Teoretikern som ser matematik i konst, musik och skrivande | Quanta Magazine

Sarah Hart har alltid haft ett öga för de hemliga sätt som matematik genomsyrar andra områden. Som barn slogs hon av siffran 3 i sina sagor. Harts mamma, en matematiklärare, uppmuntrade hennes mönstersökande och gav henne mattepussel för att fördriva tiden.

Hart fortsatte med att doktorera i gruppteori 2000 och blev senare professor vid Birkbeck, University of London. Harts forskning undersökte strukturen hos Coxeter-grupper, mer allmänna versioner av strukturer som katalogiserar symmetrierna hos polygoner och prismor. 2023 publicerade hon Once Upon a Prime, en bok om hur matematik förekommer i skönlitteratur och poesi. "Eftersom vi människor är en del av universum är det bara naturligt att våra kreativa uttrycksformer, litteratur bland dem, också kommer att visa en benägenhet för mönster och struktur", skrev Hart. "Matematik är alltså nyckeln till ett helt annat perspektiv på litteratur."

Sedan 2020 har Hart varit professor i geometri vid Gresham College i London. Gresham har inga traditionella banor; i stället håller dess professorer flera offentliga föreläsningar per år. Hart är den första kvinnan som någonsin innehaft den 428-åriga positionen, som ockuperades på 17-talet av Isaac Barrow, känd för att ha undervisat en annan Isaac (Newton). På senare tid hölls det av Roger Penrose, en matematiker som vann Nobelpriset i fysik 2020. Hart pratade med Quanta om hur matematik och konst påverkar varandra. Intervjun har förtätats och redigerats för tydlighetens skull.

Varför valde du att skriva din bok om kopplingarna mellan matematik och litteratur?

Dessa länkar är mindre utforskade och mindre kända än de mellan matematik och till exempel musik. Kopplingarna mellan matematik och musik har hyllats sedan åtminstone så långt tillbaka som pytagoreerna. Men även om det har förekommit skrivande och akademisk forskning om specifika böcker, författare eller genrer, hade jag inte sett en bok för en allmän publik om de bredare kopplingarna mellan matematik och litteratur.

Hur ska folk inom konsten tänka om matematik?

Det finns mycket gemensam grund mellan matematik och, ska jag säga, de andra konsterna. Inom litteratur, såväl som musik och konst, börjar du aldrig med ingenting alls. Om du är poet väljer du: Kommer jag att ha en haiku med dess mycket exakta numeriska begränsningar, eller kommer jag att skriva en sonett som har ett visst antal rader, ett visst rimschema, en viss meter? Även något som inte har ett rimschema kommer att ha radbrytningar, en rytm. Det kommer att finnas begränsningar som inspirerar till kreativitet, som hjälper till att fokusera dig.

I matematik har vi samma sak. Vi har några grundregler. Inom det kan vi utforska, vi kan leka och vi kan bevisa teorem. Det matematik kan göra för konsten är att hjälpa till att hitta nya strukturer, visa vilka möjligheter som finns. Hur skulle ett musikstycke se ut som inte har en nyckelsignatur? Vi kan tänka på de 12 tonerna och ordna dem på olika sätt, och här är alla sätt du kan göra det på. Här finns olika färgscheman du kan tänka ut, här finns olika former av poetisk mätare.

Vad är ett exempel på hur matematik har påverkats av litteratur?

För tusentals år sedan i Indien försökte poeter tänka på möjliga mätare. I sanskritpoesi har du långa och korta stavelser. Lång är dubbelt så lång som kort. Om du vill räkna ut hur många det är som tar en tid på tre, kan du ha kort, kort, kort eller lång, kort eller kort, lång. Det finns tre sätt att göra tre. Det finns fem sätt att göra en längd-fyra-fras. Och det finns åtta sätt att göra en längd-fem-fras. Den här sekvensen du får är en där varje term är summan av de två föregående. Du återger exakt vad vi nuförtiden kallar Fibonacci-sekvensen. Men detta var århundraden före Fibonacci.

Hur är det med matematikens inflytande på litteraturen?

En ganska enkel sekvens, men den fungerar väldigt, väldigt kraftfullt, är Eleanor Cattons bok Armaturerna, som kom ut 2013. Hon använde sekvensen som går 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Varje kapitel i den boken är hälften så långt som det föregående. Det skapar denna riktigt fascinerande effekt, eftersom tempot ökar och karaktärernas val blir mer begränsade. Allt susar mot sitt slut. Mot slutet är kapitlen extremt korta.

