Några minuter in i ett föredrag 2018 vid University of Michigan, Ian Tobasco tog upp ett stort papper och skrynklade ihop det till en till synes oordnad boll av kaos. Han höll upp den så att publiken kunde se, klämde ihop den för gott mått och spred sedan ut den igen.
"Jag får en vild massa veck som dyker upp, och det är pusslet," sa han. "Vad väljer det här mönstret från ett annat, mer ordnat mönster?"
Han höll sedan upp ett andra stort papper - detta förvikt till ett berömt origamimönster av parallellogram som kallas Miura-ori - och tryckte det platt. Kraften han använde på varje pappersark var ungefär densamma, sa han, men resultatet kunde inte ha varit mer annorlunda. Miura-ori var prydligt indelad i geometriska regioner; den skrynkliga bollen var en röra av taggiga linjer.
"Du får en känsla av att det här," sa han och pekade på det utspridda arrangemanget av veck på det skrynkliga lakanet, "bara är en slumpmässig oordnad version av detta." Han antydde den prydliga, välordnade Miura-ori. "Men vi har inte satt fingret på om det är sant eller inte."
Att skapa den kopplingen skulle kräva inget mindre än att upprätta universella matematiska regler för elastiska mönster. Tobasco har arbetat med detta i flera år och studerat ekvationer som beskriver tunna elastiska material - saker som reagerar på en deformation genom att försöka fjädra tillbaka till sin ursprungliga form. Peta en ballong tillräckligt hårt och ett starburst-mönster av radiella rynkor bildas; ta bort fingret så slätas de ut igen. Krama en skrynklig boll av papper och den kommer att expandera när du släpper den (även om den inte kommer att skrynklas helt). Ingenjörer och fysiker har studerat hur dessa mönster uppstår under vissa omständigheter, men för en matematiker antyder dessa praktiska resultat en mer grundläggande fråga: Är det möjligt att i allmänhet förstå vad som väljer ett mönster snarare än ett annat?
I januari 2021 publicerade Tobasco ett papper som svarade jakande på den frågan - åtminstone i fallet med ett slätt, krökt, elastiskt ark pressat till planhet (en situation som erbjuder ett tydligt sätt att utforska frågan). Hans ekvationer förutsäger hur till synes slumpmässiga rynkor innehåller "ordnade" domäner, som har ett upprepande, identifierbart mönster. Och han var med och skrev en artikel, publicerad förra månaden, som visar en ny fysikalisk teori, grundad i rigorös matematik, som kan förutsäga mönster i realistiska scenarier.
Noterbart är att Tobascos arbete tyder på att rynkor, i dess många skepnader, kan ses som lösningen på ett geometriskt problem. "Det är ett vackert stycke matematisk analys," sa Stefan Müller vid universitetet i Bonn's Hausdorff Center for Mathematics i Tyskland.
Den presenterar elegant, för första gången, de matematiska reglerna - och en ny förståelse - bakom detta vanliga fenomen. "Mattens roll här var inte att bevisa en gissning som fysiker redan hade gjort," sa Robert Kohn, en matematiker vid New York Universitys Courant Institute och Tobascos rådgivare för forskarskolan, "men snarare för att tillhandahålla en teori där det tidigare inte fanns någon systematisk förståelse."
Sträcker ut
Målet med att utveckla en teori om rynkor och elastiska mönster är gammalt. År 1894, i en recension i Natur, påpekade matematikern George Greenhill skillnaden mellan teoretiker ("Vad ska vi tänka?") och de användbara tillämpningar de kunde ta reda på ("Vad ska vi göra?").
Under 19- och 20-talen gjorde forskare till stor del framsteg på det senare, och studerade problem som involverade rynkor i specifika föremål som håller på att deformeras. Tidiga exempel inkluderar problemet med att smida släta, böjda metallplattor för sjöfartsfartyg och att försöka koppla bildandet av berg till uppvärmningen av jordskorpan.
