1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Barcelona Institute of Science and Technology, 08860 Castelldefels, Spanien
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelona, Spanien
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, Frankrike
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcelona, Spanien
Hitta det här uppsatsen intressant eller vill diskutera? Scite eller lämna en kommentar på SciRate.
Abstrakt
Ömsesidigt opartiska baser motsvarar mycket användbara par av mätningar i kvantinformationsteori. I den minsta sammansatta dimensionen, sex, är det känt att det finns mellan tre och sju ömsesidigt opartiska baser, med en decennier gammal gissning, känd som Zauners gissning, som säger att det finns högst tre. Här tacklar vi Zauners gissningar numeriskt genom konstruktionen av Bell-olikheter för varje par av heltal $n,d ge 2$ som maximalt kan kränkas i dimension $d$ om och endast om $n$ MUB finns i den dimensionen. Därför förvandlar vi Zauners gissning till ett optimeringsproblem, som vi tar itu med med hjälp av tre numeriska metoder: gungsågsoptimering, icke-linjär halvdefinitiv programmering och Monte Carlo-tekniker. Alla tre metoderna identifierar korrekt de kända fallen i låga dimensioner och alla tyder på att det inte finns fyra ömsesidigt opartiska baser i dimension sex, där alla hittar samma baser som numeriskt optimerar motsvarande Bell-olikhet. Dessutom tycks dessa numeriska optimerare sammanfalla med de "fyra mest avlägsna baserna" i dimension sex, hittade genom numeriskt optimering av ett avståndsmått i [P. Raynal, X. Lu, B.-G. Englert, {fys. Rev. A}, { 83} 062303 (2011)]. Slutligen antyder Monte Carlo-resultaten att högst tre MUB finns i dimension tio.
Utvald bild: Den relativa skillnaden mellan värdet av våra Bell-ojämlikheter om vi antar att n MUB finns i dimension d och värdet som hittas med våra numeriska metoder. Nollvärden betyder att metoderna hittade n MUB i dimension d, medan icke-nollvärden betyder att metoderna inte hittade n MUB i dimension d. Alla kända fall (dimensioner två till fem och dimension sex med två och tre MUB) är korrekt identifierade av siffrorna. I dimension sex hittar ingen av metoderna fyra MUB, och alla metoder konvergerar till samma uppsättning av fyra baser.
Populär sammanfattning
Trots deras breda användning finns det fortfarande öppna frågor angående strukturen för MUB. Mest framträdande är att det maximala antalet mätningar som är parvis opartiska ("antalet MUBs") är okänt om dimensionen av kvantsystemet är ett sammansatt antal. I synnerhet i dimension sex vet vi bara att antalet MUB är mellan tre och sju. En långvarig öppen gissning är Zauners, som säger att det inte finns fler än tre MUB i dimension sex. Denna decennier långa gissning stöds av vissa numeriska bevis, men det finns inga bevis till denna dag.
I detta arbete tar vi oss an Zauners gissningar genom Bells icke-lokalitet. Bell icke-lokalitet berör två försöksledare som inte får kommunicera, men som kan dela vissa korrelationer i form av klassisk slumpmässighet eller ett delat kvanttillstånd. Det har visat sig att delning av kvantresurser kan leda till experimentella data som inte kan förklaras av klassisk fysik (närmare bestämt med så kallade lokala dolda variabelmodeller). Detta är känt som Bells teorem, och det har verifierats experimentellt under det senaste decenniet. Att bevittna det icke-klassiska hos experimentella data görs oftast via så kallade Bell-ojämlikheter, som är funktioner av de sannolikheter för mätresultat som inträffar i experimentet. Klassisk data måste uppfylla Bell-ojämlikheter, medan kvantdata kan bryta mot dem.
Nyligen har Bell-ojämlikheter hittats som maximalt kränks om en av parterna använder ett par MUB-mått av en given dimension. I detta arbete utökar vi dessa ojämlikheter till nya, maximalt kränkta av ett utvalt antal MUB-mätningar i en given dimension. Dessutom, om dimensionen i experimentet är fast, erhålls den maximala överträdelsen om och endast om de använda måtten motsvarar det valda antalet MUB i den givna dimensionen. Att besluta om ett utvalt antal MUB finns i en given dimension är därför ekvivalent med att hitta den maximala kränkningen av motsvarande Bell-olikhet i denna fasta dimension.
