Matematikçiler, Düğüm Varsayımı İçin Uzun Süren Tehdidi Ortadan Kaldırdı

60 yılı aşkın bir süre önce Ralph Fox, matematikçileri bugüne kadar rahatsız eden düğümlerle ilgili bir problem ortaya attı. Onun sorusu şimdi genellikle, görünüşte farklı iki düğüm grubunun aslında aynı olduğunu varsayan "dilim-şerit varsayımı" olarak formüle edilmiştir. Düğüm dünyasında zarif bir sadelik önerisiyle, düğüm teorisindeki en yüksek profilli problemlerden biri haline geldi. "Bu, dünyanın beklediğinizden biraz daha fazla yapılandırılmış olduğu anlamına gelir" dedi. Arunima IşınıBonn'daki Max Planck Matematik Enstitüsü'nden bir matematikçi.

Onlarca yıldır, belirli bir düğümün varsayımı çözmenin olası bir yolu olduğundan şüpheleniliyordu. yine de bir geçen yaz yayınlanan kağıt, beş matematikçi bu düğümün hiç de işe yaramayacağını buldu. Ortaya koydukları argümanlar, daha geniş bir düğüm sınıfına yeni bakış açıları sağlayacak olsa da, çalışma bir bütün olarak matematikçileri varsayım konusunda kararsız bırakıyor. "Bence bunun doğru olup olmayacağı konusunda meşru bir tartışma var" dedi. Kristen Hendricks, Rutgers Üniversitesi'nde bir matematikçi.

Dilim-şerit varsayımı iki tür düğümle ilgilidir: dilim düğümler ve şerit düğümler. Hangi düğümlerin kesildiğini bulmak, "konumuzun etrafında döndüğü temel sorulardan biri" dedi. Abhishek Mallick, yeni makalenin yazarlarından biri.

Matematiksel bir düğüm, sıradan bir ip ilmeği olarak düşünülebilir. Matematikçiler içinde düğüm olmayan basit bir döngüye "bilinmeyen" derler. (Bu, kelimenin olağan anlamıyla bir düğüm olmasa da, matematikçiler düğümün en basit örneği olarak bilinmeyeni düşünürler.)

Düğümler ayrıca, kelimenin olağan anlamıyla her zaman disk benzeri görünmese de, matematikçilerin disk dediği bir şeklin sınırını tanımlar. En basit örnek olan bilinmeyen, bir dairenin sınırını oluşturur - gerçekten de bir disk gibi görünen bir "disk". Ancak ilmek, yalnızca masanın üzerinde düz duran bir dairenin sınırını değil, aynı zamanda masanın üzerine ters yerleştirilmiş - üç boyuta uzanan - bir kasenin sınırını oluşturur. Düğümlerin tanımladığı diskler, üç boyuttan dörde genişletilebilir.

İpte bir düğüm varsa, diskler daha karmaşık hale gelir. Üç boyutlu uzayda, bu disklerin tekillikleri vardır - matematiksel olarak kötü davrandıkları noktalar. Dilim düğümleri, bu tür tekillikleri olmayan bir diski - dört boyutta - bulmanın mümkün olduğu düğümlerdir. Dilim düğümleri “sonraki en iyi şey Max Planck Enstitüsü'nden Peter Teichner'ın dediği gibi "bilinmeyene" koydu.

Buna rağmen, üç boyutlu dilim düğümleriyle sınırlanan diskler çirkin ve üzerinde çalışılması zor olabilir. Dilim şerit varsayımı, bunların mutlaka olması gerekmediğini söylüyor.

Şerit düğümler, diskleri şeritlere benzeyen düğümlerdir. Üç boyutlu olarak, bu şeritler kendi içlerinden geçebilirler, tıpkı sıradan bir şeridin merkezinden aşağı doğru açılan bir yarıktan çekilebilmesi gibi. Matematiksel olarak, böyle bir geçişe şerit tekilliği denir. Diğer tekillik türlerinin aksine, şerit tekilliği dört boyuta taşınarak kolayca ortadan kaldırılabilir. Bu, matematikçilerin tüm şerit düğümlerinin dilim olduğunu göstermesini kolaylaştırır.

