นักทฤษฎีผู้มองเห็นคณิตศาสตร์ในศิลปะ ดนตรี และการเขียน | นิตยสารควอนต้า

Sarah Hart คอยจับตาดูวิธีที่คณิตศาสตร์แทรกซึมอยู่ในสาขาอื่นๆ อยู่เสมอ เมื่อตอนเป็นเด็ก เธอรู้สึกทึ่งกับความแพร่หลายของเลข 3 ในเทพนิยายของเธอ แม่ของฮาร์ตซึ่งเป็นครูสอนคณิตศาสตร์สนับสนุนให้เธอค้นหารูปแบบโดยให้ปริศนาคณิตศาสตร์เพื่อฆ่าเวลา

ฮาร์ตได้รับปริญญาเอกด้านทฤษฎีกลุ่มในปี 2000 และต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์ที่ Birkbeck มหาวิทยาลัยลอนดอน การวิจัยของฮาร์ตตรวจสอบโครงสร้างของกลุ่มค็อกซีเตอร์ ซึ่งเป็นโครงสร้างทั่วไปที่รวบรวมความสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมและปริซึม ในปี 2023 เธอตีพิมพ์ กาลครั้งหนึ่งหนังสือเกี่ยวกับวิธีที่คณิตศาสตร์ปรากฏในนิยายและบทกวี “เนื่องจากมนุษย์เราเป็นส่วนหนึ่งของจักรวาล จึงเป็นเรื่องธรรมดาที่รูปแบบการแสดงออกอย่างสร้างสรรค์ของเรา วรรณกรรมในหมู่พวกเขา จะแสดงให้เห็นถึงความโน้มเอียงสำหรับรูปแบบและโครงสร้างด้วย” ฮาร์ตเขียน “คณิตศาสตร์จึงเป็นกุญแจสำคัญในมุมมองที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงเกี่ยวกับวรรณคดี”

ตั้งแต่ปี 2020 Hart เป็นศาสตราจารย์ด้านเรขาคณิตที่ Gresham College ในลอนดอน Gresham ไม่มีหลักสูตรแบบดั้งเดิม แทน อาจารย์แต่ละคนจะบรรยายสาธารณะหลายครั้งต่อปี ฮาร์ตเป็นผู้หญิงคนแรกที่ดำรงตำแหน่งในวัย 428 ปี ซึ่งไอแซค แบร์โรว์ ดำรงตำแหน่งในศตวรรษที่ 17 ซึ่งมีชื่อเสียงจากการสอนไอแซก (นิวตัน) อีกคน ล่าสุดจัดขึ้นโดย Roger Penrose นักคณิตศาสตร์ที่ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจำปี 2020 ฮาร์ทพูดด้วย ควอนตั้ม เกี่ยวกับวิธีที่คณิตศาสตร์และศิลปะมีอิทธิพลซึ่งกันและกัน บทสัมภาษณ์ได้รับการย่อและเรียบเรียงเพื่อความชัดเจน

เหตุใดคุณจึงเลือกเขียนหนังสือเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และวรรณกรรม

ลิงก์เหล่านี้มีการสำรวจน้อยกว่าและเป็นที่รู้จักน้อยกว่าลิงก์ระหว่างคณิตศาสตร์กับดนตรี ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และดนตรีได้รับการเฉลิมฉลองมาตั้งแต่สมัยพีทาโกรัสเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม แม้ว่าจะมีการเขียนและการวิจัยทางวิชาการเกี่ยวกับหนังสือ ผู้แต่ง หรือประเภทต่างๆ ที่เฉพาะเจาะจง แต่ฉันไม่เคยเห็นหนังสือสำหรับคนทั่วไปเกี่ยวกับความเชื่อมโยงที่กว้างขึ้นระหว่างคณิตศาสตร์และวรรณกรรม

คนในวงการศิลปะควรคิดอย่างไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์?

มีพื้นฐานที่เหมือนกันมากมายระหว่างคณิตศาสตร์และศิลปะอื่นๆ ในวรรณคดี เช่นเดียวกับดนตรีและศิลปะ คุณไม่เคยเริ่มต้นด้วยอะไรเลย หากคุณเป็นกวี คุณกำลังเลือก: ฉันจะเขียนไฮกุที่มีข้อจำกัดด้านตัวเลขที่แม่นยำมาก หรือฉันจะเขียนโคลงที่มีจำนวนบรรทัดที่แน่นอน มีรูปแบบสัมผัสที่แน่นอน และมีเมตรที่แน่นอน แม้แต่บางสิ่งที่ไม่มีรูปแบบสัมผัสก็ยังมีตัวแบ่งบรรทัดหรือจังหวะ จะมีข้อจำกัดที่สร้างแรงบันดาลใจให้กับความคิดสร้างสรรค์ ซึ่งจะช่วยให้คุณมีสมาธิได้