Ett annat exempel på en lite mer komplicerad matematisk struktur är det som kallas ortogonala latinska kvadrater. En latinsk fyrkant är ungefär som ett sudoku-rutnät. I det här fallet skulle det vara ett 10-av-10-rutnät. Varje nummer visas exakt en gång i varje rad och i varje kolumn. Ortogonala latinska rutor bildas genom att lägga två latinska rutor över varandra så att det finns ett par siffror i varje utrymme. Rutnätet som bildas av det första talet i varje par är en latinsk kvadrat, och så är det rutnät som bildas av det andra numret i varje par. Dessutom, i rutnätet av par, visas inget par mer än en gång.

Dessa är mycket användbara på alla möjliga sätt. Du kan göra felkorrigerande koder av dem, vilket är användbart för att skicka meddelanden längs olika bullriga kanaler. Men en av de fantastiska sakerna med just dessa, storlek 10, är ​​att en av de största matematikerna genom tiderna, Leonhard Euler, trodde att de inte kunde existera. Det var en av de mycket få gånger han gjorde ett misstag; det var därför det var så spännande. En lång tid efter att han gjorde denna gissning att dessa saker inte kunde existera för speciella storlekar, motbevisades det, och rutor av denna storlek hittades 1959. Det var på täcka of Scientific American det året.

År efter det letade en fransk författare, Georges Perec, efter en struktur att använda för sin bok Liv: En användarmanual. Han valde en av dessa ortogonala latinska rutor. Han placerade sin bok i ett bostadshus i Paris, som hade 100 rum, en kvadrat på 10 gånger 10. Varje kapitel var i ett annat rum, och varje kapitel hade sin unika smak. Han hade listor med 10 saker - olika tyger, färger, sånt. Varje kapitel skulle använda en unik kombination. Det är ett riktigt fascinerande sätt att strukturera boken.

Du värdesätter tydligt bra skrivande. Vad tycker du om kvaliteten på att skriva i matematikforskningsuppsatser?

Det är väldigt varierande! Jag vet att vi uppskattar korthet, men jag tycker att det ibland tas för långt. Det finns för många tidningar som inte har några användbara exempel.

Vad vi faktiskt prissätter är ett genialt argument som, eftersom det täcker alla fall på en gång så smart, också är kortfattat och elegant. Det är inte samma sak som att pressa ner ditt långa argument på ett mindre utrymme än det behöver genom att täcka sidan med mystiska sigils som du har skapat för att göra notationen kortare, men som inte bara läsaren utan förmodligen du själv kommer att behöva packa upp mödosamt igen för att förstå vad som händer.

Vi tänker inte tillräckligt mycket på användbar notation som påminner läsaren om vad som menas. Rätt notation kan absolut förvandla ett stycke matematik och kan också ge utrymme för generaliseringar. Tänk på övergången, historiskt, från att skriva en okänd, dess kvadrat och dess kub med tre olika bokstäver, och hur mycket mer troligt, och till och med möjligt, det är att börja tänka på  när du har börjat skriva  och  istället.

Ser du utvecklingen i sambanden mellan matematik och konst?

Det kommer nya saker hela tiden. Fraktaler fanns överallt på 1990-talet. På varje studentrumsvägg fanns det en bild på Mandelbrot-setet eller något liknande. Alla var som, "Åh, det här är spännande, fraktaler." Du får till exempel musiker, kompositörer, som använder fraktalsekvenser i sina kompositioner.

När jag var ungefär 16, fanns det de här nya sakerna som kallas grafiska miniräknare. Väldigt spännande. Och en vän till min mamma gav mig det här programmet som kunde rita ett Mandelbrot-set på en av dessa små grafiska miniräknare. Den hade ungefär, jag vet inte, 200 pixlar. Du programmerar in den här saken och sedan fick jag lämna den i 12 timmar. Det skulle plotta dessa 200 poäng i slutet av det. Så till och med bara skolbarn kunde engagera sig i detta i slutet av 80-talet och början av 90-talet och producera dessa bilder för sig själva.

Även när du gick i skolan var du redan väldigt intresserad av hårdmatte, låter det som.

 Jag tror att jag har varit intresserad sedan innan jag ens visste att det betydde att jag var matematisk. Som, jag gjorde alltid mönster från när jag var ett litet, pyssligt barn.

