بلیئرڈ ٹیبلز کی پراسرار ریاضی | کوانٹا میگزین

ڈزنی کی 1959 کی فلم میں ڈونلڈ ریاضی میں، ڈونلڈ بتھ، بلیئرڈ کی جیومیٹری کے راوی کی وضاحت سے متاثر ہو کر، توانائی کے ساتھ کیو گیند پر حملہ کرتا ہے۔، اسے میز کے ارد گرد ریکوشیٹ بھیجنا اس سے پہلے کہ یہ آخر کار مطلوبہ گیندوں سے ٹکرا جائے۔ ڈونلڈ نے پوچھا، "آپ کو ریاضی کے لیے یہ کیسا لگتا ہے؟"

چونکہ مستطیل بلئرڈ ٹیبلز کی چار دیواری دائیں زاویوں پر ہوتی ہے، اس لیے ڈونلڈ کی طرح بلئرڈ کی رفتار قابل قیاس اور اچھی طرح سمجھی جاتی ہے - چاہے ان پر عمل کرنا مشکل ہو۔ تاہم، تحقیقی ریاضی دان اب بھی دوسرے کثیر الاضلاع کی شکل میں بلیئرڈ گیندوں کی ممکنہ رفتار کے بارے میں بنیادی سوالات کا جواب نہیں دے سکتے ہیں (چپڑے اطراف والی شکلیں)۔ یہاں تک کہ مثلث، کثیر الاضلاع میں سب سے آسان، اب بھی اسرار رکھتے ہیں۔

کیا یہ ہمیشہ ممکن ہے کہ کسی گیند کو مارا جائے تاکہ وہ ایک ہی سمت میں سفر کرتے ہوئے اپنے نقطہ آغاز پر واپس آجائے، جس سے ایک نام نہاد متواتر مدار پیدا ہو؟ کوئی نہیں جانتا. دیگر، زیادہ پیچیدہ شکلوں کے لیے، یہ معلوم نہیں ہے کہ کیا یہ ممکن ہے کہ گیند کو ٹیبل کے کسی بھی مقام سے ٹیبل کے کسی دوسرے مقام پر مارا جائے۔

اگرچہ یہ سوالات جیومیٹری کی حدود میں آسانی سے فٹ لگتے ہیں جیسا کہ یہ ہائی اسکول میں پڑھایا جاتا ہے، لیکن ان کو حل کرنے کی کوششوں کے لیے دنیا کے چند صف اول کے ریاضی دانوں کو مختلف شعبوں بشمول ڈائنامیکل سسٹمز، ٹوپولوجی اور تفریق جیومیٹری سے خیالات لانے کی ضرورت ہے۔ ریاضی کے کسی بھی بڑے مسئلے کی طرح، ان مسائل پر کام کرنے سے ریاضی نے نئی تخلیق کی ہے اور ان دیگر شعبوں میں علم میں اضافہ کیا ہے۔ پھر بھی اس ساری کوشش کے باوجود، اور بصیرت جدید کمپیوٹرز نے برداشت کی ہے، یہ بظاہر سیدھے سادے مسائل حل کرنے کی ضد کرتے ہیں۔

ڈونالڈ بتھ کے مہاکاوی طور پر الجھنے والے شاٹ کے بعد سے ریاضی دانوں نے بلیئرڈ کے بارے میں کیا سیکھا ہے۔

وہ عام طور پر یہ فرض کرتے ہیں کہ ان کی بلئرڈ گیند ایک لامحدود چھوٹا، بغیر جہت کے نقطہ ہے اور یہ کامل توازن کے ساتھ دیواروں سے اچھالتی ہے، اسی زاویے سے روانہ ہوتی ہے جب یہ آتی ہے، جیسا کہ نیچے دیکھا گیا ہے۔

رگڑ کے بغیر، گیند غیر معینہ مدت تک سفر کرتی ہے جب تک کہ وہ ایک کونے تک نہ پہنچ جائے، جو گیند کو جیب کی طرح روکتا ہے۔ بلیئرڈز کا ریاضی کے لحاظ سے تجزیہ کرنا اس قدر مشکل ہونے کی وجہ یہ ہے کہ ایک کونے کے دونوں طرف اترنے والے دو تقریباً ایک جیسے شاٹس میں بے حد مختلف رفتار ہو سکتی ہے۔

