بیضوی منحنی خطوط ایک نئے نمبر سسٹم میں اپنے راز پیدا کرتے ہیں۔ کوانٹا میگزین

تحقیقی ریاضی میں بہت سی پیچیدہ پیشرفت نمبروں کے بارے میں کچھ آسان ترین سوالات کو سمجھنے کی خواہش سے حوصلہ افزائی کرتی ہے۔ پرائم نمبرز کو انٹیجرز میں کیسے تقسیم کیا جاتا ہے؟ کیا کامل کیوبز ہیں (جیسے 8 = 2³ یا 27 = 3³) جسے دو دیگر کیوبز کے مجموعہ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے؟ عام طور پر، ریاضی دان ایک مساوات کو حل کرنا چاہتے ہیں۔ لیکن خود مساوات کے ساتھ چھیڑ چھاڑ کر کے ایسا کرنا اکثر ناممکن ہوتا ہے۔ اس کے بجائے، ریاضی دان حل کو جنگلی تجریدی ڈھانچے سے جوڑنے کے طریقے تلاش کرتے ہیں جن کی پیچیدگی ان کے رازوں کو انکوڈ کرتی ہے۔

پچھلی کئی دہائیوں کے دوران، ریاضی میں تحقیق کی سب سے دلچسپ لائنوں میں سے ایک نے اس فارم کی پیروی کی ہے۔ اس میں بعض قسم کی کثیر الجہتی مساواتوں کے درمیان تعلق کو سمجھنا شامل ہے جنہیں بیضوی منحنی خطوط کہا جاتا ہے اور مزید باطنی اشیاء جنہیں ماڈیولر شکل کہا جاتا ہے، جو 1994 میں ریاضی میں اس وقت نمایاں ہوئی جب اینڈریو وائلز نے انہیں فرمیٹ کے آخری تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا، جو 20 ویں صدی کے سب سے مشہور نتائج تھے۔ ریاضی

گزشتہ جنوری میں، اینا کارائیانی امپیریل کالج لندن اور یونیورسٹی آف بون اور جیمز نیوٹن آکسفورڈ یونیورسٹی نے اس علاقے میں تحقیق کی ایک نئی رگ کھول دی۔ جب انہوں نے ثابت کیا جو وائلز نے بیضوی منحنی خطوط اور ماڈیولر شکلوں کے درمیان قائم کیا تھا وہ کچھ ریاضیاتی اشیاء کے لیے بھی رکھتا ہے جنہیں خیالی چوکور فیلڈز کہتے ہیں۔

وائلز نے ثابت کیا کہ بعض قسم کے بیضوی منحنی خطوط ماڈیولر ہوتے ہیں - یعنی ایک مخصوص ماڈیولر شکل ہوتی ہے جو ہر ایک منحنی خطوط سے مماثل ہوتی ہے - جب دو متغیرات اور دو عدد وکر کی وضاحت میں شامل ہوتے ہیں، وہ تمام عقلی اعداد ہیں، قدریں جنہیں کسر کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اپنے کام کے بعد، ریاضی دانوں نے وسیع تر سیاق و سباق میں ماڈیولریٹی قائم کرنے کی کوشش کی۔ 2001 میں چار ریاضی دانوں نے ثابت کیا کہ تمام بیضوی منحنی خطوط عقلی اعداد پر ماڈیولر ہیں (جبکہ وائلز نے صرف کچھ منحنی خطوط کے لیے یہ ثابت کیا تھا)۔ 2013 میں تین ریاضی دانوں سمیت سمیر سکسیک یونیورسٹی آف واروک نے ثابت کیا کہ بیضوی منحنی خطوط بھی ماڈیولر ہوتے ہیں۔ اصلی چوکور شعبوں سے زیادہ  (مطلب یہ ہے کہ متغیرات اور گتانک ایک عدد نظام سے لیے گئے ہیں جسے حقیقی چوکور فیلڈ کہا جاتا ہے)۔

جیسے جیسے ترقی بڑھتی گئی، ایک خاص مقصد پہنچ سے باہر رہا: یہ ثابت کرنا کہ بیضوی منحنی خطوط تصوراتی چوکور شعبوں پر ماڈیولر ہیں۔

