este al treilea. În prezent, aceste numere sunt numite și coeficienți binomiali. Ele apar atunci când extindeți puterile unui binom ca ($latex a +b$), ca în $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Cu acest model în mână, Newton avea acum o modalitate ușoară de a scrie $latexul A_2, A_4, A_6$ și toate celelalte cu numere pare. AE.
În continuare, pentru a-și extrapola rezultatele la jumătăți de puteri și indicele impare (și în cele din urmă să ajungă la seria pe care o dorea, $latex A_1$), Newton trebuia să extindă triunghiul lui Pascal la un nou regim fantastic: la jumătatea drumului între rânduri. Pentru a efectua extrapolarea, el a derivat o formulă generală pentru coeficienții binomi din orice rând dat al triunghiului lui Pascal — rândul $latex m$ — și apoi a introdus cu îndrăzneală $latex m= frac{1}{2}$. Și uimitor, a funcționat. Asta i-a dat numărătorii din seria pe care o căuta pentru un cerc unitar, $latexA_1$.
Iată, în propriile cuvinte ale lui Newton, rezumatul lui lui Leibniz al tiparelor pe care le-a observat inductiv până în acest stadiu al argumentării:
Am început să reflectez că numitorii 1, 3, 5, 7 etc. erau în progresie aritmetică, astfel că doar coeficienții numerici ai numărătorilor mai aveau nevoie de investigație. Dar în zonele date alternativ, acestea erau cifrele puterilor numărului 11... adică primul „1”; apoi „1, 1”; în al treilea rând, „1, 2, 1”; în al patrulea rând „1, 3, 3, 1”; în al cincilea rând, „1, 4, 6, 4, 1” etc. și așa am început să întreb cum ar putea fi derivate figurile rămase din serie din primele două cifre date și am constatat că punând $latex m$ pentru a doua cifră, restul ar fi produs prin multiplicarea continuă a termenilor acestei serii,
$latex frac{m-0}{1} ori frac{m-1}{2} ori frac {m-2}{3} ori frac{m-3}{4} ori frac {m-4}{5 }$ etc.
… În consecință, am aplicat această regulă pentru interpunerea serii între serii și, deoarece, pentru cerc, al doilea termen a fost $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, am pus $latex m=frac{1}{2}$, iar termenii care au apărut au fost
$latex frac de {1}{2} ori frac{1}{2}-1}{2}$ sau $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} ori frac{1}{2}-2}{3}$ sau $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} ori frac{1}{2}-3}{4}$ sau $latex – frac {5}{128}$,deci la infinit. De unde am ajuns să înțeleg că aria segmentului circular pe care o doream era
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
În cele din urmă, prin conectarea $latex x=1$, Newton ar putea obține o sumă infinită pentru $latexfrac{π}{4}$. A fost o descoperire importantă, dar se dovedește că există modalități mai bune de a aproxima pi prin intermediul unei sume infinite, așa cum Newton însuși a descoperit curând după această incursiune inițială în aceste tipuri de sume infinite, numite acum serii de puteri. În cele din urmă a calculat primele 15 cifre ale lui pi.
Revenind la problema segmentului circular, Newton și-a dat seama că ecuația pentru cerc în sine (nu doar aria de sub acesta) poate fi reprezentată și printr-o serie de puteri. Tot ce trebuia să facă era să omite numitorii și să reducă puterile $latexului x$ cu 1 în seria de puteri afișată mai sus. Astfel a fost făcut să ghicească asta
Pentru a testa dacă acest rezultat avea sens, Newton l-a înmulțit singur: „A devenit $latex 1-x^2$, termenii rămași dispărând prin continuarea seriei la infinit.”
Retrăgându-ne puțin de la detalii, vedem aici câteva lecții despre rezolvarea problemelor. Dacă o problemă este prea grea, schimbați-o. Dacă vi se pare prea specific, generalizați-l. Newton a făcut ambele și a obținut rezultate mai importante și mai puternice decât ceea ce a căutat inițial.
Newton nu s-a încăpățânat să se fixeze pe un sfert de cerc. S-a uitat la o formă mult mai generală, orice segment circular de lățime $latex x$. În loc să rămână la $latex x=1$, el a permis $latexului x$ să ruleze liber de la 0 la 1. Acest lucru a dezvăluit caracterul binomial al coeficienților din seria sa - apariția neașteptată a numerelor în triunghiul lui Pascal și generalizările lor - care lasă-l pe Newton să vadă tipare pe care Wallis și alții le rataseră. Văzând acele modele apoi i-a oferit lui Newton cunoștințele de care avea nevoie pentru a dezvolta teoria seriei de putere mult mai larg și în general.
În lucrarea sa ulterioară, seria de putere a lui Newton i-a oferit un cuțit elvețian pentru calcul. Cu ele, putea să facă integrale, să găsească rădăcinile ecuațiilor algebrice și să calculeze valorile sinusurilor, cosinusurilor și logaritmilor. După cum a spus el, „Cu ajutorul lor, analiza ajunge, aproape aș putea spune, la toate problemele.”
Morala: Schimbarea unei probleme nu înseamnă înșelăciune. Este creativ. Și poate fi cheia pentru ceva mai mare.
