Introducere
La începutul acestui an, un trio de matematicieni au decis să transforme lămâile în limonadă - și au ajuns să facă progres major asupra unei probleme la care matematicienii se gândesc de secole.
Cei trei tocmai terminau un proiect și se gândeau la următorii pași, când, la sfârșitul lunii martie, doi dintre ei - Levent Alpöge de la Universitatea Harvard și Ari Shnidman de la Universitatea Ebraică din Ierusalim — a contractat Covid-19, separat, dar aproape simultan. Mulți oameni ar lua o pauză în astfel de circumstanțe, dar al treilea membru al echipei, Manjul Bhargava de la Universitatea Princeton, a propus contrariul. Creșterea întâlnirilor săptămânale Zoom la trei sau patru ori pe săptămână, a sugerat el, ar putea distrage atenția colaboratorilor bolnavi de la simptomele lor. Carantina, au decis cei trei, ar putea fi o oportunitate de a gândi netulburat.
În timpul acestor întâlniri, ei au luat în considerare una dintre cele mai vechi întrebări din teoria numerelor: câte numere întregi pot fi scrise ca sumă a două fracții cubite sau, așa cum le numesc matematicienii, numere raționale? Numărul 6, de exemplu, poate fi scris ca (17/21)3 + (37/21)3, în timp ce 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matematicienii au bănuit de zeci de ani că jumătate din numerele întregi pot fi scrise astfel. La fel ca în cazul numerelor pare și impare, această proprietate pare să împartă numerele întregi în două tabere egale: cele care sunt suma a două cuburi și cele care nu sunt.
Dar nimeni nu a fost capabil să demonstreze acest lucru, sau chiar să dea vreo limită cu privire la proporția numerelor întregi care se încadrează în fiecare tabără. Din câte știau matematicienii, tabăra constând din sume de cuburi raționale ar putea fi extrem de mică - sau ar putea conține aproape fiecare număr întreg. Matematicieni au calculat că, dacă ceva numit conjectura Birch și Swinnerton-Dyer este adevărat (așa cum se crede larg), aproximativ 59% din numerele de până la 10 milioane sunt suma a două cuburi raționale. Dar astfel de date pot, în cel mai bun caz, să ofere indicii despre cum s-ar putea comporta restul liniei numerice.
Spre deosebire de numerele pare și impare, „aceste două tabere sunt subtile”, a spus Barry Mazur de la Harvard. Nu există niciun test pentru a determina numerele care aparțin cărei tabere despre care se știe că funcționează pentru toate numerele. Matematicienii au venit cu teste care sunt candidați puternici, dar pentru moment fiecare are un anumit dezavantaj - fie matematicienii nu pot dovedi că testul va ajunge întotdeauna la o concluzie, fie nu pot demonstra că concluzia este corectă.
Dificultatea de a înțelege sumele de cuburi și, în general, ecuațiile cubice, a fost „o jenă recurentă pentru teoreticienii numerelor”, a spus Bhargava. El a câștigat medalia Fields în 2014 în parte pentru munca lui privind soluțiile raționale la ecuațiile cubice cunoscute sub numele de curbe eliptice, dintre care sumele a două cuburi sunt un caz special.
Acum, în o hartie postate online la sfârșitul lunii octombrie, Alpöge, Bhargava și Shnidman au arătat că cel puțin 2/21 (aproximativ 9.5%) și cel mult 5/6 (aproximativ 83%) din numere întregi pot fi scrise ca sumă a două fracții cuburi.
Problema sumelor de cuburi nu este doar o curiozitate. Curbele eliptice au o structură bogată și complexă, care le-a propulsat în centrul multor domenii ale matematicii pure și aplicate, permițând în special criptografilor să construiască cifruri puternice. Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer, întrebarea centrală în domeniu, are o recompensă de 1 milion de dolari pe cap ca una dintre problemele Millennium Prize ale Institutului de Matematică Clay.
