รูปทรงเรขาคณิตอย่างง่ายเบื้องหลังการอบบราวนี่และพื้นที่เท่ากัน

เมื่อคืน Gina นักเรียนเรขาคณิตนอนดึกเกินไปทำการบ้านในขณะที่ดู The Great Bake Off ของอังกฤษดังนั้นเมื่อเธอเข้านอนในที่สุด จิตใจที่ง่วงนอนของเธอยังคงเต็มไปด้วยคัพเค้กและเข็มทิศ สิ่งนี้นำไปสู่ความฝันที่แปลกประหลาดที่สุด

Gina พบว่าตัวเองเป็นผู้ตัดสินของ Great Brownie Bake Off ที่ Imaginary University ซึ่งเป็นโรงเรียนที่นักเรียนได้เรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตมากมาย แต่เลขคณิตน้อยมาก ทีมของนักเรียน Imaginary U ได้รับมอบหมายให้ทำบราวนี่ชิ้นใหญ่ที่สุดเท่าที่จะทำได้ และขึ้นอยู่กับ Gina ที่จะตัดสินผู้ชนะ

ทีมอัลฟ่าทำสำเร็จเป็นคนแรก และพวกเขาภูมิใจนำเสนอบราวนี่สี่เหลี่ยมของตนเพื่อการตัดสิน จีน่าดึงไม้บรรทัดออกมาแล้ววัดบราวนี่: ยาว 16 นิ้วและกว้าง 9 นิ้ว Team Beta ตามมาอย่างรวดเร็วด้วยบราวนี่สี่เหลี่ยมซึ่งวัดได้ 12 นิ้วในแต่ละด้าน นั่นคือตอนที่ปัญหาเริ่มต้นขึ้น

“บราวนี่ของเรายาวกว่าของคุณมาก” กัปตันทีม Alpha กล่าว “ของเราใหญ่กว่าอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้น เราจึงเป็นผู้ชนะ!”

“แต่ด้านสั้นของสี่เหลี่ยมผืนผ้าของคุณสั้นกว่าด้านสี่เหลี่ยมของเรามาก” ตัวแทนจาก Team Beta กล่าว “จัตุรัสของเราใหญ่ขึ้นอย่างเห็นได้ชัด เราชนะแล้ว!”

จีน่ารู้สึกแปลกที่จะโต้เถียงเรื่องนี้ “พื้นที่ของบราวนี่สี่เหลี่ยมคือ 9 คูณ 16 ซึ่งเท่ากับ 144 ตารางนิ้ว” เธอกล่าว “พื้นที่ของบราวนี่สี่เหลี่ยมคือ 12 คูณ 12 ซึ่งเท่ากับ 144 ตารางนิ้ว บราวนี่มีขนาดเท่ากัน: มันเสมอกัน”

ทั้งสองทีมดูงุนงง “ฉันไม่เข้าใจที่คุณหมายถึงคำว่า 'เวลา'” นักเรียนคนหนึ่งซึ่งไม่เคยถูกสอนเรื่องการคูณกล่าว “ฉันก็ไม่” อีกคนหนึ่งพูด คนที่สามพูดว่า “ฉันได้ยินเกี่ยวกับนักเรียนที่วิทยาลัยคอมเพล็กซ์ใช้ตัวเลขเพียงครั้งเดียว แต่นั่นหมายความว่าอย่างไร” มหาวิทยาลัยในจินตนาการเป็นสถานที่ที่แปลกจริง ๆ แม้กระทั่งความฝันก็ตาม

จีน่าไปทำอะไรมา? เธอจะโน้มน้าวทีมได้อย่างไรว่าบราวนี่ของพวกเขามีขนาดเท่ากัน หากพวกเขาไม่เข้าใจวิธีการวัดพื้นที่และการคูณตัวเลข โชคดีที่ Gina มีความคิดที่ชาญฉลาด “เอามีดมาให้ฉัน” เธอพูด

จีน่าวัดด้านยาวของบราวนี่สี่เหลี่ยมลงไป 12 นิ้ว แล้วตัดขนานกับด้านสั้น สิ่งนี้ทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่กลายเป็นสองอันที่เล็กกว่า อันหนึ่งขนาด 9 คูณ 12 และอีกอันมีขนาด 9 คูณ 4 ด้วยการตัดอย่างรวดเร็วสามครั้ง เธอเปลี่ยนชิ้นส่วนขนาด 9 คูณ 4 เป็นชิ้นขนาด 3 คูณ 4 ที่เล็กกว่าสามชิ้น การจัดเรียงใหม่เล็กน้อยทำให้เกิดเสียง อู้ อู และ อ่า จากฝูงชน: Gina เปลี่ยนสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้เป็นแบบจำลองของจัตุรัส