På senare tid har matematiker och fysiker utökat arbetet med att koppla teori och observation till ett brett spektrum av rynkliga situationer, geometrier och material. "Detta har pågått i ungefär de senaste 10 åren, där vi först gör experiment och sedan försöker hitta teorin för att förstå dem," sa matematikern Dominic Vella vid University of Oxford. "Det är först nyligen som vi har börjat få en ordentlig förståelse."
Det har varit spännande milstolpar. 2015, Pedro Reis, en maskiningenjör vid Massachusetts Institute of Technology, beskrivna fysiska lagar för de geometriska mönstren som bildas på tömda silikonkulor. Hans arbete kopplade dessa rynkor till tjockleken på de inre och yttre lagren av det elastiska materialet. Reis noterade också att rynkor, istället för att betraktas som defekter, kan erbjuda möjligheter att designa nya mekaniska beteenden. Sedan 2017, Vella ledde analysen av skrynkliga instabiliteter hos en tunn elastisk film under tryck, vilket kännetecknar hur antalet rynkor förändrades i enlighet med djupet av den första stickningen och andra specifika detaljer.
Men denna utveckling löste fortfarande bara delar av problemet. För en mer generell matematisk förståelse av hur rynkor bildas var ett annat tillvägagångssätt nödvändigt. Tobasco skulle vara den som flyttade det framåt.
Följer Curiosity
När han var yngre trodde Tobasco att han skulle gå in på flygteknik. Han tog examen från University of Michigan 2011 med en kandidatexamen inom området, men vid det laget hade han redan dragits in i att tänka djupt om matematiska resonemang och fysiska system. Han tog en doktorsexamen i matematik, men han skyller på Joey Paulsen, en fysiker nu vid Syracuse University, för att ha satt honom på rynkornas specifika väg.
Tidigare i Paulsens karriär, när han studerade egenskaperna hos ovanliga material, lärde han sig att tillverka och analysera ultratunna polymerfilmer med en teknik som kallas spinnbeläggning. Först skulle han skapa ett speciellt flytande material som innehöll spårmängder av löst polymer; sedan skulle han placera materialet på en snurrande tallrik. Det mesta av vätskan skulle avdunsta, medan polymeren spred sig till en jämn tjocklek innan den stelnade. När han väl hade sitt eget labb i Syracuse lärde sig Paulsen hur man anpassar spinnbeläggning för att skapa böjda filmer - som ultratunna sköldpaddsskal.
En dag placerade han några av dessa böjda filmer ovanpå stillastående vatten och fotograferade hur de lade sig på ytan. "Det var rent nyfikenhetsdrivet," sa han. Bilderna fångade Tobascos blick vid ett informellt möte med Paulsen 2017.
"De visade att du kunde få dessa slumpmässiga oordnade rynkmönster - när du gjorde experimentet två gånger fick du två olika mönster", säger Tobasco, som nu är biträdande professor vid University of Illinois, Chicago. "Jag ville se om jag kunde komma på något härledbart sätt [att förutsäga dessa mönster] från elasticitet, som inkorporerade formen på skalet. Och att modellen inte skulle förändras från skal till skal.”
Skrynkliga mönster är konfigurationer med minsta möjliga energi. Det vill säga, när den tunna filmen lägger sig på en plan yta, förvandlas den tills den hittar det arrangemang av rynkor, oordnat eller inte, som kräver minsta möjliga energi att upprätthålla. "Du kan organisera mönster efter mängden energi som lagras när [mönstret] manifesterar sig," sa Tobasco.
Ledd av den vägledande principen isolerade han några egenskaper hos filmen som visade sig vara de som väljer dess mönster, inklusive ett mått på dess form som kallas dess Gaussiska krökning. En yta med positiv Gaussisk krökning böjer sig bort från sig själv, som utsidan av en boll. Negativt böjda ytor, däremot, är sadelformade, som ett Pringles-chip: Går du åt ena hållet åker du uppåt, men går du åt ett annat håll går du ner.
Tobasco fann att områden med positiv Gaussisk krökning producerar ett slags arrangemang av ordnade och oordnade domäner, och områden med negativ krökning producerar andra typer. "Den detaljerade geometrin är inte så viktig," sa Vella. "Det beror egentligen bara på tecknet på den Gaussiska krökningen."