Även om det i allmänhet är ett svårt problem att hitta denna maximala kränkning, använder vi tre olika numeriska metoder som ett försök att hitta den maximala kränkningen av våra Bell-ojämlikheter i en fast dimension. Två av dessa metoder är varianter av semidefinite programmeringstekniker, medan den tredje är inspirerad av statistisk fysik och kallas simulerad glödgning. Även om alla dessa metoder är heuristiska – det vill säga det finns ingen garanti för att de kommer att hitta problemets verkliga optimum – kan man mäta deras prestanda genom att tillämpa dem på optimeringsproblem vars optimum är känt. I synnerhet finner vi att alla de tre metoderna korrekt kan identifiera MUB-mätningar i de fall de är kända för att existera. Dessutom, i de fall där de är kända för att inte existera, konvergerar alla tre metoderna till samma uppsättning mätningar upp till numerisk precision. Vi tillämpar sedan våra metoder på det första okända fallet, det vill säga fyra MUB i dimension sex. Ingen av metoderna kan identifiera fyra MUB i dimension sex, men återigen konvergerar de alla till samma uppsättning av fyra mätningar upp till numerisk precision. Dessutom hittar den simulerade glödgningstekniken inte fyra MUB i nästa sammansatta dimension, dimension tio. Därför, även om rigorösa påståenden inte kan göras på grund av den heuristiska naturen hos våra tekniker, stödjer våra resultat Zauners gissningar från det nya perspektivet om Bells icke-lokalitet.
► BibTeX-data
► Referenser
[1] ID Ivanovic. Geometrisk beskrivning av kvantaltillståndsbestämning. Journal of Physics A: Mathematical and General, 14(12):3241–3245, 1981. doi:10.1088/0305-4470/14/12/019.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/12/019
[2] G. Brassard CH Bennett. Kvantkryptografi: Offentlig nyckeldistribution och myntkastning. Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing (IEEE, 1984), 175:8, 1984. doi:10.1016/j.tcs.2011.08.039.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.tcs.2011.08.039
[3] Artur K. Ekert. Kvantkryptografi baserad på Bells teorem. Phys. Rev. Lett., 67:661–663, 1991. doi:10.1103/PhysRevLett.67.661.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.67.661
[4] Dagmar Bruß. Optimal avlyssning i kvantkryptografi med sex tillstånd. Phys. Rev. Lett., 81:3018–3021, 1998. doi:10.1103/PhysRevLett.81.3018.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.81.3018
[5] Armin Tavakoli, Alley Hameedi, Breno Marques och Mohamed Bourennane. Quantum random access-koder med enstaka $d$-nivåsystem. Phys. Rev. Lett., 114:170502, 2015. doi:10.1103/PhysRevLett.114.170502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.170502
[6] Máté Farkas och Jędrzej Kaniewski. Självtestning av ömsesidigt opartiska baser i förbered-och-mät-scenariot. Phys. Rev. A, 99:032316, 2019. doi:10.1103/PhysRevA.99.032316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.032316
[7] H. Bechmann-Pasquinucci och N. Gisin. Bellolikhet för qunits med binära mätningar. Kvantinformation. Comput., 3(2):157–164, 2003. doi:10.26421/QIC3.2-6.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC3.2-6
[8] Jędrzej Kaniewski, Ivan Šupić, Jordi Tura, Flavio Baccari, Alexia Salavrakos och Remigiusz Augusiak. Maximal icke-lokalitet från maximal intrassling och ömsesidigt opartiska baser, och självtestning av två-kvantum-kvantsystem. Quantum, 3:198, 2019. doi:10.22331/q-2019-10-24-198.
https://doi.org/10.22331/q-2019-10-24-198
[9] Armin Tavakoli, Máté Farkas, Denis Rosset, Jean-Daniel Bancal och Jędrzej Kaniewski. Ömsesidigt opartiska baser och symmetriska informationsmässigt kompletta mätningar i Bell-experiment. Science Advances, 7(7):eabc3847, 2021. doi:10.1126/sciadv.abc3847.
https:///doi.org/10.1126/sciadv.abc3847
[10] Thomas Durt, Berthold-Georg Englert, Ingemar Bengtsson och Karol Życzkowski. På ömsesidigt opartisk bas. International Journal of Quantum Information, 08(04):535–640, 2010. doi:10.1142/S0219749910006502.
