Beskrivning
2012 hävdade matematikern Shinichi Mochizuki att han hade löst problemet ABC gissningar, en stor öppen fråga inom talteorin om sambandet mellan addition och multiplikation. Det fanns bara ett problem: hans bevis, som var mer än 500 sidor långt, var helt ogenomträngligt. Den förlitade sig på ett snärt av nya definitioner, notationer och teorier som nästan alla matematiker fann omöjliga att förstå. År senare, när två matematiker översatte stora delar av beviset till mer bekanta termer, pekade de på vad man kallade en "allvarlig, oåtgärdbar lucka” i sin logik — bara för Mochizuki att förkasta deras argument på grundval av att de helt enkelt inte hade förståt hans arbete.
Händelsen väcker en grundläggande fråga: Vad är ett matematiskt bevis? Vi tenderar att tänka på det som en uppenbarelse av någon evig sanning, men kanske är det bättre att förstå som något av en social konstruktion.
Andrew Granville, en matematiker vid University of Montreal, har funderat mycket på det nyligen. Efter att ha blivit kontaktad av en filosof om en del av hans författarskap, "måste jag tänka på hur vi kommer fram till våra sanningar", sa han. "Och när du väl börjar trycka på den där dörren, upptäcker du att det är ett stort ämne."
Granville tyckte om aritmetik från en tidig ålder, men han övervägde aldrig en karriär inom matematikforskning eftersom han inte visste att något sådant existerade. "Min pappa lämnade skolan vid 14, min mamma vid 15 eller 16," sa han. "De föddes i det som då var arbetarklassområdet i London, och universitetet var precis bortom vad de såg som möjligt. Så vi hade ingen aning."
Efter examen från University of Cambridge, där han studerade matematik, började han anpassa sig Rachel Papers, en roman av Martin Amis, till ett manus. Medan han arbetade på och sökte finansiering för projektet ville han undvika att ta ett skrivbordsjobb - han hade arbetat på ett försäkringsbolag under ett mellanår mellan gymnasiet och college och ville inte återvända till det - "så jag gick till gymnasiet, sa han. Filmen kom aldrig igång (romanen gjordes senare självständigt till en film), men Granville tog en magisterexamen i matematik och flyttade sedan till Kanada för att avsluta sin doktorsexamen. Han såg sig aldrig tillbaka.
Beskrivning
"Det var verkligen ett äventyr", sa han. "Jag förväntade mig inte så mycket. Jag visste inte riktigt vad en Ph.D. var.”
Under decennierna sedan har han skrivit mer än 175 artiklar, mestadels i talteori. Han har också blivit känd för att skriva om matematik för en populär publik: 2019 var han medförfattare till en grafisk roman om primtal och relaterade begrepp med sin äldre syster, Jennifer, en manusförfattare. Förra månaden var en av hans tidningar om "hur vi kommer fram till våra sanningar". publicerade i Annals of Mathematics and Philosophy. Och tillsammans med andra matematiker, datavetare och filosofer planerar han att publicera en samling artiklar i nästa års Bulletin från American Mathematical Society om hur maskiner kan förändra matematiken.
Quanta pratade med Granville om karaktären av matematiska bevis - från hur bevis fungerar i praktiken till populära missuppfattningar om dem, till hur korrekturskrivning kan utvecklas i artificiell intelligenss tid. Intervjun har redigerats och komprimerats för tydlighetens skull.
Du publicerade nyligen en artikel om matematiska bevis. Varför bestämde du dig för att det här var viktigt att skriva om?
Hur matematiker går till väga för forskning skildras i allmänhet inte bra i populära medier. Människor tenderar att se matematik som detta rena uppdrag, där vi bara kommer fram till stora sanningar genom ren tanke. Men matematik handlar om gissningar - ofta felaktiga gissningar. Det är en experimentell process. Vi lär oss i etapper.