کثیرالاضلاع بلیئرڈ کا تجزیہ کرنے کا ایک اہم طریقہ یہ ہے کہ گیند کو میز کے کنارے سے اچھالنے کے بارے میں نہ سوچیں، بلکہ یہ تصور کریں کہ جب بھی گیند دیوار سے ٹکراتی ہے، وہ میز کی ایک تازہ کاپی میں سفر کرتی رہتی ہے جو اس کے اوپر پلٹ جاتی ہے۔ کنارے، آئینے کی تصویر تیار کرتا ہے۔ یہ عمل (نیچے دیکھا گیا)، جسے بلئرڈ پاتھ کا کھلنا کہا جاتا ہے، گیند کو سیدھی لائن کی رفتار میں جاری رکھنے کی اجازت دیتا ہے۔ تصور شدہ میزوں کو ان کے پڑوسیوں پر جوڑ کر، آپ گیند کی اصل رفتار کو بحال کر سکتے ہیں۔ یہ ریاضیاتی چال اس رفتار کے بارے میں ایسی چیزوں کو ثابت کرنا ممکن بناتی ہے جو بصورت دیگر دیکھنا مشکل ہوگا۔

مثال کے طور پر، یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ سادہ مستطیل جدولوں میں ہر نقطے کے ذریعے لاتعداد متواتر رفتار کیوں ہوتی ہے۔ اسی طرح کی دلیل کسی بھی مستطیل کے لیے ہوتی ہے، لیکن کنکریٹنیس کے لیے، ایک میز کا تصور کریں جو اس کی لمبائی سے دوگنا چوڑا ہو۔

فرض کریں کہ آپ ایک متواتر مدار تلاش کرنا چاہتے ہیں جو میز کو عبور کرتا ہے۔ n طویل سمت میں بار اور m مختصر سمت میں بار. چونکہ مستطیل کی ہر آئینہ تصویر دیوار سے اچھالنے والی گیند سے مماثلت رکھتی ہے، اس لیے گیند کو اپنے نقطہ آغاز پر واپس جانے کے لیے ایک ہی سمت میں سفر کرنے کے لیے، اس کی رفتار کو میز کو دونوں سمتوں میں یکساں تعداد میں عبور کرنا چاہیے۔ تو m اور n ہموار ہونا ضروری ہے. یکساں مستطیلوں کا ایک گرڈ بچھائیں، ہر ایک کو اپنے پڑوسیوں کے آئینے کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ اصل ٹیبل پر ایک نقطہ سے ایک کاپی پر ایک جیسے نقطہ تک لائن کا حصہ کھینچیں۔ n میزیں لمبی سمت میں اور m مختصر سمت میں میزیں. اگر راستہ کسی کونے سے گزرتا ہے تو اصل نقطہ کو تھوڑا سا ایڈجسٹ کریں۔ یہاں ایک مثال ہے جہاں n = 2 اور m = 6. جب بیک اپ جوڑ دیا جاتا ہے، تو راستہ ایک متواتر رفتار پیدا کرتا ہے، جیسا کہ سبز مستطیل میں دکھایا گیا ہے۔

ایک مثلث عدم مساوات

مثلث میں بلیئرڈ، جس میں مستطیلوں کی اچھی دائیں زاویہ جیومیٹری نہیں ہوتی ہے، زیادہ پیچیدہ ہے۔ جیسا کہ آپ کو ہائی اسکول جیومیٹری سے یاد ہوگا، مثلث کی کئی قسمیں ہیں: شدید مثلث، جہاں تینوں داخلی زاویے 90 ڈگری سے کم ہوتے ہیں۔ دائیں مثلث، جن کا زاویہ 90 ڈگری ہے؛ اور موٹے مثلث، جن کا ایک زاویہ ہے جو 90 ڈگری سے زیادہ ہے۔

بلئرڈ میزیں شدید اور دائیں مثلث کی شکل میں متواتر رفتار رکھتی ہیں۔ لیکن کوئی نہیں جانتا کہ کیا یہی بات اونچی مثلث کے لیے بھی درست ہے۔