کواڈریٹک فیلڈز عقلی اعداد اور حقیقی اعداد کے درمیان ایک ریاضیاتی قدم ہے، جس میں ہر ممکنہ اعشاریہ نمبر شامل ہیں، حتیٰ کہ اعشاریہ کے دائیں جانب لامحدود نمونوں کے ساتھ جو کبھی نہیں دہرائے جاتے ہیں۔ (اس میں تمام غیر معقول نمبر شامل ہیں، جیسے $latex sqrt{2}$ یا $latex pi $۔)

چوکور فیلڈز کچھ عدد کا انتخاب کرتے ہیں — کہتے ہیں، 5 — اور فارم کے تمام نمبرز کو شامل کرتے ہیں $latex a + bsqrt{5}$ جہاں a اور b دونوں ناطق نمبر ہیں۔ اگر زیر بحث عدد مثبت ہے، تو نتیجے میں آنے والا چوکور فیلڈ حقیقی اعداد کا ذیلی سیٹ ہے، اس لیے اسے اصلی چوکور فیلڈ کے نام سے جانا جاتا ہے۔

بیضوی منحنی خطوط کے بارے میں کیا خیال ہے جن کی وضاحت خیالی چوکور شعبوں پر کی جاتی ہے - وہ جو منفی عدد کے مربع جڑ کو لے کر بنتے ہیں؟

کارائیانی اور نیوٹن نے یہی مسئلہ حل کیا۔

سیکڑوں سال پہلے، ریاضی دانوں نے منفی نمبروں کے مربع جڑ کو سیدھے سادے طریقے سے بیان کیا: انہوں نے ایک نام دیا، i، −1 کے مربع جڑ تک۔ پھر کسی دوسرے منفی نمبر کا مربع جڑ صرف ہے۔ i متعلقہ مثبت نمبر کے مربع جڑ کا گنا۔ تو $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$۔ خیالی اعداد ریاضی میں ایک اہم کردار ادا کرتے ہیں کیونکہ بہت سے مسائل کے لیے، حقیقی نمبروں کے مقابلے میں ان کے ساتھ کام کرنا آسان ہوتا ہے۔

لیکن یہ ثابت کرنا کہ بیضوی منحنی خطوط تصوراتی چوکور کھیتوں پر ماڈیولر ہیں، طویل عرصے تک پہنچ سے باہر ہے، کیونکہ اصلی چوکور شعبوں پر ماڈیولریٹی ثابت کرنے کی تکنیک کام نہیں کرتی۔

کارائیانی اور نیوٹن نے ماڈیولریٹی حاصل کی — تمام بیضوی منحنی خطوط کے لیے تمام تخیلاتی چوکور شعبوں میں سے تقریباً نصف سے زیادہ — یہ معلوم کرکے کہ وائلز اور دیگر کے ذریعے خیالی چوکور شعبوں پر بیضوی منحنی خطوط پر ماڈیولرٹی کو ثابت کرنے کے عمل کو کیسے اپنایا جائے۔

"یہیں کارائیانی اور نیوٹن کا خوبصورت کام سامنے آیا۔ انہوں نے وائلز کے دوسرے مرحلے کو بہتر بنایا،" کہا۔ چندر شیکھر کھرے یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، لاس اینجلس۔

یہ کام اپنے طور پر ایک تکنیکی کامیابی ہے، اور یہ خیالی ترتیب میں ریاضی کے کچھ اہم ترین سوالات پر پیش رفت کرنے کا دروازہ کھولتا ہے۔

میچ میکر، میچ میکر

ریاضی دانوں نے کثیر الجہتی مساوات کے حل کے بارے میں خیال رکھا ہے - متغیرات کے مجموعے جو مستقل طاقتوں تک اٹھائے گئے ہیں - کم از کم قدیم یونانیوں کے بعد سے۔ مساوات لامتناہی قسموں میں آتی ہیں، جو متغیرات کی مقدار، ان متغیرات کے گتانک، اور ان طاقتوں کو ایڈجسٹ کرکے حاصل کی جاتی ہیں جن کے لیے وہ اٹھائے گئے ہیں۔ $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ صرف ایک مثال ہے۔