ในทางคณิตศาสตร์เราก็มีสิ่งเดียวกัน เรามีกฎพื้นฐานบางประการ ภายในนั้น เราสามารถสำรวจ เล่นได้ และพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ สิ่งที่คณิตศาสตร์สามารถทำได้สำหรับศิลปะคือการช่วยค้นหาโครงสร้างใหม่ๆ แสดงให้เห็นว่ามีความเป็นไปได้อะไรบ้าง ดนตรีที่ไม่มีลายเซ็นต์จะมีลักษณะเป็นอย่างไร เราสามารถคิดถึงโทนเสียง 12 เสียงและจัดเรียงให้แตกต่างกันได้ และนี่คือวิธีทั้งหมดที่คุณสามารถทำได้ ต่อไปนี้คือโทนสีต่างๆ ที่คุณสามารถกำหนดได้ และนี่คือเครื่องวัดบทกวีรูปแบบต่างๆ

อะไรคือตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ได้รับผลกระทบจากวรรณกรรมอย่างไร

เมื่อหลายพันปีก่อนในอินเดีย กวีพยายามคิดถึงเมตรที่เป็นไปได้ ในบทกวีภาษาสันสกฤต คุณมีพยางค์ยาวและสั้น ยาวยาวเป็นสองเท่าของสั้น หากคุณต้องการหาว่ามีกี่ตัวที่ใช้เวลาสามเท่า คุณสามารถสั้น สั้น สั้น หรือยาว สั้น หรือสั้น ยาวก็ได้ มีสามวิธีในการสร้างสาม มีห้าวิธีในการสร้างวลียาวสี่วลี และมีแปดวิธีในการสร้างวลียาวห้าวลี ลำดับนี้ที่คุณได้รับคือลำดับที่ทุกเทอมคือผลรวมของสองลำดับก่อนหน้า คุณสร้างสิ่งที่เราเรียกว่าลำดับฟีโบนัชชีในปัจจุบันได้อย่างแม่นยำ แต่นี่เป็นศตวรรษก่อนฟีโบนัชชี

แล้วอิทธิพลของคณิตศาสตร์ที่มีต่อวรรณคดีล่ะ?

ซีเควนซ์ที่ค่อนข้างเรียบง่ายแต่ได้ผลมากคือหนังสือของเอเลนอร์ แคทตัน ผู้ทรงคุณวุฒิซึ่งเปิดตัวในปี 2013 เธอใช้ลำดับที่ประกอบด้วย 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16 ทุกบทในหนังสือเล่มนั้นมีความยาวเพียงครึ่งหนึ่งของตอนก่อน มันสร้างเอฟเฟ็กต์ที่น่าทึ่งจริงๆ เพราะว่าความเร็วเริ่มเร็วขึ้น และตัวเลือกของตัวละครก็ถูกจำกัดมากขึ้น ทุกสิ่งเร่งรีบไปสู่บทสรุป ในตอนท้ายบทต่างๆ สั้นมาก

อีกตัวอย่างหนึ่งของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยคือสิ่งที่เรียกว่ากำลังสองละตินตั้งฉาก จัตุรัสลาตินก็เหมือนกับตารางซูโดกุ ในกรณีนี้ มันจะเป็นตารางขนาด 10 x 10 ทุกหมายเลขจะปรากฏเพียงครั้งเดียวในแต่ละแถวและในแต่ละคอลัมน์ ตารางละตินมุมฉากเกิดขึ้นจากการซ้อนทับสี่เหลี่ยมละตินสองช่อง จึงมีตัวเลขคู่อยู่ในแต่ละช่อง ตารางที่เกิดจากตัวเลขตัวแรกในแต่ละคู่จะเป็นตารางลาติน และตารางที่เกิดจากตัวเลขตัวที่สองในแต่ละคู่ก็เช่นกัน นอกจากนี้ ในตารางคู่ ไม่มีคู่ใดปรากฏขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้ง

สิ่งเหล่านี้มีประโยชน์มากในทุกด้าน คุณสามารถสร้างรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดได้ ซึ่งมีประโยชน์ในการส่งข้อความตามช่องทางที่มีเสียงดัง แต่สิ่งที่ยอดเยี่ยมอย่างหนึ่งเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ ขนาด 10 ก็คือหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คิดว่าพวกมันไม่มีอยู่จริง มันเป็นหนึ่งในไม่กี่ครั้งที่เขาทำผิดพลาด นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมมันจึงน่าตื่นเต้นมาก นานมาแล้วหลังจากที่ทรงคาดเดาว่าสิ่งเหล่านี้ไม่มีขนาดใดขนาดหนึ่ง ก็ถูกปฏิเสธ และทรงพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดนี้ในปี พ.ศ. 1959 อยู่ที่ หน้าปก of อเมริกันวิทยาศาสตร์ ปีนั้น.