ทั้งสองทีมต้องตกลงกันว่าบราวนี่ของพวกเขามีขนาดเท่ากัน ด้วยการผ่าชิ้นหนึ่งและจัดเรียงใหม่เพื่อสร้างอีกชิ้นหนึ่ง จีน่าแสดงให้เห็นว่าบราวนี่ทั้งสองกินพื้นที่ทั้งหมดเท่ากัน การผ่าเช่นนี้ถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตเป็นเวลาหลายพันปีเพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวเลขมีขนาดเท่ากัน และมีผลลัพธ์ที่น่าทึ่งมากมายเกี่ยวกับการผ่าและการเท่ากัน แม้แต่นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันก็ยังใช้การผ่าและการจัดเรียงใหม่เพื่อทำความเข้าใจอย่างถ่องแท้เมื่อรูปร่างบางอย่างเท่ากัน ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ล่าสุดที่น่าประหลาดใจ

คุณคงเคยเห็นการผ่าทางเรขาคณิตในชั้นเรียนคณิตศาสตร์เมื่อพัฒนาสูตรพื้นที่สำหรับรูปทรงพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น คุณอาจจำได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากับความยาวของฐานคูณด้วยความสูง เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถผ่าและจัดเรียงใหม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

การผ่านี้แสดงให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานและความสูงเท่ากัน ซึ่งใครก็ตามที่ไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัยจินตภาพจะรู้ดีว่าเป็นผลคูณของตัวเลขสองตัวนี้

เมื่อพูดถึง Imaginary U แล้ว Great Brownie Bake Off เพิ่งเริ่มร้อนขึ้น ทีมแกมม่าเดินเข้ามาพร้อมบราวนี่รูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ “นี่คือผู้ชนะ” พวกเขาประกาศอย่างกล้าหาญ “ทั้งสองข้างของเรายาวกว่าข้างอื่นมาก”

จีน่าวัดรอบด้าน “ที่นี่มีพื้นที่เดียวกันด้วย!” เธออุทาน “นี่คือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และขาวัดได้ 18 และ 16 ดังนั้นพื้นที่คือ … ” จีน่าหยุดชั่วขณะ สังเกตเห็นสีหน้างุนงงของทุกคน “โอ้ ไม่เป็นไร แค่ส่งมีดมาให้ฉัน”

Gina หั่นจากจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากไปยังจุดกึ่งกลางของขาที่ยาวขึ้นอย่างช่ำชอง จากนั้นหมุนสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นใหม่เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สมบูรณ์แบบเมื่อวางลงในชิ้นที่ใหญ่กว่า

“นั่นคือบราวนี่ของเรา!” ร้องเรียกทีมอัลฟ่า แน่นอนว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ได้คือ 9 คูณ 16: ขนาดเท่ากันเป๊ะๆ

Team Beta มีข้อสงสัย “แต่สามเหลี่ยมนี้เทียบกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเราได้อย่างไร” หัวหน้าทีมของพวกเขาถาม

จีน่าพร้อมสำหรับสิ่งนั้น “เราทราบอยู่แล้วว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นเมื่อพิจารณาจากลักษณะการเคลื่อนผ่านของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงมีขนาดเท่ากัน” สภาพเปลี่ยนผ่านเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของความเท่าเทียมกัน มันบอกว่าถ้า a = b และ b = cแล้ว a = c. จีน่ากล่าวต่อว่า “ถ้าพื้นที่ของบราวนี่ชิ้นแรกเท่ากับพื้นที่ของชิ้นที่สอง และพื้นที่ของบราวนี่ชิ้นที่สองเท่ากับพื้นที่ของชิ้นที่สาม บราวนี่ชิ้นแรกและชิ้นที่สามจะต้องมีพื้นที่เท่ากันด้วย”

แต่จีน่าสนุกกับการผ่ามากเกินกว่าจะหยุดอยู่แค่นั้น “หรือเราจะตัดเพิ่มอีกสองสามชิ้นก็ได้”

จีน่าคนแรกหมุนสี่เหลี่ยมที่เคยเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นเธอก็ตัดมันโดยใช้รูปแบบเดียวกับที่เธอใช้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้าของทีมอัลฟ่า

จากนั้นเธอก็แสดงให้เห็นว่าการตัดสามเหลี่ยม Team Gamma ใหม่นี้สามารถเปลี่ยนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของทีมเบต้าได้อย่างไร เหมือนกับที่เธอทำกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าของทีมอัลฟ่า

ในสถานการณ์นี้ เราบอกว่ารูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น "กรรไกรที่สอดคล้องกัน": คุณสามารถจินตนาการว่าใช้กรรไกรตัดรูปหนึ่งออกเป็นชิ้นเล็กๆ น้อยๆ ที่สามารถจัดเรียงใหม่เป็นอีกรูปหนึ่งได้ ในกรณีของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม บราวนี่แสดงให้เห็นว่ากรรไกรนี้ทำงานสอดคล้องกันอย่างไร

