Den mystiska matematiken med biljardbord | Quanta Magazine

I Disneys film från 1959 Donald i Mathmagic Land, Kalle Anka, inspirerad av berättarens beskrivningar av biljardens geometri, slår energiskt till bollen, skickar den rikoschetterande runt bordet innan den slutligen träffar de avsedda bollarna. Donald frågar, "Hur gillar du det för matematik?"

Eftersom rektangulära biljardbord har fyra väggar som möts i rät vinkel, är biljardbanor som Donalds förutsägbara och väl förstådda – även om de är svåra att genomföra i praktiken. Forskningsmatematiker kan dock fortfarande inte svara på grundläggande frågor om möjliga banor för biljardbollar på bord i form av andra polygoner (former med platta sidor). Även trianglar, den enklaste av polygoner, har fortfarande mysterier.

Är det alltid möjligt att träffa en boll så att den återvänder till sin startpunkt och färdas i samma riktning och skapar en så kallad periodisk bana? Ingen vet. För andra, mer komplicerade former är det okänt om det är möjligt att slå bollen från vilken punkt som helst på bordet till någon annan punkt på bordet.

Även om dessa frågor tycks passa väl in inom geometrins gränser som det lärs ut på gymnasiet, har försök att lösa dem krävt några av världens främsta matematiker för att ta in idéer från olika områden inklusive dynamiska system, topologi och differentialgeometri. Som med alla stora matematikproblem har arbetet med dessa problem skapat ny matematik och har återmatat och avancerad kunskap inom dessa andra områden. Men trots alla dessa ansträngningar och den insikt som moderna datorer har gjort, motstår dessa till synes enkla problem envist lösning.

Här är vad matematiker har lärt sig om biljard sedan Donald Ducks episkt trassliga skott.

De antar vanligtvis att deras biljardboll är en oändligt liten, dimensionslös punkt och att den studsar mot väggarna med perfekt symmetri och avgår i samma vinkel som den anländer, som ses nedan.

Utan friktion färdas bollen på obestämd tid om den inte når ett hörn, vilket stoppar bollen som en ficka. Anledningen till att biljard är så svår att analysera matematiskt är att två nästan identiska skott som landar på vardera sidan om ett hörn kan ha väldigt divergerande banor.

En nyckelmetod för att analysera polygonal biljard är att inte tänka på att bollen studsar från bordets kant, utan istället att föreställa sig att varje gång bollen träffar en vägg, fortsätter den att resa in i en ny kopia av bordet som vänds över dess kant, vilket ger en spegelbild. Denna process (se nedan), kallad utvikningen av biljardbanan, tillåter bollen att fortsätta i en rät linje. Genom att vika tillbaka de tänkta borden på sina grannar kan du återställa bollens faktiska bana. Detta matematiska trick gör det möjligt att bevisa saker om banan som annars skulle vara utmanande att se.

Till exempel kan den användas för att visa varför enkla rektangulära tabeller har oändligt många periodiska banor genom varje punkt. Ett liknande argument gäller för vilken rektangel som helst, men för att vara konkret, föreställ dig ett bord som är dubbelt så brett som det är långt.

Anta att du vill hitta en periodisk bana som korsar tabellen n gånger i långriktningen och m gånger i kort riktning. Eftersom varje spegelbild av rektangeln motsvarar bollen som studsar från en vägg, för att bollen ska kunna återvända till sin startpunkt och färdas i samma riktning, måste dess bana korsa bordet ett jämnt antal gånger i båda riktningarna. Så m och n måste vara jämnt. Lägg ut ett rutnät med identiska rektanglar, var och en sedd som en spegelbild av sina grannar. Rita ett linjesegment från en punkt på originaltabellen till samma punkt på en kopia n bord bort i långriktningen och m bord bort i kort riktning. Justera den ursprungliga punkten något om banan går genom ett hörn. Här är ett exempel där n = 2 och m = 6. När den viks tillbaka, producerar banan en periodisk bana, som visas i den gröna rektangeln.