หลายปีหลังจากนั้น Georges Perec นักเขียนชาวฝรั่งเศสกำลังมองหาโครงสร้างเพื่อใช้สำหรับหนังสือของเขา ชีวิต: คู่มือการใช้งาน. เขาเลือกหนึ่งในสี่เหลี่ยมละตินตั้งฉากเหล่านี้ เขาวางหนังสือของเขาไว้ในบล็อกอพาร์ตเมนต์ในปารีส ซึ่งมีห้อง 100 ห้อง พื้นที่ขนาด 10x10 ตร.ม. ทุกบทอยู่ในห้องที่แตกต่างกัน และทุกบทมีรสชาติที่เป็นเอกลักษณ์ เขามีรายการสิ่งของ 10 อย่าง ผ้า สี สิ่งของประเภทนั้น ทุกบทจะใช้การผสมผสานที่เป็นเอกลักษณ์ เป็นวิธีที่น่าสนใจมากในการจัดโครงสร้างหนังสือ

คุณเห็นคุณค่าของการเขียนที่ดีอย่างชัดเจน คุณคิดอย่างไรกับคุณภาพของการเขียนในงานวิจัยทางคณิตศาสตร์

มันแปรผันมาก! ฉันรู้ว่าเราให้ความสำคัญกับความกะทัดรัด แต่ฉันคิดว่าบางครั้งมันก็ไกลเกินไป มีบทความมากเกินไปที่ไม่มีตัวอย่างที่เป็นประโยชน์

สิ่งที่เราให้คุณค่าจริงๆ คือการโต้แย้งที่ชาญฉลาด ซึ่งครอบคลุมทุกกรณีอย่างชาญฉลาดในคราวเดียว จึงกระชับและสง่างามด้วย นั่นไม่เหมือนกับการบีบข้อโต้แย้งยาวๆ ของคุณลงในพื้นที่เล็กกว่าที่ต้องการโดยการปิดหน้าด้วยเครื่องหมายลึกลับที่คุณสร้างขึ้นเพื่อทำให้สัญลักษณ์สรุปสั้นลง แต่ไม่เพียงแต่ผู้อ่านเท่านั้น แต่คุณอาจต้องแกะกล่องออกอย่างลำบาก อีกครั้งเพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งที่เกิดขึ้น

เราไม่ได้ให้ความสำคัญกับสัญกรณ์ที่เป็นประโยชน์ซึ่งช่วยเตือนผู้อ่านว่าหมายถึงอะไร สัญกรณ์ที่ถูกต้องสามารถเปลี่ยนชิ้นหนึ่งของคณิตศาสตร์ได้อย่างแน่นอน และสามารถสร้างพื้นที่สำหรับการสรุปได้เช่นกัน ในอดีต ลองนึกถึงการเปลี่ยนแปลงจากการเขียนสิ่งที่ไม่รู้จัก เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์ด้วยตัวอักษรที่แตกต่างกัน 3 ตัว และมีโอกาสมากขึ้นและเป็นไปได้มากเพียงใดที่จะเริ่มคิดถึงเมื่อคุณเริ่มเขียน และ  แทน

คุณเห็นวิวัฒนาการในความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และศิลปะหรือไม่?

มีสิ่งใหม่ๆ เกิดขึ้นตลอดเวลา เศษส่วนมีอยู่ทุกหนทุกแห่งในช่วงปี 1990 บนผนังหอพักนักเรียนทุกหลังมีรูปภาพของฉาก Mandelbrot หรืออะไรประมาณนี้ ทุกคนก็แบบว่า “โอ้ นี่มันน่าตื่นเต้นมาก แฟร็กทัล” ตัวอย่างเช่น คุณมีนักดนตรี นักแต่งเพลง ที่ใช้ลำดับแฟร็กทัลในการเรียบเรียงเพลง