โปรดสังเกตว่ารูปแบบทำงานในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง: สามารถใช้เพื่อเปลี่ยนสามเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมให้เป็นสามเหลี่ยม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสอดคล้องกันของกรรไกรจะสมมาตร: ถ้ารูปร่าง A เป็นกรรไกรที่สอดคล้องกับรูปร่าง B รูปร่าง B ก็จะเป็นรูปกรรไกรที่สอดคล้องกับรูปร่าง A ด้วย

ในความเป็นจริง ข้อโต้แย้งข้างต้นที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้า และสี่เหลี่ยมจัตุรัสแสดงให้เห็นว่าความสอดคล้องกันของกรรไกรยังเป็นสกรรมกริยา เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมคือกรรไกรซึ่งอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือกรรไกรซึ่งอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสามเหลี่ยมจึงเป็นรูปกรรไกรที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หลักฐานอยู่ในรูปแบบ: เพียงวางทับบนรูปร่างตรงกลาง เช่นเดียวกับที่ทำกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านบน

หากคุณตัดสามเหลี่ยมเป็นชิ้นๆ แล้วสร้างเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้ตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นชิ้นๆ แล้วสร้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณสามารถใช้ชิ้นส่วนที่ได้มาสร้างเป็นรูปทรงใดก็ได้จากสามรูปทรงนี้

ความจริงที่ว่าความสอดคล้องกันของกรรไกรเป็นสกรรมกริยาเป็นหัวใจของผลลัพธ์ที่น่าทึ่ง: หากรูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีพื้นที่เท่ากัน พวกมันก็คือกรรไกรที่สอดคล้องกัน ซึ่งหมายความว่า เมื่อมีรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน คุณสามารถตัดรูปหนึ่งออกเป็นจำนวนจำกัดและจัดเรียงใหม่เพื่อสร้างรูปอีกรูปหนึ่งได้

การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่น่าทึ่งนี้ยังตรงไปตรงมาอย่างน่าทึ่ง ขั้นแรก แบ่งแต่ละรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยม

ประการที่สอง เปลี่ยนสามเหลี่ยมแต่ละอันให้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า คล้ายกับที่จีน่าจัดเรียงบราวนี่สามเหลี่ยมใหม่

ตอนนี้มาถึงส่วนทางเทคนิคที่ยุ่งยาก: เปลี่ยนสี่เหลี่ยมแต่ละอันให้เป็นสี่เหลี่ยมใหม่ที่กว้างหนึ่งหน่วย

ในการทำเช่นนี้ ให้เริ่มตัดชิ้นส่วนจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างหนึ่งหน่วย

หากคุณสามารถตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นจำนวนชิ้นที่มีความกว้าง 1 ได้ คุณก็เสร็จแล้ว เพียงวางซ้อนกัน มิฉะนั้น ให้หยุดสับเมื่อชิ้นสุดท้ายมีความกว้างระหว่าง 1 ถึง 2 หน่วย และวางส่วนที่เหลือทับกัน

ไม่ต้องกังวลหากสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความกว้างน้อยกว่า 1 หน่วย: เพียงผ่าครึ่งแล้วใช้สองชิ้นเพื่อสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหม่ที่ยาวขึ้นสองเท่าและหนาขึ้นครึ่งหนึ่ง ทำซ้ำตามความจำเป็นจนกว่าคุณจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างระหว่าง 1 ถึง 2 หน่วย

ลองจินตนาการว่าสี่เหลี่ยมสุดท้ายนี้มีความสูง h และความกว้าง w, กับ 1 w < 2. เราจะตัดสี่เหลี่ยมนั้นออกแล้วจัดเรียงใหม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีความกว้าง 1 และสูง h × w. ในการทำเช่นนี้ ให้วางทับ h × w สี่เหลี่ยมตามต้องการ hw × 1 สี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบนี้

จากนั้นตัดจากมุมหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่งตามเส้นประ และตัดสามเหลี่ยมเล็กๆ ที่ด้านล่างขวาตามขอบด้านขวาของ hw × 1 สี่เหลี่ยมผืนผ้า

นี้ตัด h × w สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสามชิ้นที่สามารถจัดเรียงใหม่เป็น hw × 1 สี่เหลี่ยมผืนผ้า (การให้เหตุผลในการแยกส่วนสุดท้ายนี้ต้องใช้ข้อโต้แย้งที่ชาญฉลาดที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ดูรายละเอียดแบบฝึกหัดด้านล่าง)

