Beskrivning
Föreställ dig att ett rutnät av hexagoner, bikakeliknande, sträcker sig framför dig. Vissa hexagoner är tomma; andra är fyllda av en 6-fot hög pelare av solid betong. Resultatet är en slags labyrint. I över ett halvt sekel har matematiker ställt frågor om sådana slumpmässigt genererade labyrinter. Hur stor är den största väven av röjda stigar? Vad är chansen att det finns en väg från ena kanten till mitten av rutnätet och tillbaka ut igen? Hur förändras dessa chanser när rutnätet sväller i storlek och lägger till fler och fler hexagoner till dess kanter?
Dessa frågor är lätta att besvara om det antingen finns mycket tomt eller mycket betong. Säg att varje hexagon tilldelas sitt tillstånd slumpmässigt, oberoende av alla andra hexagoner, med en sannolikhet som är konstant över hela rutnätet. Det kan till exempel finnas en 1% chans att varje hexagon är tom. Betong tränger sig på nätet och lämnar bara små luftfickor emellan, vilket gör chansen att hitta en väg till kanten i praktiken noll. Å andra sidan, om det finns en 99% chans att varje hexagon är tom, finns det bara ett tunt stänk av betongväggar, avbrytande strängar av öppet utrymme - inte mycket av en labyrint. Att hitta en väg från mitten till kanten i det här fallet är nästan säkert.
För stora rutnät sker en anmärkningsvärt plötslig förändring när sannolikheten når 1/2. Precis som is smälter till flytande vatten vid exakt noll grader Celsius förändras labyrintens karaktär drastiskt vid denna övergångspunkt, som kallas den kritiska sannolikheten. Under den kritiska sannolikheten kommer det mesta av gallret att ligga under betong, medan tomma stigar alltid kommer till återvändsgränder. Ovanför den kritiska sannolikheten lämnas massiva områden tomma, och det är betongväggarna som säkerligen kommer att försvinna. Om du stannar exakt vid den kritiska sannolikheten kommer betong och tomhet att balansera varandra, utan att någon av dem kan dominera labyrinten.
"Vid den kritiska punkten är det som dyker upp en högre grad av symmetri," sa Michael Aizenman, en matematisk fysiker vid Princeton University. "Det öppnar dörren till en enorm mängd matematik." Den har också praktiska tillämpningar för allt från design av gasmasker till analyser av hur infektionssjukdomar sprids eller hur olja sipprar genom stenar.
I en tidning som postades i höstas, fyra forskare har äntligen beräknat chansen att hitta en väg för labyrinter med den kritiska sannolikheten 1/2.
En kapprustning
Som doktorand i Frankrike i mitten av 2000-talet, Pierre Nolin studerat det kritiska sannolikhetsscenariot i detalj. Den slumpmässiga labyrinten, tror han, är "en riktigt vacker modell, kanske en av de enklaste modellerna du kan uppfinna." Nära slutet av sina doktorandstudier, som han avslutade 2008, blev Nolin fängslad av en särskilt utmanande fråga om hur ett hexagonalt rutnät vid den kritiska sannolikheten beter sig. Säg att du bygger ett rutnät runt en central punkt, så att det närmar sig en cirkel, och att du slumpmässigt bygger din labyrint därifrån. Nolin ville utforska chansen att du kommer att kunna hitta en öppen stig som sträcker sig från kanten till mitten och tillbaka ut, utan att gå tillbaka. Matematiker kallar detta en monokromatisk tvåarmad väg, eftersom både de inåtgående och utåtriktade "armarna" är på öppna vägar. (Ibland anses sådana rutnät på samma sätt vara gjorda av två olika färger, säg ljusblått och mörkblått, snarare än av öppna och slutna celler.) Om du ökar storleken på labyrinten kommer längden på den nödvändiga banan att växa också. , och chansen att hitta en sådan väg blir mindre och mindre. Men hur snabbt minskar oddsen när labyrinten växer sig godtyckligt stor?