ایکیوٹ مثلث میں متواتر رفتار تلاش کرنے کے لیے، نیچے بائیں طرف نظر آنے والے ہر ایک سرے سے مخالف سمت کی طرف ایک کھڑی لکیر کھینچیں۔ ان پوائنٹس میں شامل ہوں جہاں دائیں زاویے مل کر مثلث بناتے ہیں، جیسا کہ دائیں طرف دیکھا گیا ہے۔

یہ کندہ مثلث ایک متواتر بلیئرڈ ٹریجیکٹری ہے جسے Fagnano مدار کہا جاتا ہے، جسے Giovanni Fagnano کا نام دیا گیا ہے، جس نے 1775 میں یہ ظاہر کیا کہ یہ مثلث تمام تراشے ہوئے مثلثوں کا سب سے چھوٹا دائرہ ہے۔

1990 کی دہائی کے اوائل میں، فریڈ ہولٹ نے واشنگٹن یونیورسٹی میں اور گریگوری گیلپرین اور ماسکو سٹیٹ یونیورسٹی میں اس کے ساتھی آزادانہ طور پر سے ظاہر ہوا کہ ہر دائیں مثلث کا متواتر مدار ہوتا ہے۔ اسے دکھانے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ مثلث کو ایک ٹانگ کے بارے میں اور پھر دوسری کو منعکس کرنا، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔

ایک رفتار کے ساتھ شروع کریں جو فرضی (مثلث کی لمبی طرف) کے دائیں زاویہ پر ہو۔ hypotenuse اور اس کا دوسرا انعکاس متوازی ہیں، اس لیے ان میں شامل ہونے والا ایک کھڑا لکیر کا حصّہ اس رفتار سے مماثل ہے جو ہمیشہ کے لیے آگے پیچھے اچھالتا رہے گا: گیند فرضی کو دائیں زاویہ پر چھوڑتی ہے، دونوں ٹانگوں سے اچھالتی ہے، دائیں طرف فرضی پر واپس آتی ہے۔ زاویہ، اور پھر اپنے راستے کو پیچھے ہٹاتا ہے۔

لیکن موٹے مثلث ایک معمہ بنی ہوئی ہیں۔ ان کے 1992 کے مقالے میں، گیلپرین اور اس کے ساتھیوں نے اوندھے مثلث کو اس طرح سے منعکس کرنے کے مختلف طریقے پیش کیے جو آپ کو وقفہ وقفہ سے مدار بنانے کی اجازت دیتا ہے، لیکن یہ طریقے صرف کچھ خاص معاملات کے لیے کام کرتے ہیں۔ پھر 2008 میں رچرڈ شوارٹز براؤن یونیورسٹی میں دکھایا گیا کہ تمام اوباش مثلث کے ساتھ 100 ڈگری یا اس سے کم کے زاویہ ایک متواتر رفتار پر مشتمل ہے۔ اس کے نقطہ نظر میں مسئلہ کو ایک سے زیادہ صورتوں میں تقسیم کرنا اور روایتی ریاضی اور کمپیوٹر کی مدد سے ہر معاملے کی تصدیق کرنا شامل تھا۔ 2018 میں، جیکب گاربر، بویان مارینوف، کینتھ مور اور البرٹا یونیورسٹی میں جارج ٹوکرسکی اس حد کو بڑھایا 112.3 ڈگری تک۔ (ٹوکارسکی اور مارینوف ایک دہائی سے زیادہ گزارے تھے۔ اس مقصد کا پیچھا کرنا۔)

ایک ٹاپولوجیکل موڑ

ایک اور نقطہ نظر یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے کہ اگر تمام زاویے عقلی ہیں — یعنی ان کو کسر کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے — اس سے بھی بڑے زاویوں کے ساتھ موٹے مثلث میں متواتر رفتار کا ہونا ضروری ہے۔ فلیٹ ہوائی جہاز پر صرف ایک کثیرالاضلاع کو کاپی کرنے کے بجائے، یہ نقطہ نظر کثیر الاضلاع کی نقلوں کو ٹاپولوجیکل سطحوں پر نقشہ بناتا ہے، ان میں ایک یا زیادہ سوراخ والے ڈونٹس۔