Till exempel, när Riemann-hypotesen först dök upp i en tidning 1859, var det som magi: Här är denna fantastiska gissning, från ingenstans. I 70 år pratade man om vad en stor tänkare kan göra med enbart ren tanke. Då hittade matematikern Carl Siegel Riemanns skraplappar i Göttingens arkiv. Riemann hade faktiskt gjort sidor med beräkningar av nollor i Riemanns zeta-funktion. Siegels berömda ord var: "Så mycket för ren tanke ensam."
Så det finns den här spänningen i sättet som människor skriver om matematik - vissa filosofer och historiker i synnerhet. De verkar tro att vi är en ren magisk varelse, någon vetenskapens enhörning. Men det är vi inte, vanligtvis. Det är sällan ren tanke ensam.
Beskrivning
Hur skulle du karakterisera vad matematiker gör?
Matematikens kultur handlar om bevis. Vi sitter och tänker, och 95 % av det vi gör är bevis. Mycket av den förståelse vi får kommer från att kämpa med bevis och tolka de frågor som dyker upp när vi kämpar med dem.
Vi tänker ofta på ett bevis som ett matematiskt argument. Genom en serie logiska steg visar den att ett givet påstående är sant. Men du skriver att detta inte ska förväxlas med ren, objektiv sanning. Vad menar du med det?
Huvudpoängen med ett bevis är att övertyga läsaren om sanningen i ett påstående. Det betyder att verifiering är nyckeln. Det bästa verifieringssystemet vi har inom matematik är att många tittar på ett bevis ur olika perspektiv, och det passar bra i ett sammanhang som de känner till och tror på. I någon mening säger vi inte att vi vet att det är sant. Vi säger att vi hoppas att det är korrekt, eftersom många människor har provat det från olika perspektiv. Bevis accepteras av dessa gemenskapsstandarder.
Sedan finns det den här föreställningen om objektivitet - att vara säker på att det som påstås är rätt, att känna att du har en yttersta sanning. Men hur kan vi veta att vi är objektiva? Det är svårt att ta dig själv ur det sammanhang där du har gjort ett uttalande - att ha ett perspektiv utanför det paradigm som har satts på plats av samhället. Detta är lika sant för vetenskapliga idéer som för allt annat.
Man kan också fråga sig vad som är objektivt intressant eller viktigt i matematik. Men detta är också klart subjektivt. Varför anser vi att Shakespeare är en bra författare? Shakespeare var inte lika populär på sin egen tid som han är idag. Det finns uppenbarligen sociala konventioner kring vad som är intressant, vad som är viktigt. Och det beror på det nuvarande paradigmet.
Beskrivning
Hur ser det ut i matematik?
Ett av de mest kända exemplen på en förändring i paradigm är kalkyl. När kalkylen uppfanns innebar det att dividera något som går mot noll med något annat som går mot noll - vilket leder till noll dividerat med noll, vilket inte har någon betydelse. Till en början kom Newton och Leibniz på föremål som kallas infinitesimals. Det fick deras ekvationer att fungera, men med dagens standarder var det inte vettigt eller rigoröst.
Vi har nu epsilon-delta-formuleringen, som introducerades i slutet av 19-talet. Den här moderna formuleringen är så häpnadsväckande, uppenbarligen bra för att få de här begreppen rätt att när du tittar på de gamla formuleringarna, tänker du, vad tänkte de på? Men på den tiden ansågs det vara det enda sättet du kunde göra det på. För att vara rättvis mot Leibniz och Newton skulle de förmodligen ha älskat det moderna sättet. De tänkte inte på att göra det på grund av deras tids paradigm. Så det tog bara fruktansvärt lång tid att komma dit.
Problemet är att vi inte vet när vi beter oss så. Vi är fångade i det samhälle vi befinner oss i. Vi har inget yttre perspektiv för att säga vilka antaganden vi gör. En av farorna med matematik är att du kan uppfatta något som inte viktigt eftersom det inte är lätt att uttrycka eller diskutera på det språk du har valt att använda. Det betyder inte att du har rätt.
