Den dolda kopplingen som förändrade talteorin | Quanta Magazine

Det finns tre sorters primtal. Den första är en solitär avvikare: 2, den enda jämna primtal. Därefter lämnar halva primtalen en rest av 1 när de divideras med 4. Den andra hälften lämnar en rest av 3. (5 och 13 faller i det första lägret, 7 och 11 i det andra.) Det finns ingen uppenbar anledning till att resten -1 primtal och rest-3 primtal bör bete sig på fundamentalt olika sätt. Men det gör de.

En viktig skillnad härrör från en egenskap som kallas kvadratisk ömsesidighet, först bevisad av Carl Gauss, utan tvekan den mest inflytelserika matematikern på 19-talet. "Det är ett ganska enkelt uttalande som har applikationer överallt, i all slags matematik, inte bara sifferteori," sa James Rickards, en matematiker vid University of Colorado, Boulder. "Men det är också inte uppenbart nog att vara riktigt intressant."

Talteorin är en gren av matematiken som handlar om heltal (i motsats till t.ex. former eller kontinuerliga storheter). Primtalen - de som bara är delbara med 1 och sig själva - är kärnan, ungefär som DNA är kärnan i biologin. Kvadratisk ömsesidighet har förändrat matematikernas uppfattning om hur mycket det är möjligt att bevisa om dem. Om du tänker på primtal som en bergskedja är ömsesidighet som en smal stig som låter matematiker klättra till tidigare oåtkomliga toppar och från dessa toppar se sanningar som hade varit gömda.

Även om det är ett gammalt teorem, fortsätter det att ha nya tillämpningar. I sommar, Rickards och hans kollega Katherine Stangetillsammans med två elever, motbevisade en allmänt accepterad gissning om hur små cirklar kan packas inuti en större. Resultatet chockade matematiker. Peter Sarnak, en talteoretiker vid Institute for Advanced Study och Princeton University, pratade med Stange vid en konferens strax efter hennes team posted deras papper. "Hon sa till mig att hon har ett motexempel," mindes Sarnak. "Jag frågade henne omedelbart: 'Använder du ömsesidighet någonstans?' Och det var verkligen vad hon använde.'”

Mönster i par av primtal

För att förstå ömsesidighet måste du först förstå modulär aritmetik. Modulära operationer bygger på att beräkna rester när du dividerar med ett tal som kallas modulen. Till exempel är 9 modulo 7 2, för om du dividerar 9 med 7 har du en rest av 2. I modulo 7 talsystemet finns det 7 tal: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Du kan addera, subtrahera, multiplicera och dividera dessa tal.

Precis som med heltal kan dessa talsystem ha perfekta kvadrater — tal som är produkten av ett annat tal gånger sig själv. Till exempel är 0, 1, 2 och 4 de perfekta kvadraterna modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 och 3 × 3 = 2 mod 7). Varje vanlig kvadrat kommer att vara lika med antingen 0, 1, 2 eller 4 modulo 7. (Till exempel 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Eftersom modulära talsystem är ändliga är perfekta kvadrater vanligare.

Kvadratisk ömsesidighet härrör från en relativt okomplicerad fråga. Givet två primtal p och q, om du vet det p är en perfekt kvadratisk modulo q, kan du säga om eller inte q är en perfekt kvadratisk modulo p?

Det visar sig att så länge som antingen p or q lämnar en rest av 1 när de divideras med 4, if p är en perfekt kvadratisk modulo qoch sedan q är också en perfekt kvadratisk modulo p. De två primtal sägs återgälda.

Å andra sidan, om båda lämnar en återstod av 3 (som t.ex. 7 och 11) så gör de inte återgälden: Om p är en kvadratisk modulo q, det betyder att q kommer inte att vara en kvadratisk modulo p. I det här exemplet är 11 en kvadrat modulo 7, eftersom 11 = 4 mod 7 och vi vet redan att 4 är en av de perfekta kvadraterna modulo 7. Därav följer att 7 inte är en kvadrat modulo 11. Om du tar listan över vanliga rutor (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) och titta på deras rester modulo 11, då kommer 7 aldrig att visas.

Detta, för att använda en teknisk term, är verkligen konstigt!

Generaliseringens kraft

Liksom många matematiska idéer har ömsesidighet varit inflytelserik eftersom den kan generaliseras.