Enklare relaterade frågor besvarades för decennier sedan. Beräkningar från 1979 av Marcel den Nijs uppskattat chansen att du kan hitta en väg, eller arm, från kanten till mitten. (Sätt detta mot Nolins krav på att det ska finnas en arm in och en separat ut.) Den Nijs arbete förutspådde att chansen att hitta en arm i ett hexagonalt rutnät är proportionell mot $latex 1/n^{5/48}$ , var n är antalet brickor från mitten till kanten, eller rutnätets radie. År 2002, Gregory Lawler, Oded Schramm och Wendelin Werner slutligen visat att enarmsförutsägelsen var korrekt. För att kortfattat kvantifiera den minskande sannolikheten när storleken på rutnätet växer, använder forskare exponenten från nämnaren, 5/48, som är känd som enarmsexponenten.
Nolin ville beräkna den mer svårfångade monokromatiska tvåarmade exponenten. Numeriska simuleringar 1999 visade att det var mycket nära 0.3568, men matematiker misslyckades med att fastställa dess exakta värde.
Det var mycket lättare att beräkna vad som kallas den polykromatiska tvåarmade exponenten, vilket kännetecknar chansen att du, med början i mitten, inte bara kan hitta en "öppen" väg till omkretsen, utan också en separat "stängd" väg. (Tänk på den stängda vägen som en som korsar toppen av labyrintens betongväggar.) År 2001, Stanislav Smirnov och Werner visat att denna exponent var 1/4. (Eftersom 1/4 är betydligt större än 5/48, krymper $latex 1/n^{1/4}$ snabbare än $latex 1/n^{5/48}$ som n växer. Chansen för en polykromatisk tvåarmad struktur är alltså mycket lägre än chansen för en arm, som man kan förvänta sig.)
Den beräkningen hade lutat sig mycket mot kunskap om formen på kluster i grafen. Föreställ dig att en labyrint med den kritiska sannolikheten är extremt stor - består av miljoner och åter miljoner hexagoner. Hitta nu ett kluster av tomma hexagoner och spåra kanten på klustret med en tjock svart Sharpie. Detta kommer förmodligen inte att resultera i en enkel, rund blob. Från miles i luften, skulle du se en slingrande kurva som ständigt dubblas tillbaka, ofta verkar som om det är på väg att korsa sig själv men aldrig riktigt begå.
Detta är en typ av kurva som kallas en SLE-kurva, introducerad av Schramm i en 2000 papper som omdefinierade fältet. En matematiker som studerar möjligheterna att hitta en öppen väg och en stängd väg vet att dessa vägar måste ligga inuti större kluster av öppna och slutna platser, som så småningom möts längs en SLE-kurva. De matematiska egenskaperna hos SLE-kurvor översätts sedan till ovärderlig information om banor i labyrinten. Men om matematiker söker efter flera vägar av samma typ, förlorar SLE-kurvor mycket av sin effektivitet.
År 2007 hade Nolin och hans medarbetare Vincent Beffara skapat numeriska simuleringar som visade att den monokromatiska tvåarmade exponenten var cirka 0.35. Detta var misstänkt nära 17/48 — summan av enarmsexponenten, 5/48, och den polykromatiska tvåarmade exponenten, 1/4 (eller 12/48). "17/48 är verkligen slående," sa Nolin. Han började misstänka att 17/48 var det sanna svaret - vilket betyder att det fanns en enkel koppling mellan de olika typerna av exponenter. Du kan bara lägga ihop dem. "Vi sa, OK, det är för bra för att vara falskt; det måste vara sant."