När jag var ganska liten var min favoritleksak några väldigt enkla trämålade plattor. De kom i alla olika färger. Jag skulle göra dem till mönster, och sedan tittade jag stolt på det i en dag eller så, och sedan skulle jag göra ett till.

När jag blev lite äldre lekte jag med siffror och tittade på mönster. Mamma skulle vara den jag skulle gå till och säga: "Jag är uttråkad." Och sedan sa hon, "Nå, kan du räkna ut vad mönstret är av antalet punkter du behöver för att göra en triangel?" eller vad det nu var. Hon ville att jag skulle återupptäcka de triangulära siffrorna eller något, och jag skulle bli väldigt exalterad.

Min stackars mamma, antalet fantastiska uppfinningar som jag skulle gå till min mamma med. "Jag har utvecklat ett helt nytt sätt att göra något!" Och hon sa: "OK, det är väldigt trevligt. Men du vet, Descartes tänkte på det för flera hundra år sedan.” Och sedan skulle jag iväg; Jag kom på en annan fantastisk idé några dagar senare. "Det är härligt, kära du. Men det hade de gamla grekerna."

Kommer du ihåg några särskilt tillfredsställande ögonblick från din matteforskarkarriär?

De ögonblick då du äntligen förstår vad mönstret är som du ser är alltid tillfredsställande, såväl som när du räknar ut hur du ska slutföra ett bevis som du har brottats med. Mina starkaste minnen av dessa känslor av glädje, förmodligen för att det var de första gångerna jag kände dem, är från början av min forskarkarriär. Men det är fortfarande en härlig känsla att få det där "aha", när man äntligen förstår vad som händer.

Mycket tidigt försökte jag bevisa något om oändliga Coxeter-grupper. Jag hade löst några av fallen, och när jag tittade på resten kom jag på en teknik som skulle fungera om ett specifikt kriterium var uppfyllt. Du kan skriva dessa samband i en graf, så jag började sätta ihop en samling av graferna som min teknik kunde tillämpas på. Detta var över jul ett år.

Efter ett tag började min uppsättning bilder att se ut som en speciell uppsättning grafer som fanns listade i en bok om Coxeter-grupper som fanns på mitt kontor, och jag började hoppas att det var just den här uppsättningen grafer. Om det var så skulle det fylla i hålet i mitt bevis och min sats skulle vara klar. Men jag kunde inte kontrollera säkert förrän jag kom tillbaka till universitetet efter jul – det här var innan man bara kunde googla allt. Jag tror att förväntan på att behöva vänta för att bekräfta min aning gjorde det ännu bättre när jag kom till boken och jämförde mina handskrivna diagram med de i boken, och de passade verkligen ihop.

Vad tycker du om frågan om matematik skapas eller upptäcks? Nästan ingen skulle hävda att någon av romanförfattarna du skriver om i din bok "upptäckte" sina romaner. Är detta en grundläggande skillnad mellan matematik och litteratur eller inte?

Det är det förmodligen, även om det fortfarande finns några resonanser.

Att göra matematik känns som upptäckt. Om vi ​​uppfann matematiken skulle det verkligen inte vara så svårt att bevisa saker! Ibland vill vi desperat att något ska vara sant, och det är det inte. Vi kan inte undvika konsekvenserna av logik, antar jag.

Det hela känns som upptäckt när man gör det. Vissa val speglar vad vi upplever i den verkliga världen, som geometrins axiom vi arbetar med, som är valda för att det verkar vara ungefär hur verkligheten ser ut - även om det inte ens där finns något sådant som en "punkt" eller en " linje” (eftersom vi inte kan rita något som inte tar någon plats, och en linje i geometri har ingen bredd och sträcker sig oändligt långt).

Till viss del finns det paralleller till detta kontinuum i litteraturen. När du väl har definierat reglerna för en sonett kommer du att få svårt att skriva en vars första rad slutar med "orange" eller "skorsten".

Men jag kan inte motstå att dela något J.R.R. Tolkien sa om skrivandet Hobbiten: ”Allt började när jag läste tentamen för att tjäna lite extra pengar. … Tja, en dag kom jag till en tom sida i en examensbok och jag klottrade på den. ’I ett hål i marken bodde en hobbit.’ Jag visste inte mer om varelserna än så, och det dröjde år innan hans berättelse växte. Jag vet inte var ordet kom ifrån."

Hobbitar – skapade han dem eller upptäckte han dem?