Jag gillar verkligen det här citatet av Descartes, där han i huvudsak säger: "Jag tror att jag vet allt som finns att veta om en triangel, men vem ska säga att jag gör det? Jag menar, någon i framtiden kan komma med ett radikalt annat perspektiv, vilket leder till ett mycket bättre sätt att tänka på en triangel.” Och jag tror att han har rätt. Det ser man i matematik.
Som du skrev i din uppsats kan du tänka på ett bevis som en social kompakt — ett slags ömsesidigt avtal mellan författaren och deras matematiska gemenskap. Vi har sett ett extremt exempel på att detta inte fungerar, med Mochizukis påstådda bevis på ABC gissa.
Det är extremt, eftersom Mochizuki inte ville spela spelet på det sätt som det spelas. Han har gjort detta val för att vara obskyr. När människor gör stora genombrott, med riktigt nya och svåra idéer, känner jag att det är deras skyldighet att försöka inkludera andra människor genom att förklara sina idéer på ett så lättillgängligt sätt som möjligt. Och han var mer som, ja, om du inte vill läsa det som jag skrev det, det är inte mitt problem. Han har rätt att spela det spel han vill spela. Men det har inget med gemenskap att göra. Det har ingenting att göra med hur vi gör framsteg.
Beskrivning
Om bevis finns i ett socialt sammanhang, hur har de förändrats över tid?
Allt börjar med Aristoteles. Han sa att det måste finnas något slags deduktivt system - att du bara kan bevisa nya saker genom att basera dem på saker du redan vet och är säker på, gå tillbaka till vissa "primitiva uttalanden" eller axiom.
Så då är frågan: Vilka är de grundläggande sakerna som du vet är sanna? Under mycket lång tid sa folk bara, ja, en linje är en linje, en cirkel är en cirkel; det finns några saker som är enkla och självklara, och det borde vara de antaganden vi utgår ifrån.
Det perspektivet har varat för evigt. Det finns fortfarande kvar idag i stor utsträckning. Men det euklidiska axiomatiska systemet som utvecklades - "en linje är en linje" - hade sina problem. Det fanns dessa paradoxer som Bertrand Russell upptäckte baserat på föreställningen om en uppsättning. Dessutom kunde man spela ordlekar med det matematiska språket, skapa problematiska påståenden som "det här påståendet är falskt" (om det är sant så är det falskt; om det är falskt så är det sant) som indikerade att det fanns problem med det axiomatiska systemet.
Så Russell och Alfred Whitehead försökte skapa ett nytt system för att göra matematik som kunde undvika alla dessa problem. Men det var löjligt komplicerat, och det var svårt att tro att det var de rätta primitiverna att utgå ifrån. Ingen var bekväm med det. Något som att bevisa 2 + 2 = 4 tog mycket utrymme från startpunkten. Vad är poängen med ett sådant system?
Sedan kom David Hilbert och fick den här fantastiska idén: att vi kanske inte alls borde berätta för någon vad som är rätt att börja med. Istället är allt som fungerar – en utgångspunkt som är enkel, sammanhängande och konsekvent – värt att utforska. Du kan inte härleda två saker från dina axiom som motsäger varandra, och du bör kunna beskriva det mesta av matematiken i termer av de valda axiomen. Men du ska inte på förhand säga vad de är.
Även detta tycks passa in i vår tidigare diskussion om objektiv sanning i matematik. Så vid 20-talets början insåg matematiker att det kunde finnas ett flertal axiomatiska system - att en given uppsättning axiom inte borde tas som en universell eller självklar sanning?