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749910006502
[11] William K Wootters och Brian D Fields. Optimal tillståndsbestämning genom ömsesidigt opartiska mätningar. Annals of Physics, 191(2):363–381, 1989. doi:10.1016/0003-4916(89)90322-9.
https://doi.org/10.1016/0003-4916(89)90322-9
[12] Paweł Wocjan och Thomas Beth. Nykonstruktion av ömsesidigt opartiska baser i kvadratiska dimensioner. Kvantinformation. Comput., 5(2):93–101, 2005. doi:10.26421/QIC5.2-1.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC5.2-1
[13] Mihály Weiner. Ett gap för det maximala antalet ömsesidigt opartiska baser. Proc. Amer. Matematik. Soc., 141:1963–1969, 2013. doi:10.1090/S0002-9939-2013-11487-5.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11487-5
[14] Gerhard Zauner. Quantendesigns: Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Doktorsavhandling, 1999.
[15] P. Oscar Boykin, Meera Sitharam, Pham Huu Tiep och Pawel Wocjan. Ömsesidigt opartiska baser och ortogonala uppdelningar av Lie-algebror. Kvantinformation. Comput., 7(4):371–382, 2007. doi:10.26421/QIC7.4-6.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC7.4-6
[16] Stephen Brierley och Stefan Weigert. Konstruera ömsesidigt opartiska baser i dimension sex. Phys. Rev. A, 79:052316, 2009. doi:10.1103/PhysRevA.79.052316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.052316
[17] Philippe Jaming, Máté Matolcsi, Péter Móra, Ferenc Szöllősi och Mihály Weiner. Ett generaliserat Pauli-problem och en oändlig familj av MUB-tripletter i dimension 6. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 42(24):245305, maj 2009. doi:10.1088/1751-8113/42/24/ 245305.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/24/245305
[18] Gary McConnell, Harry Spencer och Afaq Tahir. Bevis för och emot Zauners MUB-förmodan i $mathbb{C}^6$. 2021. doi:10.48550/arXiv.2103.08703.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2103.08703
[19] Sander Gribling och Sven Polak. Ömsesidigt opartiska baser: polynomoptimering och symmetri. 2021. doi:10.48550/arXiv.2111.05698.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2111.05698
[20] Ingemar Bengtsson, Wojciech Bruzda, Åsa Ericsson, Jan-Åke Larsson, Wojciech Tadej och Karol Życzkowski. Ömsesidigt opartiska baser och Hadamard-matriser av ordning sex. Journal of Mathematical Physics, 48(5):052106, 2007. doi:10.1063/1.2716990.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2716990
[21] Philippe Raynal, Xin Lü och Berthold-Georg Englert. Ömsesidigt opartiska baser i sex dimensioner: De fyra mest avlägsna baserna. Phys. Rev. A, 83:062303, 2011. doi:10.1103/PhysRevA.83.062303.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.83.062303
[22] Edgar A. Aguilar, Jakub J. Borkała, Piotr Mironowicz och Marcin Pawłowski. Kopplingar mellan ömsesidigt opartiska baser och slumpmässiga kvantkoder. Phys. Rev. Lett., 121:050501, 2018. doi:10.1103/PhysRevLett.121.050501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.050501
[23] Nicolas Brunner, Daniel Cavalcanti, Stefano Pironio, Valerio Scarani och Stephanie Wehner. Bell nonlocality. Rev. mod. Phys., 86: 419–478, 2014. doi: 10.1103 / RevModPhys.86.419.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.419
[24] MOSEK ApS. MOSEK Fusion API för C++ 9.2.49, 2021. URL: https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html.
https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html
[25] Hiroshi Yamashita, Hiroshi Yabe och Kouhei Harada. En primal–dubbel inre punktmetod för ickelinjär semidefinite programmering. Matematisk programmering, 135(1):89–121, 2012. doi:10.1007/s10107-011-0449-z.
https: / / doi.org/ 10.1007 / s10107-011-0449-z
[26] Stephen Boyd och Lieven Vandenberghe. Konvex optimering. Cambridge University Press, 2004. doi: 10.1017 / CBO9780511804441.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441
[27] S. Kirkpatrick, CD Gelatt och MP Vecchi. Optimering genom simulerad glödgning. Science, 220(4598):671–680, 1983. doi:10.1126/science.220.4598.671.
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.220.4598.671
[28] Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller och Edward Teller. Ekvation av tillståndsberäkningar av snabba beräkningsmaskiner. The Journal of Chemical Physics, 21(6):1087–1092, 1953. doi:10.1063/1.1699114.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1699114
[29] Miguel Navascués, Stefano Pironio och Antonio Acín. Begränsa mängden kvantkorrelationer. Phys. Rev. Lett., 98:010401, 2007. doi:10.1103/PhysRevLett.98.010401.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.010401
Citerad av
Detta papper publiceras i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) licens. Upphovsrätten kvarstår med de ursprungliga upphovsrättsinnehavarna som författarna eller deras institutioner.