Noua lucrare se bazează pe un set de instrumente pe care Bhargava le-a dezvoltat în ultimii 20 de ani, împreună cu colaboratorii, pentru a explorați întreaga familie a curbelor eliptice. Înțelegerea sumelor a două cuburi înseamnă a analiza o familie mult mai mică și „cu cât familia este mai mică, cu atât problema este mai dificilă”, a spus Peter Sarnak al Institutului pentru Studii Avansate din Princeton.
Această familie anume părea „la îndemână”, a adăugat Sarnak. „Aș fi spus: „Pare prea greu, mult prea greu.””
O tranziție de fază
Spre deosebire de sumele fracțiilor cuburi, care par a fi abundente, aproape niciun număr întreg este suma a două fracții pătrate. La începutul anilor 1600, matematicienii Albert Girard și Pierre de Fermat au descoperit un test simplu pentru a determina care numere întregi sunt suma a două pătrate: factorizează numărul tău în numere prime, apoi verifică exponentul fiecărui prim care are un rest de 3. când îl împărțiți la 4. Dacă acești exponenți sunt toți pari, numărul dvs. este suma a două fracții pătrate; altfel, nu este. De exemplu, 490 de factori în 21 × 51 × 72. Singurul dintre acești factori care are un rest de 3 când împărțiți la 4 este 7, iar 7 are un exponent par. Prin urmare, 490 este suma a două pătrate (pentru curioși, este egal cu 72 + 212).
Marea majoritate a numerelor pică testul exponentului par. Dacă alegeți un număr întreg la întâmplare, probabilitatea ca acesta să fie suma a două fracții pătrate este în esență zero. Matematicienii cred că același lucru este valabil și pentru sumele a două fracții ridicate la puterea a patra, sau puterea a cincea, sau orice putere mai mare de trei. Doar cu sumele de cuburi există dintr-o dată o abundență.
Matematicienii sunt obișnuiți cu ecuațiile cubice care se comportă diferit de cele ale tuturor celorlalte puteri. Printre ecuațiile formate din două variabile (cum ar fi ecuațiile cu sumă a două cuburi), ecuațiile al căror exponent cel mai mare este 1 sau 2 tind să fie bine înțelese - de obicei, fie nu au soluții raționale, fie au infinit de multe și, în general, este simplu să spune care. Între timp, ecuațiile al căror exponent cel mai mare este 4 sau mai mare au în general doar o stropire finită a soluţiilor raţionale.
Ecuațiile cubice, dimpotrivă, pot avea un număr finit de soluții, infinit de multe sau deloc. Aceste ecuații reprezintă un fel de tranziție de fază între exponenții de sub 3 și cei de mai sus, afișând fenomene care nu sunt niciodată văzute în aceste alte setări. „Cuburile sunt diferite din toate punctele de vedere”, a spus Mazur.
Spre deosebire de ecuațiile cu exponenți mai mici, cuburile sunt uimitor de greu de înțeles. Nu există o metodă globală pentru a găsi sau chiar a număra soluțiile raționale la cubice care sa dovedit a funcționa întotdeauna.
„Chiar cu toată puterea de calcul pe care o avem, dacă îmi dai o curbă eliptică cu coeficienți foarte mari, nu știu neapărat câte soluții raționale are”, a spus Wei Ho, un fost student al lui Bhargava care este în prezent profesor invitat la Institutul de Studii Avansate.
În problema sumei a două cuburi, fracțiile implicate pot fi enorme: numărul 2,803, de exemplu, este suma a două fracții cuburi ai căror numitori au fiecare 40 de cifre. Și, odată ce ne uităm la cifre de milioane, a spus Bhargava, multe dintre fracții „ar implica mai multe cifre decât ar putea încăpea pe toată hârtia din această lume”.
Matrice de cartografiere
Deoarece curbele eliptice sunt atât de neguvernabile, teoreticienii numerelor caută modalități de a le lega cu obiecte mai tratabile. În aprilie, în timp ce Alpöge și Shnidman se luptau cu Covid, ei și Bhargava s-au bazat pe munca pe care acesta din urmă o făcuse anterior cu Ho și și-au dat seama că ori de câte ori o ecuație de sumă de cuburi are soluții raționale, există o modalitate de a construi cel puțin un 2 special. × 2 × 2 × 2 matrix — un analog cu patru dimensiuni al matricei bidimensionale mai cunoscute. „Am început să stabilim un plan pentru a număra aceste matrici 2 × 2 × 2 × 2”, au scris cei trei.