اگر آپ ایک مستطیل کو اس کے مختصر حصے پر منعکس کرتے ہیں، اور پھر دونوں مستطیلوں کو ان کے سب سے لمبے حصے پر ظاہر کرتے ہیں، اصل مستطیل کے چار ورژن بناتے ہیں، اور پھر اوپر اور نیچے کو ایک ساتھ اور بائیں اور دائیں کو ایک ساتھ چپکتے ہیں، تو آپ نے ڈونٹ بنا لیا ہوگا، یا ٹورس، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ میز پر بلیئرڈ کی رفتار ٹورس پر چلنے والی رفتار سے مطابقت رکھتی ہے، اور اس کے برعکس۔

1986 کے ایک تاریخی مضمون میں، ہاورڈ مسور اس تکنیک کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا گیا کہ عقلی زاویوں کے ساتھ تمام کثیر الاضلاع میزیں متواتر مدار رکھتی ہیں۔ اس کے نقطہ نظر نے نہ صرف موٹے مثلثوں کے لیے بلکہ اس سے کہیں زیادہ پیچیدہ شکلوں کے لیے بھی کام کیا: بے ترتیب 100 رخی میزیں، کہتے ہیں، یا کثیر الاضلاع جن کی دیواریں زگ اور زگ سے نوک اور کرینیاں بناتی ہیں، متواتر مدار رکھتی ہیں، جب تک کہ زاویے عقلی ہوں۔

کسی حد تک قابل ذکر بات یہ ہے کہ کثیرالاضلاع میں ایک متواتر مدار کا وجود لامحدود بہت سے وجود کو ظاہر کرتا ہے۔ رفتار کو تھوڑا سا تبدیل کرنے سے متعلقہ متواتر رفتار کا ایک خاندان حاصل ہوگا۔

روشنی کا مسئلہ

کونوں اور کرینیوں والی شکلیں متعلقہ سوال کو جنم دیتی ہیں۔ اپنے نقطہ آغاز پر واپس آنے والے رفتار کے بارے میں پوچھنے کے بجائے، یہ مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ کیا ٹریجٹریز دیئے گئے ٹیبل پر ہر نقطہ پر جا سکتی ہیں۔ اسے الیومینیشن کا مسئلہ کہا جاتا ہے کیونکہ ہم بلئرڈ ٹیبل کو گھیرے ہوئے عکس والی دیواروں سے منعکس کرنے والی لیزر بیم کا تصور کرکے اس کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔ ہم پوچھتے ہیں کہ کیا، کسی خاص میز پر دو پوائنٹس دیئے جانے پر، آپ ہمیشہ ایک لیزر (روشنی کی لامحدود پتلی کرن کے طور پر مثالی) کو ایک پوائنٹ سے دوسرے پوائنٹ تک چمکا سکتے ہیں۔ اسے دوسرے طریقے سے کہیں، اگر ہم میز پر ایک لائٹ بلب رکھ دیں، جو ایک ہی وقت میں تمام سمتوں میں چمکتا ہے، تو کیا یہ پورے کمرے کو روشن کر دے گا؟

اس مسئلے میں تحقیق کی دو اہم لائنیں ہیں: ایسی شکلیں تلاش کرنا جو روشن نہیں ہوسکتی ہیں اور یہ ثابت کرنا کہ اشکال کی بڑی کلاسیں ہوسکتی ہیں۔ جبکہ اوڈ بال کی شکلیں تلاش کرنا جو روشن نہیں ہوسکتی ہیں سادہ ریاضی کے ہوشیار استعمال کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، یہ ثابت کرنا کہ بہت ساری شکلیں روشن کی جا سکتی ہیں صرف بھاری ریاضیاتی مشینری کے استعمال سے ہی ممکن ہوا ہے۔