De hade misstänkt att Gaussisk krökning var viktig för rynkor, men Vella sa att det var en överraskning att domänerna var så starkt beroende av skylten. Dessutom gäller Tobascos teori även ett brett spektrum av elastiska material, inte bara Paulsens former. "Det är en snygg geometrisk konstruktion som visar var rynkor kommer att dyka upp," sa Vella. "Men att förstå var det kommer ifrån är verkligen djupt och är lite överraskande."
Paulsen höll med. "Vad Ians teori mycket vackert gör är att ge dig hela mönstret, på en gång."
Verkliga rynkor
I början av 2018 hade Tobasco sin teori mestadels avgjort - men även om den fungerade på papper, kunde han inte vara säker på att den skulle vara korrekt i den verkliga världen. Tobasco kontaktade Paulsen och frågade om han var intresserad av att samarbeta. "Något fungerade bara direkt," sa Paulsen. "Med några av Ians förutsägelser, lagt ovanpå experimentella bilder, kunde vi direkt se att de stod i linje."
Vid det årets Society for Industrial and Applied Mathematics-konferens om matematiska aspekter av materialvetenskap, introducerades Tobasco till Eleni Katifori, en fysiker vid University of Pennsylvania som undersökte problemet med rynkmönster i slutna skal och byggde en databas med resultat. Det var ett ögonblick av serendipity. "Vi kunde se domänerna [i simuleringarna] som Ians arbete förklarade," sa hon. Matchen var kuslig. Redan under deras första diskussioner stod det klart att Tobascos teori, Paulsens experimentella bilder och Katiforis simuleringar alla beskrev samma fenomen. "Även i de tidiga stadierna, när vi inte hade något konkret, kunde vi se sambandet."
Den tidiga upphetsningen gav snabbt upphov till skepsis. Det verkade nästan för bra för att vara sant. "Han är en matematiker och gör alla dessa saker icke-dimensionella," sade Paulsen, med hänvisning till hur Tobascos idéer om krökning kunde utvidgas långt bortom tvådimensionella platta material. "Ser vi verkligen på samma system? Det stämmer, men borde det ha stämt?”
Under de kommande två åren hasade de tre forskarna ut detaljerna, vilket visade att Tobascos teori verkligen förutspådde – exakt – arrangemanget av rynkor som Paulsen såg i sina experiment och Katifori hittade i sina datormodeller. Den 25 augusti publicerade de en tidning i Naturfysik visar hur de tre tillvägagångssätten alla konvergerar på samma, enkla geometriska arrangemang av rynkor. Noterbart fann de att mönstren faller in i snygga familjer av likbenta trianglar som avgränsade domäner av ordning och oordning. Dessutom är resultaten inte begränsade till matematiska abstraktioner av omöjligt tunna material utan adresserar flera storleksordningar av tjocklek.
Deras arbete föreslår också möjligheter att utöka teorin och dess tillämpningar. Katifori sa att hon som fysiker är intresserad av att utnyttja förutsägelserna för att designa nya material. "Jag vill förstå hur du kan designa ytor så att de faktiskt självorganiserar de skrynkliga mönstren till något du vill ha."
En annan öppen fråga är hur allmänt teorin kan tillämpas på olika typer av krökta ytor. "Det är mycket fokuserat på situationer där [Gaussisk krökning] är antingen positiv eller negativ, men det finns många situationer med vissa regioner som är positiva och några negativa," sa Vella.
Paulsen höll med om att detta är en spännande möjlighet, och Tobasco sa att han aktivt arbetar inom detta område och överväger andra former av skal - som de med hål.
Men Paulsen sa att teorin, även som den ser ut för närvarande, är vacker och överraskande. "Om jag ger dig ett skal och en gränsform och denna enkla uppsättning regler som Ians teori förutspådde, då kan du ta en kompass och linjal och i princip rita rynkorna," sa han. "Det skulle inte ha behövt bli så. Det kunde ha varit helt fruktansvärt."