ตอนที่ฉันอายุประมาณ 16 ปี มีสิ่งใหม่ๆ ที่เรียกว่าเครื่องคิดเลขกราฟิก น่าตื่นเต้น. และเพื่อนของแม่ฉันให้โปรแกรมนี้แก่ฉัน ซึ่งสามารถวาดชุดแมนเดลบรอต บนเครื่องคิดเลขกราฟิกเล็กๆ เหล่านี้ได้ ฉันไม่รู้ มันมีประมาณ 200 พิกเซล คุณตั้งโปรแกรมสิ่งนี้ไว้ แล้วฉันต้องปล่อยมันไว้ 12 ชั่วโมง มันจะพลอตจุด 200 จุดเหล่านี้ที่ส่วนท้ายของมัน ดังนั้นแม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถมีส่วนร่วมกับสิ่งนี้ได้ในช่วงปลายทศวรรษที่ 80 และต้นทศวรรษที่ 90 และผลิตภาพเหล่านี้เพื่อตนเอง

แม้ว่าคุณจะอยู่ในโรงเรียน ดูเหมือนว่าคุณจะสนใจคณิตศาสตร์ระดับฮาร์ดคอร์มากอยู่แล้ว

 ฉันคิดว่าฉันสนใจมาตั้งแต่ก่อนที่ฉันจะรู้ด้วยซ้ำว่านั่นหมายถึงฉันเป็นคนเก่งคณิตศาสตร์ เช่น ฉันมักจะสร้างลวดลายต่างๆ ตั้งแต่ตอนที่ฉันยังเป็นเด็กตัวเล็กๆ ที่อ่อนแอ

ตอนที่ฉันยังเด็ก ของเล่นชิ้นโปรดของฉันคือกระเบื้องไม้ทาเรียบๆ พวกเขามาในสีที่ต่างกันทั้งหมด ฉันจะทำให้มันเป็นรูปแบบ แล้วฉันจะดูมันอย่างภาคภูมิใจประมาณหนึ่งวัน แล้วฉันก็สร้างใหม่อีกครั้ง

พอโตขึ้นหน่อยก็จะเล่นตัวเลขและดูรูปแบบ ฉันจะไปหาแม่และพูดว่า “ฉันเบื่อ” แล้วเธอก็พูดว่า "คุณช่วยหาได้ไหมว่ารูปแบบของจำนวนจุดที่คุณต้องใช้เพื่อสร้างสามเหลี่ยมเป็นเท่าไหร่" หรืออะไรก็ตามที่เป็น เธออยากให้ฉันค้นพบตัวเลขสามเหลี่ยมหรืออะไรสักอย่างอีกครั้ง และฉันก็ตื่นเต้นมาก

แม่ผู้น่าสงสารของฉัน สิ่งประดิษฐ์ที่น่าทึ่งมากมายที่ฉันอยากจะมอบให้แม่ด้วย “ฉันได้พัฒนาวิธีการใหม่ในการทำบางสิ่ง!” และเธอก็พูดว่า “โอเค มันเยี่ยมมาก แต่คุณรู้ไหม เดส์การ์ตคิดถึงเรื่องนั้นเมื่อหลายศตวรรษก่อน” แล้วฉันก็จะไป ฉันเกิดไอเดียที่น่าทึ่งอีกอย่างขึ้นมาในอีกไม่กี่วันต่อมา “นั่นน่ารักนะที่รัก แต่ชาวกรีกโบราณก็มีสิ่งนั้น”

คุณจำช่วงเวลาที่น่าพอใจเป็นพิเศษจากอาชีพการวิจัยคณิตศาสตร์ของคุณได้ไหม

ช่วงเวลาที่คุณเข้าใจรูปแบบที่คุณเห็นในที่สุดนั้นน่าพอใจเสมอ เช่นเดียวกับเมื่อคุณหาวิธีพิสูจน์ว่าคุณต่อสู้ด้วยอย่างไร ความทรงจำที่แข็งแกร่งที่สุดของฉันเกี่ยวกับความรู้สึกยินดีเหล่านั้น อาจเป็นเพราะมันเป็นครั้งแรกที่ฉันได้สัมผัสมัน มาจากการเริ่มต้นอาชีพการวิจัยของฉัน แต่มันก็ยังเป็นความรู้สึกที่ดีที่ได้รับ “aha” เมื่อคุณเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในที่สุด

ในช่วงแรกๆ ฉันพยายามพิสูจน์บางอย่างเกี่ยวกับกลุ่มค็อกซิเตอร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ฉันได้แก้ไขบางกรณีแล้ว และเมื่อดูส่วนที่เหลือ ฉันก็ได้เทคนิคที่จะใช้งานได้หากเป็นไปตามเกณฑ์เฉพาะ คุณสามารถเขียนความสัมพันธ์เหล่านี้ลงในกราฟได้ ดังนั้นฉันจึงเริ่มรวบรวมกราฟต่างๆ ที่สามารถประยุกต์เทคนิคของฉันได้ นี่ก็ผ่านคริสต์มาสมาหนึ่งปีแล้ว