Tersi - her dilim düğümünün aynı zamanda şerit olduğu - dilim-şerit varsayımıdır ve onlarca yıldır açık bir soru olmuştur. (Konuları daha da karmaşık hale getirmek için, dilim düğümlerinin "pürüzsüz dilim" ve "topolojik dilim" dahil olmak üzere birkaç ilgili sınıflandırması vardır.

Varsayımı çürütmek için, düzgünce dilimlenmiş ancak şerit olmayan bir düğüm bulmak yeterlidir. Onlarca yıldır matematikçilerin gözü bir adayın üzerindeydi: sekiz rakamı düğümünün (2, 1) kablosu, ikinci bir ipi sekiz rakamı düğümü boyunca geçirerek ve ardından iki ipi tek bir düğüm yapmak için birleştirerek yapıldı.

1980'de Akio Kawauchi, bu düğümün hem rasyonel hem de cebirsel olarak dilimlendiğini, düzgün dilimlenmeye benzer ancak tamamen aynı olmayan özellikler olduğunu kanıtladı. 1994'te Katura Miyazaki bunun şerit olmadığını kanıtladı ve matematikçiler için şüpheli bir açılış bıraktı. Kawauchi'nin sonucu, düğümün düzgün bir şekilde kesildiğini göstermek için sadece bir dokunuşla güçlendirilebilseydi, varsayımı çürütürdü.

Yeni kağıt, söz konusu düğümün her şeye rağmen kesilmediğini kanıtlıyor ve bu kapıyı çarparak kapatıyor.

Yeni makalenin yazarlarından ikisiyle yakın işbirliği içinde çalışan Hendricks, "Dilim şeridi varsayımı, hala güçlü," dedi. "Bu çok heyecan verici, çünkü insanlar bu örneği oldukça uzun bir süredir anlamaya çalışıyorlar."

Yeni kanıt, dallanmış çift kapak adı verilen bir şeye dayanıyor. Bir basketbol topu gibi içi boş bir küreyi düşünerek dallı bir çift kapak hayal edebilirsiniz. Bir basketbolun dallanmış çift örtüsünü yapmak için boylam çizgilerinden biri boyunca yukarıdan aşağıya doğru dilimleyin. Şimdi, kauçuğu kesmiş olduğunuz yerden bir tarafından çekin ve malzeme etrafını sarana kadar ekvator boyunca uzatın. Bu dönüşümü tamamladığınızda, birbiriyle değiştirilebilir iki malzeme katmanından oluşan bir basketbol topuna sahip olursunuz, dolayısıyla "çift kapak". (Bu senaryoda, lastik kırılmadan veya buruşmadan istediğiniz gibi gerilebilir ve bükülebilir.)

"Dallanmış çift kapak"taki "dallı", dönüşümün bir tuhaflığından gelir. Yatay olarak gerdiğiniz için, topun en üst ve en alt noktalarında, kuzey ve güney kutuplarında hala tek bir katman var. Bu noktalara dallanma noktaları denir ve bunların varlığı ikili örtüyü dallanmış ikili örtüye dönüştürür.

Düğümlere gelince, dallı çift kapak, dal noktaları düğümün kendisi olacak şekilde monte edilir: basketbolun kuzey ve güney kutupları gibi yalnızca bir kez kapatılan noktalar.

"Tarihsel olarak, çift dallı örtülere bakmak, ticaretin standart bir aracı olmuştur" dedi. Jennifer HomGeorgia Institute of Technology'de yeni makalenin yazarlarından ikisiyle çalışan bir matematikçi. Bunun nedeni, tıpkı bir basketbol topunun bir hava topunu çevrelemesi gibi, bir dilim düğümün dallı çift örtüsünün belirli bir dört boyutlu şekli çevrelemesidir. Matematikçiler bir düğümün dallanmış çift örtüsünün doğru 4B şekli çevrelemediğini gösterebilirlerse, düğümün dilim olma olasılığını ortadan kaldırabilirler.