بیضوی منحنی خطوط متعدد مساوات ہیں جو ریاضیاتی استفسار کے لیے سختی کی بہترین سطح پر ہیں۔ ایک صاف ستھرا ہے (اور بڑے پیمانے پر سکھایا) ایک متغیر میں چوکور کثیر الثانیات کے حل تلاش کرنے کا فارمولا، جس میں سب سے زیادہ طاقت 2 ہے، لیکن کثیر الثانیات کے حل کے لیے ایسا کوئی فارمولا نہیں ہے جہاں سب سے زیادہ طاقت 5 یا اس سے اوپر ہو۔ مزید متغیرات کو شامل کرنا عام طور پر چیزوں کو مزید پیچیدہ بھی بنا دیتا ہے۔ لیکن بیضوی منحنی خطوط، جن کے دو متغیر ہوتے ہیں اور جن کی سب سے زیادہ طاقت 3 ہے، جیسے $latex (y^2=x^3+1)$، ایجاد کو متاثر کرنے کے لیے کافی چیلنجنگ ہیں، بغیر اتنے سخت کہ وہ نا امید محسوس کریں۔

بیضوی منحنی خطوط کے بارے میں بنیادی سوالات میں سے ایک یہ ہے کہ آیا اس کو حل کرنے والے محدود یا لامحدود بہت سے عقلی جوڑے ہیں۔ کچھ بیضوی منحنی خطوط کے پاس بہت سے عقلی حل ہوتے ہیں، دوسروں کے پاس لامحدود بہت سے ہوتے ہیں، اور کچھ کے پاس بالکل بھی نہیں ہوتا ہے۔

"ان کے ساتھ اس قسم کا مضحکہ خیز انٹرمیڈیٹ رویہ ہے،" کارائیانی نے کہا۔

اگر آپ کو ایک بے ترتیب بیضوی وکر دیا جاتا ہے، تو یہ فوری طور پر واضح نہیں ہوتا ہے کہ یہ کس زمرے میں آتا ہے۔ لیکن اسے ماڈیولر فارم نامی ایک مماثل شے کے ساتھ جوڑا بنا کر ڈی کوڈ کرنا ممکن ہے، جس کی خصوصیات جواب کو ظاہر کرتی ہیں۔

مجھے ایک ماڈیولر فارم پکڑو

ماڈیولر شکلیں وہ افعال ہیں جن کا تجزیہ میں مطالعہ کیا جاتا ہے، کیلکولس کی ایک جدید شکل۔ وہ ہیں بہت ہموار اور اکثر ترجمہ کیا جا سکتا ہے — بائیں یا دائیں منتقل کیا جا سکتا ہے — اپنی ظاہری شکل کھونے کے بغیر۔ اس طرح ان میں دیگر انتہائی ہم آہنگی افعال کے ساتھ مشترک خصوصیات ہیں، جیسے سائن فنکشن، حالانکہ وہ لکھنے یا تصور کرنے میں کم سیدھے ہیں۔

ہر ماڈیولر فارم گتانک کے ساتھ آتا ہے۔ آپ انہیں نمبروں کی ایک سیریز بنا کر لکھ سکتے ہیں۔ ان نمبروں میں بہت اچھی خصوصیات ہیں، اور یہ بے ترتیب سے بہت دور لگتے ہیں۔ انہوں نے 20ویں صدی کے اوائل میں ریاضی دانوں کو پراسرار بنایا، جب ریاضی کے ذہین سری نواسن رامانوج نے یہ سمجھنا شروع کیا کہ ماڈیولر شکل کے گتانک میں پیٹرن کی وضاحت اس حقیقت سے ہوتی ہے کہ ہر ماڈیولر شکل دوسری قسم کی شے سے منسلک ہوتی ہے جسے گیلوئس نمائندگی کہتے ہیں۔ . بعد میں کام نے لنک کی تصدیق کی۔

بیضوی منحنی خطوط میں گیلوئس کی نمائندگی بھی ہوتی ہے، اور رامانوجین کے کام کے بعد، ایسا لگتا تھا کہ گیلوئس کی نمائندگی بیضوی منحنی خطوط اور ماڈیولر شکلوں کے درمیان ہو سکتی ہے: ایک سے شروع کریں، اس کی گیلوئس کی نمائندگی کی شناخت کریں، دوسری تلاش کریں۔

"آپ سوچتے ہیں: بیضوی منحنی خطوط، جیومیٹری کی اشیاء، گیلوئس کی نمائندگی کرتی ہیں، اور ماڈیولر شکلوں میں گیلوئس کی نمائندگی ہوتی ہے - کیا کوئی مماثلت ہے؟" سکسیک نے کہا.