หลังจากนั้นไม่นาน ชุดรูปภาพของฉันก็เริ่มดูเหมือนชุดกราฟชุดหนึ่ง ซึ่งระบุไว้ในหนังสือเกี่ยวกับกลุ่มค็อกซิเตอร์ที่อยู่ในออฟฟิศของฉัน และฉันเริ่มหวังว่ามันจะเป็นชุดกราฟนี้จริงๆ หากเป็นเช่นนั้น นั่นก็จะเติมเต็มช่องว่างในการพิสูจน์ของฉัน และทฤษฎีบทของฉันก็เสร็จสิ้น แต่ฉันไม่สามารถตรวจสอบได้แน่ชัดจนกว่าฉันจะกลับเข้ามหาวิทยาลัยหลังคริสต์มาส ก่อนที่คุณจะสามารถค้นหาทุกอย่างใน Google ได้ ฉันคิดว่าการรอคอยเพื่อยืนยันลางสังหรณ์ของฉันทำให้ดียิ่งขึ้นเมื่อฉันได้อ่านหนังสือเล่มนี้ และเปรียบเทียบชุดไดอะแกรมที่เขียนด้วยลายมือของฉันกับแผนภาพในหนังสือ และพวกมันก็เข้ากันจริงๆ

คุณคิดอย่างไรกับคำถามที่ว่าคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นหรือค้นพบ แทบไม่มีใครโต้แย้งได้ว่านักประพันธ์ที่คุณเขียนถึงในหนังสือของคุณ "ค้นพบ" นวนิยายของพวกเขา นี่เป็นความแตกต่างพื้นฐานระหว่างคณิตศาสตร์และวรรณคดีหรือไม่?

อาจเป็นเช่นนั้นแม้ว่าจะยังมีเสียงสะท้อนอยู่บ้างก็ตาม

การทำคณิตศาสตร์รู้สึกเหมือนเป็นการค้นพบ หากเราประดิษฐ์คณิตศาสตร์ขึ้นมา การพิสูจน์สิ่งต่างๆ ก็คงไม่ใช่เรื่องยากอย่างแน่นอน! บางครั้งเราต้องการอย่างยิ่งให้บางสิ่งเป็นจริงแต่มันก็ไม่เป็นเช่นนั้น ฉันคิดว่าเราไม่สามารถหลีกเลี่ยงผลที่ตามมาของตรรกะได้

ทุกอย่างให้ความรู้สึกเหมือนค้นพบเมื่อคุณทำสิ่งนั้น ตัวเลือกบางอย่างสะท้อนสิ่งที่เราพบในโลกแห่งความเป็นจริง เช่น สัจพจน์ของเรขาคณิตที่เราทำงานด้วย ซึ่งได้รับการเลือกเพราะนั่นดูเหมือนจะเป็นความจริงโดยประมาณ แม้ว่าจะอยู่ที่นั่นก็ตาม ก็ไม่มีสิ่งที่เรียกว่า "จุด" หรือ " เส้น” (เพราะเราไม่สามารถวาดสิ่งที่ไม่กินพื้นที่ได้ และเส้นในเรขาคณิตไม่มีความกว้างและขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุด)

มีความคล้ายคลึงกับความต่อเนื่องในวรรณคดีในระดับหนึ่ง เมื่อคุณกำหนดกฎของโคลง คุณจะยากลำบากในการเขียนโคลงที่บรรทัดแรกลงท้ายด้วย "สีส้ม" หรือ "ปล่องไฟ"

แต่ฉันอดไม่ได้ที่จะแบ่งปันบางสิ่งที่ J.R.R. โทลคีนกล่าวถึงการเขียน ฮอบบิท: “เรื่องมันเริ่มต้นตอนที่ผมอ่านข้อสอบเพื่อหารายได้พิเศษนิดหน่อย … วันหนึ่งฉันเจอหน้าว่างในหนังสือสอบและฉันก็ขีดเขียนลงไป 'ในหลุมใต้ดินมีฮอบบิทอาศัยอยู่' ฉันไม่รู้อะไรเกี่ยวกับสิ่งมีชีวิตพวกนั้นมากไปกว่านี้ และเป็นเวลาหลายปีก่อนที่เรื่องราวของเขาจะเติบโตขึ้น ฉันไม่รู้ว่าคำนี้มาจากไหน”

ฮอบบิท - เขาสร้างพวกมันหรือค้นพบพวกมัน?