ทำไมนักคณิตศาสตร์ถึงศึกษานอต

ทฤษฎีนอตเริ่มต้นจากการพยายามทำความเข้าใจองค์ประกอบพื้นฐานของจักรวาล ในปี พ.ศ. 1867 เมื่อนักวิทยาศาสตร์กระหายใคร่ครวญอย่างกระตือรือร้นที่จะคิดออกว่าสิ่งใดสามารถอธิบายสสารประเภทต่างๆ ได้ทั้งหมด นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสก็อต Peter Guthrie Tait ได้แสดงให้เพื่อนและเพื่อนร่วมชาติของเขา เซอร์ วิลเลียม ทอมสัน อุปกรณ์ของเขาในการสร้างวงแหวนควัน ทอมสัน - ต่อมากลายเป็นลอร์ดเคลวิน (ชื่อเดียวกับมาตราส่วนอุณหภูมิ) - หลงใหลในรูปร่างที่น่าดึงดูดใจของวงแหวน ความมั่นคง และปฏิสัมพันธ์ของแหวน แรงบันดาลใจของเขานำเขาไปสู่ทิศทางที่น่าประหลาดใจ: บางที เขาคิดว่าในขณะที่วงแหวนควันเป็นกระแสน้ำวนในอากาศ อะตอมก็ถูกผูกเป็นวงแหวนน้ำวนในอีเทอร์เรืองแสง ซึ่งเป็นสื่อกลางที่มองไม่เห็นซึ่งนักฟิสิกส์เชื่อว่ามีการแพร่กระจายของแสง

แม้ว่าความคิดในยุควิกตอเรียนี้อาจฟังดูไร้สาระ แต่ก็ไม่ใช่การสืบสวนที่ไร้สาระ ทฤษฎีกระแสน้ำวนนี้มีหลายอย่างที่จะแนะนำ: ความหลากหลายของนอต ซึ่งแต่ละอันแตกต่างกันเล็กน้อย ดูเหมือนจะสะท้อนคุณสมบัติที่แตกต่างกันขององค์ประกอบทางเคมีจำนวนมาก ความเสถียรของวงแหวนกระแสน้ำวนอาจให้ความคงทนที่อะตอมต้องการ

ทฤษฎีกระแสน้ำวนได้รับแรงฉุดลากในชุมชนวิทยาศาสตร์และเป็นแรงบันดาลใจให้ Tait เริ่มจัดตารางนอตทั้งหมด สร้างสิ่งที่เขาหวังว่าจะเทียบเท่ากับตารางธาตุ แน่นอน อะตอมไม่ใช่นอต และไม่มีอีเธอร์ ในช่วงปลายยุค 1880 Thomson ค่อยๆ ละทิ้งทฤษฎีกระแสน้ำวนของเขา แต่แล้ว Tait ก็หลงใหลในความสง่างามทางคณิตศาสตร์ของปมของเขา และเขาก็ดำเนินโครงการจัดตารางต่อไป ในกระบวนการนี้ เขาได้ก่อตั้งสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีเงื่อน

เราทุกคนต่างคุ้นเคยกับเงื่อนงำ — พวกมันเก็บรองเท้าไว้บนเท้า เรือที่จอดไว้กับท่าเทียบเรือ และนักปีนเขาจากโขดหินเบื้องล่าง แต่ปมเหล่านั้นไม่ใช่สิ่งที่นักคณิตศาสตร์ (รวมถึง Tait) เรียกว่าเป็นปม แม้ว่าสายต่อที่พันกันอาจดูเหมือนผูกปม แต่ก็สามารถคลี่คลายได้เสมอ เพื่อให้ได้ปมทางคณิตศาสตร์ คุณต้องต่อปลายสายที่ว่างเข้าด้วยกันเพื่อสร้างลูปปิด

เนื่องจากปมของปมนั้นยืดหยุ่นเหมือนเชือก นักคณิตศาสตร์จึงมองว่าทฤษฎีปมเป็นฟิลด์ย่อยของ โทโพโลยี,การศึกษารูปทรงอ่อนตัว. บางครั้งสามารถแก้ปมให้หายขาดได้ ดังนั้นมันจึงกลายเป็นวงกลมธรรมดาๆ ซึ่งเราเรียกว่า "unnot" แต่บ่อยครั้งที่การแก้เงื่อนปมเป็นไปไม่ได้

นอตยังสามารถรวมกันเป็นนอตใหม่ได้ ตัวอย่างเช่น การรวมปมธรรมดาที่เรียกว่าพระฉายาลักษณ์กับภาพสะท้อนในกระจกทำให้เกิดปมสี่เหลี่ยม (และถ้าคุณรวมนอตพระฉายาลักษณ์ที่เหมือนกันสองนอต คุณจะทำเป็นปมยาย)