Pentru a face acest lucru, echipa s-a bazat pe două subiecte clasice care au fost fiecare studiate de mai bine de un secol. Una este „geometria numerelor”, care implică modul de numărare a punctelor de rețea în interiorul diferitelor forme geometrice. Acest subiect s-a bucurat de o renaștere în domeniul curbelor eliptice în ultimii 20 de ani, datorită în mare parte muncii lui Bhargava și colaboratorilor.
Cealaltă tehnică, cunoscută sub numele de metoda cercului, își are originea în munca legendarului matematician indian Srinivasa Ramanujan și a colaboratorului său de lungă durată GH Hardy la începutul secolului al XX-lea. „Aceasta este prima aplicație majoră a combinării metodei cercului cu aceste tehnici de geometrie a numerelor”, a spus Ho. „Acea parte este foarte tare.”
Folosind aceste metode, trio-ul a reușit să arate că pentru cel puțin 1/6 din toate numerele întregi, nu există o matrice 2 × 2 × 2 × 2. Asta înseamnă că pentru acele numere, ecuația sumei cuburilor nu are soluții raționale. Deci nu mai mult de 5/6 de numere întregi, sau aproximativ 83%, poate fi suma de cuburi a două fracții.
În direcția inversă, au descoperit că cel puțin 5/12 din toate numerele întregi au exact o matrice de potrivire. Este tentant să trageți concluzia că aceste numere sunt suma a două cuburi, dar asta nu urmează automat. Fiecare număr care este suma a două cuburi are o matrice, dar asta nu înseamnă neapărat că este adevărat invers: că fiecare număr cu o matrice este suma a două cuburi.
Alpöge, Bhargava și Shnidman aveau nevoie de ceea ce cercetătorii în curba eliptică numesc o teoremă inversă - ceva care preia informații despre o ecuație cubică și le folosește pentru a construi soluții raționale. Teoremele inverse formează un subcâmp înfloritor al teoriei curbelor eliptice, așa că trio-ul s-a îndreptat către doi dintre experții practicanți ai subcâmpului - Ashay Burungale de la Universitatea din Texas, Austin și Princeton. Burungale și Skinner au reușit să arate că, cel puțin o parte din timp, dacă un număr întreg are o singură matrice asociată, atunci acel număr trebuie să fie suma a două cuburi raționale. Teorema lor, care demonstrează în esență o parte relevantă din conjectura Birch și Swinnerton-Dyer, apare în lucrare ca un apendice de trei pagini, pe care Sarnak îl descrie ca fiind minunat în sine.
Burungale și Skinner nu și-au demonstrat teorema pentru fiecare număr întreg cu exact o matrice - au trebuit să impună o condiție tehnică care a redus subsetul 5/12 la 2/21, sau aproximativ 9.5%, din toate numerele întregi. Dar Bhargava este optimist că Burungale și Skinner, sau alți cercetători din zona lor, vor ajunge la restul celor 5/12 (aproximativ 41% în total) în curând. „Tehnicile lor devin din ce în ce mai puternice”, a spus Bhargava.
Demonstrarea completă a conjecturei - că exact jumătate dintre numerele întregi sunt suma a două cuburi - va necesita în cele din urmă abordarea setului de numere care au mai mult de o matrice asociată. Acest set, pe care Bhargava îl numește „foarte neclar”, include atât numere care sunt suma a două cuburi, cât și numere care nu sunt. Gestionarea unor astfel de numere va necesita idei complet noi, a spus el.
Deocamdată, cercetătorii sunt fericiți că au rezolvat în sfârșit chestiunea pentru o proporție substanțială de numere întregi și sunt dornici să cerceteze mai departe tehnicile din demonstrație. „Este unul dintre acele lucruri frumoase: poți explica rezultatul foarte ușor, dar instrumentele sunt foarte, foarte la vârful teoriei numerelor”, a spus Sarnak.