Ancak bu, sekiz şeklindeki düğümün (2, 1) kablosu için pek işe yaramıyor: Dallanmış çift örtüsü, doğru tipte dört boyutlu şekli çevreliyor. Sekiz rakamı düğümünün (2, 1) kablosunun dilim olmadığını göstermek, şeklin genellikle gözden kaçan bir simetrisine bağlıdır.

Bir basketbol topunun yüzeyini dallı bir çift örtü oluşturacak şekilde gerdiğinizde, içindeki üç boyutlu hava topuna benzer bir şey yaptığınızı hayal edebilirsiniz. Kauçuğu topun etrafına çekerken havayı da onunla birlikte çekin. İki kauçuk tabakası birbirinin yerine geçebildiği gibi, hava topunda da aynı yerde son bulan iki yarım küre vardır. Başka bir deyişle, topun dışından gelen simetri içeriye doğru uzanır.

Aynı şekilde bir dilim düğümün dallanmış çift kapağındaki simetriler, içerideki 4 boyutlu uzaya ulaşır. Matematikçiler, düğümlerin dilim olmadığını göstermeye çalışırken genellikle bu simetriyi göz ardı ederler. Ama bu durumda çok önemliydi. Yeni çalışmanın yazarları böyle bir simetri olmadığını gösterebilselerdi, düğümün dilim olmadığı sonucuna varabileceklerdi.

“Çünkü soru herhangi bir simetriyi kastetmiyor, şöyle düşünürsünüz: Peki, bu konuda bir şey söylemek için simetri resme nasıl giriyor? Ama bir şekilde, sihirli bir şekilde, bu durumda simetri resme geliyor ve sorunu sizin için çözüyor," dedi. Irving Dai Stanford Üniversitesi, Kore İleri Bilim ve Teknoloji Enstitüsü'nden JungHwan Park, Matthew Stoffregen Michigan Eyalet Üniversitesi ve Sung Kyung Kang Güney Kore'deki Temel Bilimler Enstitüsü'nden.

“Bu yapının orada olduğunu biliyorduk. Ancak insanların onu incelememesinin bir nedeni de, o yapıyı takip etmemizin bir yolu olmamasıydı," dedi Ray. "Bunu tespit etmek için süslü, yüksek güçlü bir araca ihtiyacınız var."

Tartışmayı ortaya koymak için ekibin, dallanmış çift örtününkinden bile daha incelikli simetrilere dayanarak, düğüm ve onu çevreleyen alanla ilgili derin, karmaşık matematik kullanması gerekiyordu. İkiye önceki makaleler, Dai, Mallick ve Stoffregen bu özelliklerden bazılarını hesaplamıştı. Kang geçen yaz Michigan Eyaletindeki Stoffregen'i ziyaret ettiğinde, sekiz şeklindeki düğümün (2, 1) kablosu hâlâ aklındaydı, araştırmacılar bu formüllerin düğümün incelik sorununu çözeceğini çabucak anladılar. Kang, "Bana bu hesaplamanın çalışması gerektiğini söyleyen bir sezgi var," dedi. "Ve sadece hesaplayarak, şu anda bu sorunu çözebilmeliyiz."

Temmuz ayı sonlarında, makaleleri çevrimiçi olarak yayınlandı ve düğümün aslında dilim olmadığını kanıtladı. Park, makaledeki fikirlerin, dilimlenmesi şu anda söz konusu olan birçok düğüme uygulanabilir olması gerektiğini söyledi. "Bu sadece başlangıç," dedi. Bu makale belirli bir düğüme odaklansa da Park, geliştirdikleri araçların çok daha genel düğüm aileleri için işe yarayacağını söyledi. Bununla birlikte, orijinal düğümün dilimlenmemiş olması, dilim-şerit varsayımının şimdilik kararsız kalmasını sağlar.