นักคณิตศาสตร์ใช้คำศัพท์เฉพาะในโลกของตัวเลข โดยกล่าวว่าพระไตรปิฎกเป็นปมที่สำคัญ นอตสี่เหลี่ยมประกอบขึ้นเป็นชุด และเช่นเดียวกับหมายเลข 1 ไม่ทราบน็อตก็ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง การเปรียบเทียบนี้ได้รับการสนับสนุนเพิ่มเติมในปี 1949 เมื่อ Horst Schubert พิสูจน์ว่าทุกนอตเป็นจำนวนเฉพาะหรือสามารถแยกย่อยเป็นนอตเฉพาะได้

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างนอตใหม่คือการพันนอตตั้งแต่สองอันขึ้นไปเพื่อสร้างเป็นลิงค์ แหวน Borromean ที่ตั้งชื่อตามที่ปรากฏบนแขนเสื้อของ Italian House of Borromeo เป็นตัวอย่างง่ายๆ

ทอมสันและเทตไม่ใช่คนแรกที่มองนอตด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์ เร็วเท่าที่ 1794 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เขียนเกี่ยวกับและวาดภาพตัวอย่างนอตลงในสมุดบันทึกส่วนตัวของเขา และ Johann Listing นักเรียนของ Gauss ได้เขียนเกี่ยวกับนอตในเอกสารของเขาในปี 1847 Vorstudien zur โทโพโลยี (“การศึกษาเบื้องต้นของโทโพโลยี”) — ซึ่งเป็นที่มาของคำว่าโทโพโลยีเช่นกัน

แต่เทตเป็นนักวิชาการคนแรกที่ทำงานเกี่ยวกับสิ่งที่กลายเป็นปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีเงื่อน นั่นคือการจำแนกและการจัดหมวดหมู่ของนอตที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตลอดหลายปีของการทำงานอันอุตสาหะโดยใช้เพียงสัญชาตญาณทางเรขาคณิตของเขา เขาพบและจำแนกนอตที่สำคัญทั้งหมดที่เมื่อฉายบนเครื่องบิน จะมีจุดผ่านสูงสุดเจ็ดจุด

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 Tait ได้เรียนรู้ว่าอีกสองคนคือ Rev. Thomas Kirkman และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Charles Little กำลังศึกษาปัญหานี้เช่นกัน ด้วยความพยายามร่วมกัน พวกเขาจำแนกนอตที่สำคัญทั้งหมดที่มีการข้ามสูงสุด 10 ครั้ง และหลายนอตที่มีทางข้าม 11 ครั้ง น่าแปลกที่โต๊ะของพวกเขามีครบถึง 10 โต๊ะ: พวกเขาไม่พลาดนอตใดๆ

เป็นเรื่องน่าทึ่งที่ Tait, Kirkman และ Little ประสบความสำเร็จอย่างมากโดยไม่มีทฤษฎีบทและเทคนิคต่างๆ ที่จะถูกค้นพบในปีต่อๆ ไป แต่สิ่งหนึ่งที่ได้ผลในความโปรดปรานของพวกเขาคือข้อเท็จจริงที่ว่านอตเล็กๆ ส่วนใหญ่ "สลับกัน" หมายความว่าพวกมันมีเส้นโครงที่จุดตัดแสดงรูปแบบโอเวอร์-อันเดอร์-โอเวอร์-อันเดอร์ที่สอดคล้องกัน

นอตสลับมีคุณสมบัติที่ทำให้จำแนกได้ง่ายกว่านอตที่ไม่สลับกัน ตัวอย่างเช่น การหาจำนวนจุดข้ามขั้นต่ำสำหรับการคาดคะเนของปมเป็นเรื่องยาก แต่ Tait ผู้ซึ่งสันนิษฐานว่านอตทั้งหมดสลับกันอย่างผิดพลาดมาหลายปี คาดเดาวิธีที่จะบอกว่าคุณพบจำนวนขั้นต่ำนั้นหรือไม่: หากการฉายภาพแบบสลับกันไม่มีจุดตัดที่สามารถเอาออกได้โดยการพลิกปมส่วนหนึ่งของปม จะต้องเป็น การฉายภาพที่มีจำนวนข้ามขั้นต่ำ

ข้อสันนิษฐานนี้และอีกสองข้อของ Tait เกี่ยวกับการสลับปมก็กลายเป็นความจริง ทว่าการคาดเดาที่มีชื่อเสียงเหล่านี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์จนกระทั่งปลายทศวรรษ 1980 และต้นยุค 90 โดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่วอห์น โจนส์พัฒนาขึ้นในปี 1984 ผู้ซึ่งได้รับรางวัล Fields Medal จากผลงานของเขาในทฤษฎีปม

น่าเสียดายที่การสลับปมนำคุณไปไกลเท่านั้น เมื่อเราเข้าสู่นอตด้วยการข้ามแปดครั้งขึ้นไป จำนวนนอตที่ไม่สลับกันจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ทำให้เทคนิคของเทตมีประโยชน์น้อยลง

ตารางเดิมของนอตข้ามทั้งหมด 10 นอตเสร็จสมบูรณ์ แต่เทต เคิร์กแมน และลิตเติ้ลนับสองครั้ง จนกระทั่งช่วงทศวรรษ 1970 ที่ Kenneth Perko นักกฎหมายผู้ศึกษาทฤษฎีเงื่อนที่ Princeton สังเกตเห็นว่านอตสองอันเป็นภาพสะท้อนของกันและกัน ตอนนี้พวกเขาเป็นที่รู้จักในฐานะคู่ Perko เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