1958 میں راجر پینروس، ایک ریاضی دان جو جیتنے کے لئے آگے بڑھا فزکس میں 2020 کا نوبل انعام، ایک خمیدہ ٹیبل ملا جس میں ایک خطے کا کوئی بھی نقطہ دوسرے خطے میں کسی نقطہ کو روشن نہیں کر سکتا۔ کئی دہائیوں تک، کوئی بھی ایک کثیرالاضلاع کے ساتھ نہیں آسکتا جس کی جائیداد ایک جیسی ہو۔ لیکن 1995 میں، ٹوکرسکی نے مثلث کے بارے میں ایک سادہ سی حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے دو پوائنٹس کے ساتھ ایک بلاکش 26 رخا کثیر الاضلاع تخلیق کیا جو ایک دوسرے کے ساتھ ناقابل رسائی ہیں، ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ یعنی لیزر بیم ایک نقطے سے شاٹ ہو، خواہ اس کی سمت کچھ بھی ہو، دوسرے نقطے سے نہیں ٹکر سکتی۔

ٹوکرسکی نے اپنی خصوصی میز کی تعمیر کے دوران جو اہم خیال استعمال کیا وہ یہ تھا کہ اگر لیزر بیم 45°-45°-90° مثلث میں شدید زاویوں میں سے کسی ایک سے شروع ہوتی ہے، تو یہ کبھی بھی اس کونے میں واپس نہیں آسکتی ہے۔

اس کی جھریوں والی میز 29 ایسی مثلثوں سے بنی ہے، جو اس حقیقت کو ہوشیاری سے استعمال کرنے کے لیے ترتیب دی گئی ہے۔ 2019 میں امیت وولیکی۔، پھر تل ابیب یونیورسٹی کے ایک گریجویٹ طالب علم نے اسی تکنیک کو لاگو کیا۔ ایک شکل پیدا کریں 22 اطراف کے ساتھ (نیچے دکھایا گیا ہے)، جسے اس نے ثابت کیا کہ اس شکل کے لیے اطراف کی سب سے چھوٹی ممکنہ تعداد ہے جس کے دو اندرونی نقطے ہیں جو ایک دوسرے کو روشن نہیں کرتے ہیں۔

دوسری سمت میں نتائج کو ثابت کرنا بہت مشکل رہا ہے۔ 2014 میں اسٹینفورڈ یونیورسٹی کی ریاضی دان مریم مرزاخانی پہلی خاتون بنیں۔ فیلڈز میڈل جیتیں۔, ریاضی کا سب سے باوقار ایوارڈ، ریمن کی سطحوں کی ماڈیولی اسپیس پر اس کے کام کے لیے - ڈونٹس کی ایک قسم کی عمومی کاری جو مسور یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کرتی تھی کہ عقلی زاویوں والی تمام کثیرالاضلاع میزیں متواتر مدار رکھتی ہیں۔ 2016 میں، سیموئل لیلیور پیرس سیکلے یونیورسٹی، تھیری مونٹیل فرانسیسی قومی مرکز برائے سائنسی تحقیق اور بارک ویس تل ابیب یونیورسٹی نے مرزاخانی کے متعدد نتائج کا اطلاق کیا۔ دکھانا کہ عقلی کثیر الاضلاع میں کوئی بھی نقطہ تمام پوائنٹس کو روشن کرتا ہے سوائے محدود بہت سے کے۔ الگ تھلگ سیاہ دھبے ہوسکتے ہیں (جیسا کہ ٹوکرسکی اور وولیکی کی مثالوں میں) لیکن کوئی تاریک علاقہ نہیں جیسا کہ پینروز کی مثال میں ہے، جس کی دیواریں سیدھی ہونے کے بجائے خمیدہ ہیں۔ میں وولیکی کا 2019 کا مضمون، اس نے یہ ثابت کرکے اس نتیجے کو مضبوط کیا کہ غیر روشن پوائنٹس کے صرف محدود طور پر بہت سے جوڑے ہیں۔

افسوس کی بات ہے، مرزاخانی کا انتقال ہو گیا۔ 2017 میں 40 سال کی عمر میں، کینسر کے ساتھ جدوجہد کے بعد۔ اس کا کام پول ہالوں میں ٹرک شاٹس سے بہت دور نظر آتا تھا۔ اور پھر بھی بلیئرڈ کی رفتار کا تجزیہ کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح سب سے تجریدی ریاضی بھی اس دنیا سے جڑ سکتی ہے جس میں ہم رہتے ہیں۔