En triangelojämlikhet

Biljard i trianglar, som inte har rektanglarnas fina rätvinkliga geometri, är mer komplicerat. Som du kanske kommer ihåg från gymnasiegeometrin finns det flera sorters trianglar: spetsiga trianglar, där alla tre inre vinklarna är mindre än 90 grader; räta trianglar, som har en 90-graders vinkel; och trubbiga trianglar, som har en vinkel som är mer än 90 grader.

Biljardbord formade som spetsiga och räta trianglar har periodiska banor. Men ingen vet om detsamma gäller för trubbiga trianglar.

För att hitta en periodisk bana i en spetsig triangel, rita en vinkelrät linje från varje vertex till motsatt sida, sett till vänster nedan. Sammanfoga punkterna där de räta vinklarna uppträder för att bilda en triangel, som ses till höger.

Denna inskrivna triangel är en periodisk biljardbana som kallas Fagnano-banan, uppkallad efter Giovanni Fagnano, som 1775 visade att denna triangel har den minsta omkretsen av alla inskrivna trianglar.

I början av 1990-talet, Fred Holt vid University of Washington och Gregory Galperin och hans medarbetare vid Moscow State University oberoende av visade att varje rätvinklig triangel har periodiska banor. Ett enkelt sätt att visa detta är att reflektera triangeln runt ett ben och sedan det andra, som visas nedan.

Börja med en bana som är i rät vinkel mot hypotenusan (triangelns långa sida). Hypotenusan och dess andra reflektion är parallella, så ett vinkelrät linjesegment som förenar dem motsvarar en bana som kommer att studsa fram och tillbaka för alltid: Bollen lämnar hypotenusan i rät vinkel, studsar av båda benen, återvänder till hypotenusan till höger vinkel och går sedan tillbaka sin rutt.

Men trubbiga trianglar förblir ett mysterium. I sin uppsats från 1992 kom Galperin och hans medarbetare på en mängd olika metoder för att reflektera trubbiga trianglar på ett sätt som låter dig skapa periodiska banor, men metoderna fungerade bara för vissa speciella fall. Sedan, 2008, Richard Schwartz vid Brown University visade att alla trubbiga trianglar med vinklar på 100 grader eller mindre innehålla en periodisk bana. Hans tillvägagångssätt innebar att dela upp problemet i flera fall och verifiera varje fall med hjälp av traditionell matematik och datorhjälp. 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore och George Tokarsky vid University of Alberta förlängt denna tröskel till 112.3 grader. (Tokarsky och Marinov hade tillbringat mer än ett decennium jagar detta mål.)

En topologisk vändning

Ett annat tillvägagångssätt har använts för att visa att om alla vinklar är rationella - det vill säga de kan uttryckas som bråk - måste trubbiga trianglar med ännu större vinklar ha periodiska banor. Istället för att bara kopiera en polygon på ett platt plan, mappar detta tillvägagångssätt kopior av polygoner på topologiska ytor, munkar med ett eller flera hål i dem.

Om du reflekterar en rektangel över dess kortsida och sedan reflekterar båda rektanglarna över deras längsta sida, gör fyra versioner av den ursprungliga rektangeln, och sedan limmar ihop toppen och botten och vänster och höger tillsammans, kommer du att ha gjort en munk, eller torus, som visas nedan. Biljardbanor på bordet motsvarar banor på torus och vice versa.

I en landmärke från 1986, Howard Masur använde denna teknik för att visa att alla polygonala tabeller med rationella vinklar har periodiska banor. Hans tillvägagångssätt fungerade inte bara för trubbiga trianglar, utan för mycket mer komplicerade former: oregelbundna 100-sidiga tabeller, säg, eller polygoner vars väggar zig och zag skapar skrymslen och vrår, har periodiska banor, så länge som vinklarna är rationella.