Beskrivning
Ett tag kom ingenting av Nolin och Beffaras gissningar, även om Nolin lade ut det på sin hemsida för andra att arbeta utifrån. Han flyttade till Hong Kong 2017 för att tillträda en professur vid City University of Hong Kong och fortsatte att arbeta med problemet. 2018 tog han upp exponenten i samtal med Wei Qian, som då var postdoc vid University of Cambridge i England. Qian studerade slumpmässig geometri i det kontinuerliga snarare än diskreta sammanhanget, med särskilt fokus på SLE-kurvor. Hon var mitt uppe i ett projekt som använde SLE för att beräkna exponenter i en annan typ av slumpmässig modell, och Nolin började misstänka att hennes expertis var relevant även för den monokromatiska tvåarmade exponenten. Paret hittade snart en enkel ekvation vars lösning skulle ge exponenten, men den ekvationen förlitade sig på en mellanstorhet som hade att göra med utrymmet som omges av en SLE-kurva vid kanten av rutnätet. Nolin och Qian kunde inte sätta fast det numret.
"Jag gjorde många beräkningar, men jag kunde fortfarande inte beräkna den här egenskapen," sa Qian. "Jag lyckades inte, så jag slutade bara ett tag."
"Vi nämnde det aldrig för någon eftersom vi inte var säkra på om det skulle vara användbart eller inte," tillade Nolin.
Backbone-exponenten
Den monokromatiska tvåarmade exponenten är särskilt intressant eftersom den också beskriver "ryggraden" i ett rutnät: samlingen av hexagoner som är anslutna till två distinkta armar som sträcker sig till två icke-överlappande armar: en till kanten av labyrinten och en till dess centrum. När dessa platser färgas in bildar de en väv som sträcker sig över hela nätet och kallas ryggraden. När forskare modellerar spridningen av sjukdomar eller porösa stenformationer är ryggraden en motorväg längs vilken mikrober eller olja kan flöda. Exponenten som Nolin och Qian sökte avslöjar storleken på ryggraden och kallas ryggradsexponenten.
Nolin och Qian var inte de enda efter ryggraden. Xin Sun, då vid University of Pennsylvania, hade också försökt beräkna ryggradsexponenten. Under de föregående åren hade Sun och medarbetare, inklusive Nina Holden från New York University, kommit på ett sätt att studera SLE-kurvor med hjälp av slumpmässiga fraktala ytor. Dessa vidsträckta, krökta ytor har bågade kanter som sträcker sig in i långa rankor. Vissa punkter är ett kort hopp från sina grannar, medan andra är en månader lång resa. På vissa ställen är dessa effekter för extrema för att kunna visualiseras. "Det är faktiskt inte möjligt att rita det" helt exakt, sa Holden. "Du måste liksom sträcka ytan mycket."
Sommaren 2022 värvade Sun Zijie Zhuang, en doktorand på andra året, att gå med i studien av den slumpmässiga labyrinten med kritisk sannolikhet. De övervägde slumpmässiga labyrinter där hexagonerna låg på en slumpmässig fraktal yta, istället för på ett plant plan. Eftersom slumpen avgör var och med hur mycket ytan sträcks och komprimeras, har ytan unika egenskaper. (Dessa egenskaper gör också sådana ytor användbara för fysiker som studerar modeller av kvantgravitation i ett tvådimensionellt universum och ger dem deras namn: Liouville kvantgravitationsytor.) Till exempel, om du tar sax till en sådan yta, kommer formerna på två halvor är inte beroende av varandra. "Den sortens oberoende förenklar verkligen saker enormt," sa Scott Sheffield vid Massachusetts Institute of Technology. När saker är slumpmässiga vet du mindre om dem, men det kan innebära mindre information att mödosamt redogöra för.
Sun och Zhuang försökte först fastställa sannolikheten för att det fanns en öppen bana som förbinder en liten cirkel runt rutnätets centrum med en större, omgivande cirkel. Efter att de svarat på den frågan föreslog Sun ett steg upp i ambitionen: att beräkna chansen att det fanns två vägar som förbinder de kapslade cirklarna, vilket skulle ha gett dem ett sätt att beräkna ryggradsexponenten. Men snart stötte de på svårigheter. "Vi försökte det här tillvägagångssättet i flera månader, men beräkningen verkar inte vara särskilt lättförståelig," skrev Zhuang i ett mejl.