Höger. Och jag borde säga, Hilbert började inte göra det här av abstrakta skäl. Han var mycket intresserad av olika föreställningar om geometri: icke-euklidisk geometri. Det var väldigt kontroversiellt. Folk vid den tiden tyckte, om du ger mig den här definitionen av en linje som går runt hörnen på en låda, varför i hela friden skulle jag lyssna på dig? Och Hilbert sa att om han kunde göra det sammanhängande och konsekvent, borde du lyssna, för det här kan vara en annan geometri som vi behöver förstå. Och denna ändring i synsätt – att du kan tillåta vilket axiomatiskt system som helst – gällde inte bara geometri; det gällde all matematik.
Men visst är vissa saker mer användbara än andra. Så de flesta av oss arbetar med samma 10 axiom, ett system som kallas ZFC.
Vilket leder till frågan om vad som kan och inte kan härledas ur det. Det finns påståenden, som kontinuumhypotesen, som inte kan bevisas med ZFC. Det måste finnas ett 11:e axiom. Och du kan lösa det på båda sätt, eftersom du kan välja ditt axiomatiska system. Det är ganska coolt. Vi fortsätter med den här sortens mångfald. Det är inte klart vad som är rätt, vad som är fel. Enligt Kurt Gödel behöver vi fortfarande göra val utifrån smak, och vi har förhoppningsvis god smak. Vi borde göra saker som är vettiga. Och det gör vi.
På tal om Gödel så spelar han en ganska stor roll även här.
För att diskutera matematik behöver du ett språk och en uppsättning regler att följa på det språket. På 1930-talet bevisade Gödel att oavsett hur du väljer ditt språk så finns det alltid påståenden på det språket som är sanna men som inte kan bevisas utifrån dina utgångsaxiom. Det är faktiskt mer komplicerat än så, men ändå har du det här filosofiska dilemmat direkt: Vad är ett sant uttalande om du inte kan motivera det? Det är galet.
Så det är en stor röra. Vi är begränsade i vad vi kan göra.
Professionella matematiker ignorerar detta till stor del. Vi fokuserar på vad som är genomförbart. Som Peter Sarnak gillar att säga, "Vi är arbetande människor." Vi går vidare och försöker bevisa vad vi kan.
Beskrivning
Nu, med användningen av inte bara datorer utan även AI, hur förändras uppfattningen om bevis?
Vi har flyttat till en annan plats, där datorer kan göra vilda saker. Nu säger folk, åh, vi har den här datorn, den kan göra saker som folk inte kan. Men kan det? Kan den verkligen göra saker som människor inte kan? Redan på 1950-talet sa Alan Turing att en dator är designad för att göra vad människor kan göra, bara snabbare. Inte mycket har förändrats.
I decennier har matematiker använt datorer - för att göra beräkningar som kan hjälpa till att vägleda deras förståelse, till exempel. Vad AI kan göra som är nytt är att verifiera vad vi tror är sant. Några fantastiska utvecklingar har hänt med bevisverifiering. Som [korrekturassistenten] Lean, som har gjort det möjligt för matematiker att verifiera många bevis, samtidigt som de hjälper författarna att bättre förstå sitt eget arbete, eftersom de måste bryta ner några av sina idéer i enklare steg för att mata in Lean för verifiering.
Men är detta idiotsäkert? Är ett bevis ett bevis bara för att Lean håller med om att det är ett? På vissa sätt är det lika bra som personerna som omvandlar bevisen till input för Lean. Vilket låter väldigt som hur vi gör traditionell matematik. Så jag säger inte att jag tror att något som Lean kommer att göra många fel. Jag är bara inte säker på att det är säkrare än det mesta som görs av människor.
Jag är rädd att jag har mycket skepsis till datorernas roll. De kan vara ett mycket värdefullt verktyg för att få saker rätt - särskilt för att verifiera matematik som vilar mycket på nya definitioner som inte är lätta att analysera vid första anblicken. Det finns ingen diskussion om att det är bra att ha nya perspektiv, nya verktyg och ny teknik i vårt vapenhus. Men det jag drar mig för är konceptet att vi nu kommer att ha perfekta logiska maskiner som producerar korrekta satser.