1950 کی دہائی کے آخر میں، Yutaka Taniyama اور Goro Shimura نے تجویز پیش کی کہ کچھ ماڈیولر شکلوں اور بیضوی منحنی خطوط کے درمیان 1 سے 1 کامل مماثلت ہے۔ اگلی دہائی میں رابرٹ لینگ لینڈز نے اپنی تعمیر میں اس خیال پر استوار کیا۔ وسیع لینگ لینڈز پروگرام، جو ریاضی میں سب سے زیادہ دور رس اور نتیجہ خیز تحقیقی پروگراموں میں سے ایک بن گیا ہے۔

اگر 1 سے 1 خط و کتابت درست ہے، تو یہ ریاضی دانوں کو بیضوی منحنی خطوط کے حل کو سمجھنے کے لیے ایک طاقتور ٹولز فراہم کرے گا۔ مثال کے طور پر، ہر ماڈیولر شکل کے ساتھ منسلک عددی قدر کی ایک قسم ہے۔ ریاضی کے سب سے اہم کھلے مسائل میں سے ایک (یہ ثابت کرنا کہ یہ a ملین ڈالر کا انعام) — برچ اور سوئنرٹن-ڈائر کا قیاس — تجویز کرتا ہے کہ اگر وہ قدر صفر ہے، تو اس ماڈیولر شکل سے وابستہ بیضوی وکر کے لامحدود طور پر بہت سے عقلی حل ہوتے ہیں، اور اگر یہ صفر نہیں ہے، تو بیضوی وکر کے پاس بہت سے عقلی حل ہوتے ہیں۔

لیکن اس سے پہلے کہ اس طرح کی کسی بھی چیز سے نمٹا جا سکے، ریاضی دانوں کو یہ جاننے کی ضرورت ہے کہ خط و کتابت ہے: مجھے ایک بیضوی وکر دیں، اور میں آپ کو اس کی مماثل ماڈیولر شکل دے سکتا ہوں۔ پچھلی چند دہائیوں سے وائلز سے لے کر کیریانی اور نیوٹن تک بہت سے ریاضی دان یہی ثابت کر رہے ہیں۔

اپنی کتاب کے ذریعے دیکھیں

وائلز کے کام سے پہلے، ریاضی دان خط و کتابت کی ایک سمت ثابت کرنے میں کامیاب ہو گئے تھے: بعض صورتوں میں وہ ماڈیولر شکل سے شروع کر سکتے تھے اور اس کے مماثل بیضوی وکر کو تلاش کر سکتے تھے۔ لیکن دوسری سمت میں جانا - جس کا مطلب ریاضی دان ہے جب وہ بیضوی منحنی خطوط کے ماڈیولر ہونے کے بارے میں بات کرتے ہیں - مشکل تھا، اور وائلز اس کو حاصل کرنے والے پہلے شخص تھے۔

“Earlier people knew how to go from a modular form to an elliptic under certain circumstances, but this backward direction from elliptic to modular was the one that Wiles motivated,” Khare said.

وائلز نے کچھ قسم کے بیضوی منحنی خطوط کے لیے ماڈیولریٹی ثابت کی جن کے عدد کے ساتھ ناطق اعداد ہیں۔ یہ بذات خود ایک تضاد کے ذریعے فرمیٹ کے آخری تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے کافی تھا۔ (وائلز نے ثابت کیا کہ اگر فرمیٹ کا آخری نظریہ غلط تھا، تو اس کا مطلب ایک بیضوی وکر کا وجود ہے جو پچھلے کام نے قائم کیا تھا، اس کا وجود نہیں ہو سکتا۔ لہذا، فرمیٹ کا آخری تھیورم درست ہونا چاہیے۔)

جیسا کہ ریاضی دانوں نے بیضوی منحنی خطوط پر وائلز کے کام کو بڑھایا، انہوں نے وہی طریقہ اپنایا جو اس نے اپنے ابتدائی نتائج کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا تھا۔

After the successes in generalizing the result to rational numbers and rational quadratic fields, the obvious next extension was to imaginary quadratic fields.