Beskrivning
Samtidigt, även om Nolin och Qian inte hade lyckats hitta värdet av exponenten, gjorde de framsteg på andra sätt. Qian tog tjänstledigt från sin tjänst vid det franska nationella centret för vetenskaplig forskning och började på Nolin som professor vid City University of Hong Kong. (De gifte sig också.) Sommaren 2021 stötte hon på några artiklar av Sun och hans medarbetare som fascinerade henne, så när restriktioner för pandemiresor hävdes planerade hon ett besök i december 2022 till Institute for Advanced Study i Princeton , New Jersey, där Sun tillbringade året.
Det visade sig vara ett lönsamt besök. När Qian beskrev ekvationen hon och Nolin hade hittat, började Sun tro att den kunde vara mottaglig för hans och Zhuangs teknik att lägga labyrinter på Liouvilles kvantgravitationsytor. "Det är typ av en slump," sa Sun. "En kille har ett lås, en kille har en nyckel."
Zhuang var lite skeptisk. "Vi har inga förutsägelser, och vi vet inte ens om formeln kommer att ha en bra lösning", sa han och beskrev läget vid den tiden. Sun och Zhuang tillbringade de kommande månaderna med att använda Liouvilles kvantgravitationstekniker – nyckeln – för att låsa upp den svårfångade kvantiteten i Nolin och Qians ekvation från år tidigare – låset.
Efter fyra månaders arbete hade Sun och Zhuang öppnat det metaforiska låset. Sun skickade ett e-postmeddelande till Zhuang, Qian och Nolin och proklamerade: "Bra nyheter: Exakt formel för ryggradsexponent." Svaret, fann han, var ett måttligt komplicerat uttryck av kvadratrötter och den trigonometriska sinusfunktionen. Det var i överensstämmelse med de tidigare uppskattningarna, en oändlig ström av siffror som börjar med 0.3566668.
De fyra förvandlade sitt arbete till en skriftlig uppsats och förfinade argumentet tills idéerna från Nolin och Qian på ena sidan, och Sun och Zhuang på den andra, kombinerades för att skapa ett bevis på att Sheffield, som var Suns doktorandrådgivare, kallade "en vacker pärla." "Bevisstrategin är definitivt överraskande och väldigt originell, men när du ser den är det också något som känns naturligt," sa Holden.
Nolin beklagar sin misstanke från 2011 att exponenten var exakt 17/48. "Vi vilseledde fältet ganska länge. Jag är inte särskilt stolt över det." Ryggradens exponent är påfallande annorlunda än sina polykromatiska kusiner. Det är inte bara irrationellt, utan det är också transcendentalt, vilket betyder att som $latex pi$ och e, kan det inte skrivas som lösningen på en enkel polynomekvation.
"Beviset förklarar inte riktigt var denna formel kommer ifrån," sa han. "Vi har visat det för fysiker, och vi ser verkligen fram emot deras insikt."
Den transcendentala karaktären hos ryggradsexponenten fångade andra i fältets uppmärksamhet. Gregory Huber från Chan Zuckerberg Biohub, som var medförfattare till en uppföljningsartikel om ryggradsexponenten sa att han tror att resultatet är den "första glimten av en ny kontinent" inom statistisk mekanik. Även om kombinationen av SLE-kurvor och Liouville kvantgravitation är extremt teknisk, är det tydliga och enkla numeriska svaret som kom fram, skrev han, "fantastiskt enkelt och elegant."
- SEO-drivet innehåll och PR-distribution. Bli förstärkt idag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrka dig själv. Tillgång här.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Kunskap förstärkt. Tillgång här.
- Platoesg. Kol, CleanTech, Energi, Miljö, Sol, Avfallshantering. Tillgång här.
- PlatoHealth. Biotech och kliniska prövningar Intelligence. Tillgång här.