Något anmärkningsvärt, förekomsten av en periodisk bana i en polygon innebär att det finns oändligt många; en förskjutning av banan med bara en liten bit kommer att ge en familj av relaterade periodiska banor.

Belysningsproblemet

Former med skrymslen och vrår ger upphov till en relaterad fråga. I stället för att fråga om banor som återgår till sin utgångspunkt, frågar det här problemet om banor kan besöka varje punkt på ett givet bord. Detta kallas belysningsproblemet eftersom vi kan tänka på det genom att föreställa oss en laserstråle som reflekteras från spegelväggar som omsluter biljardbordet. Vi frågar om du, givet två punkter på ett visst bord, alltid kan lysa en laser (idealiserad som en oändligt tunn ljusstråle) från en punkt till en annan. För att uttrycka det på ett annat sätt, om vi placerade en glödlampa, som lyser åt alla håll samtidigt, någon gång på bordet, skulle den lysa upp hela rummet?

Det har funnits två huvudlinjer för forskning om problemet: att hitta former som inte kan belysas och att bevisa att stora klasser av former kan vara det. Medan att hitta udda former som inte kan belysas kan göras genom en smart tillämpning av enkel matematik, har det bara varit möjligt att bevisa att många former kan belysas med hjälp av tunga matematiska maskiner.

1958, Roger Penrose, en matematiker som fortsatte med att vinna 2020 Nobelpris i fysik, hittade en böjd tabell där någon punkt i en region inte kunde belysa någon punkt i en annan region. I decennier kunde ingen komma på en polygon som hade samma egenskap. Men 1995 använde Tokarsky ett enkelt faktum om trianglar för att skapa en blockaktig 26-sidig polygon med två punkter som är ömsesidigt otillgängliga, som visas nedan. Det vill säga att en laserstråle som skjuts från en punkt, oavsett dess riktning, inte kan träffa den andra punkten.

Nyckelidén som Tokarsky använde när han byggde sitt specialbord var att om en laserstråle startar i en av de spetsiga vinklarna i en 45°-45°-90° triangel, kan den aldrig återvända till det hörnet.

Hans taggiga bord är gjort av 29 sådana trianglar, arrangerade för att göra smart användning av detta faktum. År 2019 Amit Wolecki, då en doktorand vid Tel Aviv University, tillämpade samma teknik på skapa en form med 22 sidor (visas nedan), vilket han visade var minsta möjliga antal sidor för en form som hade två inre punkter som inte lyser upp varandra.

Att bevisa resultat åt andra hållet har varit mycket svårare. 2014 blev Maryam Mirzakhani, en matematiker vid Stanford University, den första kvinnan att vinna Fields-medaljen, matematikens mest prestigefyllda pris, för hennes arbete med Riemann-ytors modulutrymmen - en sorts generalisering av munkar som Masur använde för att visa att alla polygonala tabeller med rationella vinklar har periodiska banor. 2016, Samuel Lelièvre vid Paris-Saclay University, Thierry Monteil av det franska nationella centret för vetenskaplig forskning och Barak Weiss vid Tel Aviv University tillämpade ett antal av Mirzakhanis resultat att visa att vilken punkt som helst i en rationell polygon belyser alla punkter utom ändligt många. Det kan finnas isolerade mörka fläckar (som i Tokarskys och Woleckis exempel) men inga mörka områden som det finns i Penrose-exemplet, som har böjda väggar snarare än raka. I Woleckis artikel från 2019, stärkte han detta resultat genom att bevisa att det bara finns ändligt många par oupplysbara punkter.

Tyvärr, Mirzakhani dog 2017 vid 40 års ålder, efter en kamp med cancer. Hennes arbete verkade långt ifrån trickskott i biljardhallar. Och ändå visar en analys av biljardbanor hur även den mest abstrakta matematiken kan ansluta till världen vi lever i.