Du måste erkänna att vi inte kan vara säkra på att saker och ting är korrekta med datorer. Vår framtid måste förlita sig på den känsla av gemenskap som vi har förlitat oss på genom hela vetenskapens historia: att vi studsar saker från varandra. Att vi pratar med människor som ser på samma sak från ett helt annat perspektiv. Och så vidare.
Men vart ser du det här på väg i framtiden, när dessa tekniker blir mer sofistikerade?
Kanske kan det hjälpa till att skapa ett bevis. Om fem år kanske jag kommer att säga till en AI-modell som ChatGPT, "Jag är ganska säker på att jag har sett det här någonstans. Skulle du kolla upp det?" Och den kommer tillbaka med ett liknande uttalande som är korrekt.
Och när det väl blir väldigt, väldigt bra på det, kanske du kan gå ett steg längre och säga, "Jag vet inte hur man gör det här, men är det någon som har gjort något sånt här?" Kanske kan en AI-modell så småningom hitta skickliga sätt att söka i litteraturen för att ta till sig verktyg som har använts på annat håll - på ett sätt som en matematiker kanske inte förutser.
Jag förstår dock inte hur ChatGPT kan gå utöver en viss nivå för att göra bevis på ett sätt som överträffar oss. ChatGPT och andra maskininlärningsprogram tänker inte. De använder ordassociationer baserat på många exempel. Så det verkar osannolikt att de kommer att överskrida sin träningsdata. Men om det skulle hända, vad kommer matematiker att göra? Så mycket av det vi gör är bevis. Om du tar bevis ifrån oss är jag inte säker på vilka vi blir.
Oavsett, när vi tänker på var vi ska ta hjälp av datorer, måste vi ta hänsyn till alla lärdomar vi har lärt oss av mänskliga ansträngningar: vikten av att använda olika språk, arbeta tillsammans, bära olika perspektiv. Det finns en robusthet, en hälsa, i hur olika samhällen går samman för att arbeta på och förstå ett bevis. Om vi ska ha datorhjälp i matematik måste vi berika det på samma sätt.
- SEO-drivet innehåll och PR-distribution. Bli förstärkt idag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrka dig själv. Tillgång här.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Kunskap förstärkt. Tillgång här.
- Platoesg. Fordon / elbilar, Kol, CleanTech, Energi, Miljö, Sol, Avfallshantering. Tillgång här.
- PlatoHealth. Biotech och kliniska prövningar Intelligence. Tillgång här.
- ChartPrime. Höj ditt handelsspel med ChartPrime. Tillgång här.
- BlockOffsets. Modernisera miljökompensation ägande. Tillgång här.