Strax efter att Gauss publicerade det första beviset på kvadratisk ömsesidighet 1801, försökte matematiker utvidga idén bortom kvadrater. "Varför inte tredje makten eller fjärde makten? De föreställde sig att det kanske finns en lag om kubisk ömsesidighet eller en lag om kubisk ömsesidighet, säger han. Keith Conrad, en talteoretiker vid University of Connecticut.

Men de fastnade, sa Conrad, "eftersom det inte finns något lätt mönster." Detta ändrades när Gauss förde ömsesidighet in i sfären av komplexa tal, som adderar kvadratroten av minus 1, representerad av i, till vanliga nummer. Han introducerade idén att talteoretiker inte bara kunde analysera vanliga heltal utan andra heltalsliknande matematiska system, som så kallade Gaussiska heltal, som är komplexa tal vars reella och imaginära delar båda är heltal.

Med Gaussiska heltal förändrades hela uppfattningen om vad som räknas som primtal. Till exempel är 5 inte längre primtal, eftersom 5 = (2 + i) × (2 − i). "Du måste börja om som om du är i grundskolan igen," sa Conrad. År 1832 bevisade Gauss en kvarts ömsesidighetslag för de komplexa heltal som bär hans namn.

Plötsligt lärde sig matematiker att tillämpa verktyg som modulär aritmetik och faktorisering på dessa nya talsystem. Kvadratisk ömsesidighet var inspirationen, enligt Conrad.

Mönster som hade varit svårfångade utan komplexa tal började nu dyka upp. Vid mitten av 1840-talet hade Gotthold Eisenstein och Carl Jacobi bevisat de första kubiska ömsesidighetslagarna.

Sedan, på 1920-talet, upptäckte Emil Artin, en av grundarna av modern algebra, vad Conrad kallar "den ultimata reciprocitetslagen". Alla andra ömsesidighetslagar kunde ses som specialfall av Artins ömsesidighetslag.

Ett sekel senare utarbetar matematiker fortfarande nya bevis för Gauss första kvadratiska ömsesidighetslag och generaliserar den till nya matematiska sammanhang. Att ha många tydliga bevis kan vara användbart. "Om du vill utöka resultatet till en ny miljö kanske ett av argumenten lätt kommer att föras över, medan de andra inte gör det," sa Conrad.

Varför ömsesidighet är så användbart

Kvadratisk ömsesidighet används inom så olika forskningsområden som grafteori, algebraisk topologi och kryptografi. I den senare utvecklades en inflytelserik krypteringsalgoritm för offentlig nyckel 1982 av Shafi Goldwasser och Silvio Micali hänger på att multiplicera två stora primtal p och q tillsammans och producerar resultatet, N, tillsammans med ett nummer, x, vilket inte är en kvadratisk modulo N. Algoritmen använder N och x att kryptera digitala meddelanden till strängar med större antal. Det enda sättet att dekryptera denna sträng är att bestämma om varje nummer i den krypterade strängen är en kvadratisk modulo eller inte N — praktiskt taget omöjligt utan att känna till primtalsvärdena p och q.

Och naturligtvis dyker kvadratisk ömsesidighet upp upprepade gånger inom talteorin. Till exempel kan den användas för att bevisa att vilket primtal som helst lika med 1 modulo 4 kan skrivas som summan av två kvadrater (till exempel, 13 är lika med 1 modulo 4 och 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Däremot kan primtal lika med 3 modulo 4 aldrig skrivas som summan av två kvadrater.

Sarnak noterade att ömsesidighet kan användas för att lösa öppna frågor, som att räkna ut vilka tal som kan skrivas som summan av tre kuber. Det är känt att tal som är lika med 4 eller 5 modulo 9 inte är lika med summan av tre kuber, men andra förblir ett mysterium. (2019, Andrew Booker genererade rubriker när han upptäckte att (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Trots alla dess många tillämpningar, och många olika bevis, är det något med ömsesidighet som förblir ett mysterium, sa Stange.

"Vad som ofta händer med ett matematiskt bevis är att du kan följa varje steg; du kan tro att det är sant”, sa hon. "Och du kan fortfarande komma ut i andra änden och känna "men varför?"

Att förstå, på en visceral nivå, vad som skiljer 7 och 11 från 5 och 13 kan vara för alltid utom räckhåll. "Vi kan bara jonglera med så många nivåer av abstraktion," sa hon. "Det dyker upp överallt i sifferteorin ... och ändå är det bara ett steg bortom vad som känns som att du egentligen bara kunde veta."

Quanta genomför en serie undersökningar för att bättre betjäna vår publik. Ta vår matematikläsarundersökning och du kommer att delta för att vinna gratis Quanta merch.