ตลอดศตวรรษที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบวิธีที่ชาญฉลาดมากมายในการพิจารณาว่านอตมีความแตกต่างกันอย่างแท้จริงหรือไม่ โดยพื้นฐานแล้ว ความคิดคือเพื่อ ระบุค่าคงที่ — คุณสมบัติ ปริมาณ หรือเอนทิตีเกี่ยวกับพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับปมและมักจะคำนวณได้ง่ายๆ (คุณสมบัติเหล่านี้มีชื่ออย่างเช่น ความสามารถในการเปลี่ยนสี หมายเลขบริดจ์ หรือการหมุน) นักคณิตศาสตร์สามารถเปรียบเทียบนอตสองนอตได้อย่างง่ายดาย หากใช้ป้ายกำกับต่างกัน แสดงว่าโหนดไม่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม ไม่มีคุณสมบัติใดที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่าค่าคงที่ที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่านอต XNUMX ตัวที่ต่างกันอาจมีคุณสมบัติเหมือนกัน

เนื่องจากความซับซ้อนทั้งหมดนี้ จึงไม่น่าแปลกใจเลยที่การจัดปมยังคงดำเนินต่อไป ล่าสุดในปี 2020 เบนจามิน เบอร์ตัน จำแนกนอตที่สำคัญทั้งหมด มากถึง 19 ทางข้าม (ซึ่งมีเกือบ 300 ล้าน)

ทฤษฎีปมแบบดั้งเดิมนั้นสมเหตุสมผลในสามมิติเท่านั้น: ในสองมิติมีเพียงนอตเท่านั้นที่เป็นไปได้ และในสี่มิติ ห้องพิเศษช่วยให้ปมคลายตัวเองได้ ดังนั้นทุกปมจึงเหมือนกับนอนอต

อย่างไรก็ตาม ในอวกาศสี่มิติ เราสามารถผูกทรงกลมได้ เพื่อให้เข้าใจความหมายของสิ่งนี้ ลองนึกภาพหั่นทรงกลมธรรมดาเป็นช่วงๆ การทำเช่นนี้ทำให้เกิดวงกลม เช่น เส้นละติจูด อย่างไรก็ตาม หากเรามีมิติพิเศษ เราสามารถผูกทรงกลมเพื่อให้ชิ้นที่ตอนนี้เป็นแบบสามมิติแทนที่จะเป็นสองชิ้นสามารถเป็นปมได้

แนวคิดนี้อยู่เบื้องหลังหนึ่งในผลลัพธ์ล่าสุดที่ใหญ่ที่สุดในทฤษฎีนอต ในปี 2018 นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา Lisa Piccirillo ตัดสินคำถาม 50 ปี เกี่ยวกับปม 11 ทางที่ค้นพบครั้งแรกโดย John Conway คำถามเกี่ยวกับคุณสมบัติที่เรียกว่าการแบ่งส่วน ดังที่เราได้เห็น เมื่อเราผ่าทรงกลมที่ผูกปมเป็นสี่มิติ เราจะได้ปมหรือส่วนเชื่อมโยงในสามมิติ บางครั้งเราสามารถได้ปมที่กำหนดจากทรงกลมที่ผูกปมอย่างสวยงาม แต่สำหรับนอตอื่นๆ ทรงกลมนั้นจะต้องผูกเป็นปมและย่นเหมือนเศษกระดาษ Piccirillo พิสูจน์แล้วโดยพื้นฐานแล้วว่าเงื่อนของ Conway เป็นประเภทหลัง ในศัพท์แสงทางเทคนิค เธอพิสูจน์แล้วว่ามันไม่ใช่

ทฤษฎีนอตได้ข้ามแนวคณิตศาสตร์มาหลายศตวรรษ มันเริ่มต้นเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดย Thomson พยายามใช้นอตเพื่อทำความเข้าใจองค์ประกอบของสสาร เมื่อความคิดนั้นจางหายไป มันกลายเป็นพื้นที่ของคณิตศาสตร์ล้วน ซึ่งเป็นสาขาของโดเมนโทโพโลยีที่น่าสนใจและยังใช้งานไม่ได้จริง แต่ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ทฤษฎีนอตได้กลายเป็นพื้นที่ประยุกต์ของคณิตศาสตร์อีกครั้ง เนื่องจากนักวิทยาศาสตร์ใช้แนวคิดจากทฤษฎีนอตเพื่อตรวจสอบ พลศาสตร์ของไหล, ไฟฟ้ากระแส, โมเลกุลที่ผูกปมเช่น DNA และอื่นๆ โชคดีที่ในขณะที่นักวิทยาศาสตร์กำลังยุ่งอยู่กับการศึกษาเรื่องอื่นๆ นักคณิตศาสตร์กำลังสร้างแคตตาล็อกของปมและเครื่องมือในการไขความลับของพวกเขา