- Källa: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- : har
- :är
- :inte
- :var
- ][s
- $UPP
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- Able
- Om oss
- SAMMANDRAG
- accepterade
- tillgänglig
- Enligt
- Konto
- bekräfta
- faktiskt
- Dessutom
- Äventyr
- rädda
- Efter
- ålder
- Avtal
- AI
- Alan
- Alan Turing
- Alla
- tillåter
- tillåts
- ensam
- längs
- redan
- också
- alltid
- fantastiska
- amason
- amerikan
- mängd
- an
- analysera
- och
- Annan
- vilken som helst
- någon
- något
- syntes
- tillämpas
- Ansök
- arkiv
- ÄR
- OMRÅDE
- Argumentet
- runt
- artiklar
- konstgjord
- artificiell intelligens
- AS
- bistå
- Bistånd
- Assistent
- föreningar
- antaganden
- At
- publik
- Författaren
- författat
- Författarna
- undvika
- bort
- tillbaka
- baserat
- grundläggande
- grund
- BE
- Bear
- därför att
- blir
- varit
- Där vi får lov att vara utan att konstant prestera,
- tro
- Bertrand
- BÄST
- Bättre
- mellan
- Bortom
- Stor
- födda
- Studsa
- Box
- Ha sönder
- genombrott
- föra
- men
- by
- beräkningar
- kallas
- cambridge
- kom
- KAN
- Kanada
- kan inte
- Karriär
- Carl
- bär
- Århundrade
- vissa
- byta
- ändrats
- byte
- karakterisera
- ChatGPT
- ta
- val
- val
- Välja
- valda
- Circle
- hävdade
- klarhet
- klar
- klart
- SAMMANHÄNGANDE
- samling
- College
- komma
- bekväm
- samhällen
- samfundet
- kompakt
- företag
- fullborda
- fullständigt
- komplicerad
- dator
- datorer
- begrepp
- Begreppen
- gissa
- Tänk
- anses
- konsekvent
- konstruera
- sammanhang
- fortsätta
- Kontinuum
- kontroversiell
- konvertera
- kyla
- hörn
- korrekt
- kunde
- Kurs
- galet
- skapa
- Skapa
- varelse
- kultur
- Aktuella
- faror
- datum
- David
- diskussion
- årtionden
- beslutar
- definition
- definitioner
- Examen
- demonstrerar
- beror
- beskriva
- utformade
- skrivbord
- utvecklade
- utvecklingen
- DID
- olika
- svårt
- upptäckt
- diskutera
- diskuteras
- diskussion
- dividerat
- do
- gör
- inte
- gör
- gjort
- inte
- Dörr
- ner
- under
- varje
- Tidigare
- Tidig
- jord
- lätt
- lätt
- antingen
- annars
- annorstädes
- änden
- bemöda
- berika
- ekvationer
- Era
- fel
- väsentligen
- Även
- så småningom
- allt
- utvecklas
- exempel
- exempel
- existerar
- väntar
- experimentell
- förklara
- Utforska
- uttryckt
- extrem
- Misslyckades
- verkligt
- falsk
- bekant
- kända
- snabbare
- känna
- få
- Film
- hitta
- Förnamn
- passa
- fem
- Fokus
- följer
- För
- förutse
- alltid
- hittade
- från
- fungera
- grundläggande
- finansiering
- ytterligare
- framtida
- Få
- lek
- Games
- spalt
- allmänhet
- skaffa sig
- få
- Ge
- ges
- Go
- Går
- kommer
- god
- stor
- Marken
- styra
- hade
- hända
- hänt
- Hård
- Har
- he
- Hälsa
- kraftigt
- hjälpa
- hjälp
- hjälpa
- här.
- Hög
- hans
- historia
- hoppas
- Förhoppningsvis
- Hur ser din drömresa ut
- How To
- HTTPS
- humant
- Människa
- i
- SJUK
- Tanken
- idéer
- if
- blir omedelbart
- vikt
- med Esport
- omöjligt
- in
- incident
- innefattar
- Sittande
- oberoende av
- indikerade
- initialt
- ingångar
- exempel
- istället
- försäkring
- Intelligens
- intresserad
- intressant
- Intervju
- in
- introducerade
- uppfann
- involverade
- problem
- IT
- DESS
- Jennifer
- Jobb
- bara
- bara en
- Nyckel
- Vet
- känd
- kurt
- språk
- Språk
- Large
- till stor del
- Efternamn
- senare
- ledande
- Leads
- LÄRA SIG
- lärt
- inlärning
- vänster
- Lärdomar
- Nivå
- tycka om
- gillar
- Begränsad
- linje
- litteraturen
- Logiken
- logisk
- london
- Lång
- länge sedan
- se
- ser ut som
- såg
- Lot
- älskade
- Maskinen
- maskininlärning
- Maskiner
- gjord
- magasinet
- magi
- Huvudsida
- större
- göra
- Framställning
- många
- Martin
- master
- matte
- matematisk
- matematik
- Materia
- Maj..