สุดท้าย วางสี่เหลี่ยมสุดท้ายนี้ไว้บนสุดของสแต็ก และคุณก็เปลี่ยนรูปหลายเหลี่ยมนี้ — จริงๆ แล้วเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ — เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 1

ทีนี้ ถ้าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเดิมคือ Aแล้วความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้จะต้องเท่ากับ Aดังนั้นทุกรูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่ A คือกรรไกรที่มีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 1 และความสูง A. นั่นหมายความว่าหากรูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีพื้นที่ Aแล้วทั้งสองก็เป็นกรรไกรที่เสมอกันในสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียวกัน ดังนั้นโดยปริยายแล้ว พวกมันจึงเป็นกรรไกรที่สอดคล้องกัน นี่แสดงให้เห็นว่าทุกรูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่ A เป็นกรรไกรที่เท่ากันทุกประการกับรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ที่มีขนาดพื้นที่ A.

แต่ผลลัพธ์ที่ทรงพลังนี้ก็ยังไม่เพียงพอที่จะตัดสินให้ Brownie Bake Off จาก Imaginary University ประสบความสำเร็จ ยังเหลืออีกหนึ่งรายการและไม่มีใครแปลกใจกับสิ่งที่ Team Pi ปรากฏตัว

ทันทีที่ Gina เห็นวงกลมนั้นมา เธอตื่นขึ้นจากความฝันด้วยเหงื่อเย็น เธอรู้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดวงกลมออกเป็นชิ้นๆ จำนวนจำกัด แล้วจัดเรียงใหม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ในปี พ.ศ. 1964 นักคณิตศาสตร์ Lester Dubins, Morris Hirsch และ Jack Karush ได้พิสูจน์ว่าวงกลมไม่ใช่รูปกรรไกรที่สอดคล้องกับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ความฝันของ Gina กลายเป็นฝันร้ายทางเรขาคณิต

แต่อย่างที่มักทำกันเสมอ นักคณิตศาสตร์เปลี่ยนสิ่งกีดขวางนี้ให้เป็นคณิตศาสตร์ใหม่ ในปี 1990 Miklós Laczkovich พิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะผ่าวงกลมแล้วจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตราบใดที่คุณสามารถใช้ชิ้นส่วนเล็กๆ ไร้รอยต่อ ไร้รอยต่อ รอยหยักไม่สิ้นสุด ซึ่งไม่สามารถทำได้ด้วยกรรไกรคู่หนึ่ง

ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจและน่าตื่นเต้นพอๆ กับผลลัพธ์ของ Laczkovich คือมันพิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าการสลายตัวดังกล่าวเป็นไปได้ในทางทฤษฎีเท่านั้น มันไม่ได้อธิบายวิธีสร้างชิ้นส่วน แต่เพียงว่ามันมีอยู่จริง ซึ่งเป็นจุดที่ Andras Máthé, Oleg Pikhurko และ Jonathan Noel เข้ามา: ในช่วงต้นปี 2022 พวกเขา ลงกระดาษ ซึ่งตรงกับความสำเร็จของ Laczkovich แต่มีชิ้นส่วนที่สามารถจินตนาการได้

น่าเสียดาย คุณจะไม่สามารถใช้ผลลัพธ์เพื่อยุติการอบบราวนี่ได้ กรรไกรเพียงอย่างเดียวไม่สามารถสร้าง 10 ได้²⁰⁰ ชิ้นที่จำเป็นในการย่อยสลาย แต่มันเป็นความก้าวหน้าอีกขั้นในการตอบคำถามยาวเหยียดที่เริ่มขึ้นเมื่ออาร์คิมีดีสคิดค้นหรือค้นพบ $latex pi$ เป็นครั้งแรก และช่วยให้เราก้าวไปสู่การคิดค้นหรือค้นพบคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ที่คนรุ่นก่อนๆ นึกไม่ถึง

การออกกำลังกาย

1. อธิบายว่าเรารู้ได้อย่างไรว่าจากสูตรการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยมที่เราตัดออกจะพอดีกับช่องว่างอีกด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานพอดี

2. อธิบายว่าเหตุใดจึงสามารถผ่าสามเหลี่ยมใดๆ ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

สำหรับแบบฝึกหัดที่ 3 และ 4 ให้พิจารณาแผนภาพที่ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า h × w สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือกรรไกรที่สอดคล้องกับ hw × 1 สี่เหลี่ยมผืนผ้า มีจุดกำกับ

3. อธิบายว่าทำไม $latex triangle$ เอ็กซ์วายคิว คล้ายกับ $latextriangle$ เอบีเอ็กซ์. สิ่งนี้ทำให้ความยาวของ QY?

4. อธิบายว่าทำไม $latex triangle$ PCX ตรงกับ $latex triangle$ อาซคิว.