- Källa: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- : har
- :är
- :inte
- :var
- ][s
- $UPP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Able
- Om oss
- ovan
- AC
- accord
- Konto
- exakt
- tvärs
- faktiskt
- lägga till
- lagt till
- tillsats
- avancerat
- Affairs
- Efter
- igen
- sedan
- LUFT
- Alla
- längs
- också
- ambition
- mottaglig
- an
- analyser
- och
- Annan
- svara
- någon
- tillämpningar
- tillvägagångssätt
- approximerar
- ÄR
- Argumentet
- ARM
- armar
- runt
- AS
- delad
- At
- uppmärksamhet
- tillbaka
- Backbone
- Balansera
- BE
- vackert
- blev
- därför att
- varit
- innan
- började
- Börjar
- nedan
- mellan
- Stor
- Bit
- Svart
- Blå
- kropp
- båda
- fört
- SLUTRESULTAT
- men
- by
- beräkna
- beräknat
- beräkning
- beräkning
- beräkningar
- kallas
- Samtal
- cambridge
- kom
- KAN
- kan inte
- Vid
- fångas
- Celler
- Celsius
- Centrum
- centrala
- Århundrade
- vissa
- utmanande
- chan
- chans
- chanser
- byta
- Förändringar
- karaktär
- karaktäriserar
- Circle
- cirklar
- Stad
- City University of Hong Kong
- klar
- Stäng
- stängt
- kluster
- tillfällighet
- behöriga
- samling
- Kolumn
- kombinerad
- kombinera
- komma
- kommande
- begå
- fullständigt
- komplicerad
- beräkning
- beräkningar
- Compute
- betong
- gissa
- anslutna
- Anslutning
- anses
- konstant
- ständigt
- sammanhang
- kontinuerlig
- Däremot
- Konversation
- korrekt
- kunde
- skapa
- skapas
- kritisk
- Cross
- kurva
- mörkt
- döda
- årtionden
- December
- definitivt
- Examen
- bero
- beskriven
- beskriver
- beskriver
- Designa
- detalj
- Bestämma
- bestämd
- DID
- olika
- svårigheter
- siffror
- minskande
- Sjukdom
- sjukdomar
- distinkt
- do
- inte
- Dominera
- inte
- Dörr
- Dubbel
- ner
- drastiskt
- dra
- varje
- Tidigare
- lättare
- lätt
- kant
- effektivt
- effektivitet
- effekter
- antingen
- dykt
- framträder
- änden
- Endless
- slutar
- England
- Hela
- upprättar
- beräknad
- uppskattningar
- Även
- så småningom
- Varje
- allt
- exakt
- förvänta
- expertis
- Förklara
- utforska
- Uttrycket
- förlänga
- sträcker
- extrem
- extremt
- Misslyckades
- falsk
- känns
- få
- fält
- figured
- fyllda
- Slutligen
- hitta
- finna
- Förnamn
- platta
- flöda
- Fokus
- För
- formen
- formeln
- Framåt
- hittade
- fyra
- Frankrike
- franska
- från
- full
- fungera
- GAS
- Save
- genereras
- skaffa sig
- Ge
- ges
- Ge
- Glimt
- god
- fick
- uppgradera
- diagram
- tyngdkraften
- stor
- Rutnät
- Väx
- Växer
- Guy
- hade
- Hälften
- sidan
- Har
- har
- he
- kraftigt
- här
- högre
- Huvudväg
- hans
- träffar
- Hong
- Hong Kong
- Hur ser din drömresa ut
- Men
- html
- http
- HTTPS
- stor
- i
- IS
- idéer
- if
- bild
- in
- I andra
- Inklusive
- Öka
- oberoende
- oberoende
- infektiös
- Infektionssjukdomar
- informationen
- inuti
- insikt
- exempel
- istället
- Institute
- intressant
- in
- introducerade
- ovärderlig
- ständigt
- irrationell
- IT
- DESS
- sig
- Jersey
- delta
- fogade
- resa
- bara
- hålls
- Nyckel
- Snäll
- slag
- Vet
- kunskap
- känd
- vet
- Kong
- Large