- kanske
- me
- betyda
- betyder
- betyder
- Media
- kanske
- missuppfattningar
- modell
- Modern Konst
- Månad
- mer
- Dessutom
- mest
- för det mesta
- mor
- rörd
- film
- mycket
- måste
- ömsesidigt
- my
- Natur
- nästan
- Behöver
- behov
- aldrig
- Nya
- newton
- Nästa
- Nej
- Anmärkningar
- inget
- Begrepp
- roman
- nu
- antal
- nummer
- mål
- objektivt
- objekt
- Uppenbara
- of
- sänkt
- Ofta
- oh
- Gamla
- on
- gång
- ONE
- endast
- öppet
- or
- Övriga
- Övrigt
- vår
- ut
- utanför
- överträffar
- över
- egen
- sidor
- Papper
- papper
- paradigmet
- särskilt
- särskilt
- reservdelar till din klassiker
- Personer
- perfekt
- kanske
- perspektiv
- perspektiv
- Peter
- Filosofin
- PHP
- Plats
- planering
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatonData
- Spela
- spelat
- spelar
- Punkt
- Populära
- möjlig
- praktiken
- pretty
- Prime
- förmodligen
- Problem
- problem
- process
- producera
- Program
- Framsteg
- projektet
- bevis
- korrektur
- Bevisa
- visat
- publicera
- publicerade
- Tryckande
- sätta
- Quantamagazin
- quest
- fråga
- citera
- radikalt
- höjer
- sällan
- Läsa
- Läsare
- inse
- verkligen
- skäl
- nyligen
- relaterad
- relation
- förlita
- forskning
- avkastning
- höger
- rigorös
- robusthet
- Roll
- regler
- Nämnda
- Samma
- såg
- säga
- säger
- säger
- Skola
- Vetenskap
- vetenskaplig
- vetenskapsmän
- repa
- Sök
- säkra
- se
- söker
- verka
- verkar
- sett
- vald
- känsla
- Serier
- in
- skall
- dra
- Syn
- liknande
- Enkelt
- enklare
- helt enkelt
- eftersom
- syster
- sitta
- Skepsis
- skicklig
- So
- Social hållbarhet
- Samhället
- några
- något
- någonstans
- sofistikerade
- Utrymme
- stadier
- standarder
- starta
- igång
- Starta
- startar
- .
- uttalanden
- Steg
- Steg
- Fortfarande
- Kamp
- Kämpar
- studerade
- ämne
- sådana
- säker
- system
- System
- Ta
- tagen
- tar
- Diskussion
- smak
- Tekniken
- Teknologi
- villkor
- än
- den där
- Smakämnen
- Framtiden
- deras
- Dem
- sedan
- Teorin
- Där.
- Dessa
- de
- sak
- saker
- tror
- tänkaren
- Tänkande
- detta
- de
- fastän?
- trodde
- Genom
- hela
- tid
- till
- i dag
- dagens
- tillsammans
- alltför
- tog
- verktyg
- verktyg
- mot
- traditionell
- Utbildning
- försökte
- sann
- sanningen
- prova
- turing
- SVÄNG
- två
- typiskt
- slutliga
- förstå
- förståelse
- förstått
- enhörning
- Universell
- universitet
- Universitetet i Cambridge
- osannolik
- us
- användning
- Begagnade
- med hjälp av
- Värdefulla
- Omfattande
- Verifiering
- verifiera
- verifiera
- mycket
- vill
- ville
- vill
- var
- Sätt..
- sätt
- we
- webp
- VÄL
- begav sig
- były
- Vad
- Vad är
- när
- som
- medan
- VEM
- varför
- Vild
- kommer
- med
- ord
- ord
- Arbete
- arbetade
- arbetssätt
- fungerar
- värt
- skulle
- skriva
- författare
- skrivning
- Fel
- skrev
- år
- år
- Om er
- Din
- själv
- zephyrnet
- noll-
- Zeta