- större
- största
- Efternamn
- låg
- Lämna
- lämnar
- vänster
- Längd
- mindre
- lie
- Lifted
- ljus
- tycka om
- LINK
- Flytande
- låsa
- Lång
- du letar
- förlorar
- Lot
- lägre
- gjord
- magasinet
- göra
- Framställning
- Masker
- massachusetts
- Massachusetts Institute of Technology
- massiv
- matte
- matematisk
- matematik
- kanske
- betyda
- betyder
- mekanik
- Möt
- nämnts
- kanske
- miljoner
- MIT
- modell
- modeller
- lagom
- månader
- mer
- mest
- rörd
- mycket
- multipel
- måste
- namn
- nationell
- Natural
- Natur
- Nära
- behövs
- grannar
- Varken
- aldrig
- Nya
- New Jersey
- New York
- nyheter
- Nästa
- trevligt
- Nej
- inget
- nu
- antal
- Odds
- of
- Ofta
- Olja
- on
- ONE
- ettor
- endast
- öppet
- öppnade
- öppnas
- or
- ursprungliga
- Övriga
- Övrigt
- ut
- över
- par
- pandemi
- Papper
- papper
- särskilt
- bana
- banor
- Pennsylvania sylvania~~POS=HEADCOMP
- Peter
- fysiker
- platser
- plan
- planeras
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatonData
- fickor
- Punkt
- poäng
- pose
- placera
- möjlig
- posted
- Praktisk
- föregående
- förutsagda
- förutsägelse
- Förutsägelser
- Princeton
- förmodligen
- Problem
- Professor
- lönsam
- Framsteg
- projektet
- bevis
- egenskaper
- egenskapen
- stolt
- visat
- Quantamagazin
- mängd
- Quantum
- fråga
- frågor
- snabbt
- ganska
- slumpmässig
- slumpmässigt genererade
- snarare
- når
- verkligen
- omdefinieras
- avses
- raffinering
- relaterad
- relevanta
- krav
- forskning
- forskare
- begränsningar
- resultera
- avslöjar
- sten
- rötter
- rund
- Nämnda
- Samma
- säga
- scenario
- vetenskaplig
- söka
- se
- verkar
- skickas
- separat
- flera
- Forma
- former
- hon
- Kort
- visade
- sida
- Enkelt
- förenklar
- simuleringar
- sitta
- Områden
- Storlek
- skeptisk
- Small
- mindre
- So
- fast
- lösning
- några
- något
- ibland
- snart
- eftersträvas
- Utrymme
- speciell
- Spendera
- spent
- spretig
- spridning
- kvadrat
- Starta
- Ange
- statistisk
- Steg
- Fortfarande
- Sluta
- slutade
- Strategi
- ström
- struktur
- student
- studerade
- studier
- Läsa på
- Studerar
- väsentligen
- lyckas
- sådana
- plötslig
- sommar
- sol
- säker
- yta
- förvånande
- kring
- Misstänksamt
- Ta
- Teknisk
- Tekniken
- tekniker
- Teknologi
- än
- den där
- Smakämnen
- Grafen
- Staten
- deras
- Dem
- sedan
- Där.
- Dessa
- de
- tunn
- saker
- tror
- tänker
- detta
- de
- fastän?
- trodde
- Genom
- tid
- till
- tillsammans
- alltför
- tog
- Överdelar
- Trace
- övergång
- Översätt
- färdas
- oerhört
- försökte
- sann
- försöker
- vände
- två
- Typ
- under
- unika
- Universum
- universitet
- Universitetet i Cambridge
- låsa
- tills
- användning
- Begagnade
- användbara
- med hjälp av
- värde
- mycket
- Vincent
- Besök
- ville
- var
- washington
- Vatten
- Sätt..
- sätt
- we
- webb
- webp
- Webbplats
- VÄL
- były
- Vad
- när
- om
- som
- medan
- VEM
- vars
- kommer
- med
- inom
- utan
- Arbete
- arbetssätt
- skulle
- skulle ge
- skriven
- skrev
- år
- år
- york
- Om er
- Din
- zephyrnet
- noll-
- Zucker