"صرف دو چیزیں ہیں جو ہو سکتی ہیں: میدان یا تو حقیقی ہے یا خیالی،" کارائیانی نے کہا۔ "اصل کیس پہلے ہی سمجھ میں آ گیا تھا، اس لیے خیالی کیس کی طرف جانا فطری ہے۔"

Imaginary quadratic fields have the same basic arithmetic properties as the rational and the real numbers, but Wiles’ method could not be transplanted there nearly as easily. There are many reasons why, but in particular, modular forms over imaginary quadratic fields are much less symmetric than they are over the rationals and the reals. This relative lack of symmetry makes it harder to define their Galois representations, which are the key to establishing a match with an elliptic curve.

کھرے نے کہا کہ وائلز کے فرمیٹ ثبوت کے بعد برسوں تک، "خیالی چوکور کھیتوں کا معاملہ اب بھی ممکن تھا،" کھرے نے کہا۔ لیکن پچھلی دہائی کے دوران، پیش رفت کے ایک سلسلے نے کیریانی اور نیوٹن کے کام کے لیے راستہ تیار کیا۔

مجھے ایک انگوٹھی لاؤ (یا اس سے بھی بہتر، ایک فیلڈ)

وائلز کے طریقہ کار میں پہلا قدم بیضوی منحنی خطوط اور ماڈیولر شکلوں کے درمیان ایک اندازاً مماثلت قائم کرنا تھا۔ دونوں Galois نمائندگی کے ذریعے جڑے ہوئے ہیں جو جوڑی کے دونوں اطراف سے منفرد طور پر شروع ہونے والے نمبروں کی ایک سیریز میں انکوڈ کیے گئے ہیں۔

بالآخر آپ یہ دکھانا چاہتے ہیں کہ گیلوئس کی نمائندگی کرنے والے اعداد بالکل مماثل ہیں، لیکن اس پہلے مرحلے میں یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ وہ غلطی کے کچھ مستقل مارجن سے مختلف ہیں۔ مثال کے طور پر، آپ یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ نمبروں کی ایک سیریز آپس میں ملتی ہے اگر آپ ہر نمبر سے اس کے متعلقہ نمبر تک پہنچنے کے لیے 3 کے ضربات کو شامل یا گھٹا سکتے ہیں۔ اس روشنی میں، (4، 7، 2) (1، 4، 5) یا (7، 10، 8) کے ساتھ ملتا ہے، لیکن (2، 8، 3) سے نہیں۔ آپ یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ وہ مماثل ہیں اگر وہ 5، 11 یا کسی بھی بنیادی نمبر کے ضرب سے مختلف ہوں (تکنیکی لیکن اہم وجوہات کی بناء پر، غلطی کا مارجن ہمیشہ اہم ہونا چاہئے)۔ ایک 2019 کاغذ by پیٹرک ایلن، کھرے اور جیک تھورن مسئلہ پر اس قسم کی ہولڈ فراہم کی.

نیوٹن نے کہا، "انہوں نے ایسے نظریات کو ثابت کیا جو آپ کو شروع کرنے کے لیے جگہ فراہم کرتے ہیں۔"

اسی وقت جب 2019 کا پرچہ جاری تھا، 10 ریاضی دانوں کا ایک گروپ خیالی چوکور شعبوں کے لیے وائلز کے طریقہ کار کے اضافی اقدامات کرنے کے لیے کام کر رہا تھا۔ تعاون انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں گزارے گئے ایک ہفتے کے دوران شروع ہوا اور اس میں ایلن اور تھورن - 2019 کے مقالے کے شریک مصنفین - کے ساتھ ساتھ کیریانی اور نیوٹن بھی شامل تھے۔

گروپ کا پہلا مقصد یہ قائم کرنا تھا کہ ماڈیولر شکلوں سے آنے والی گیلوس کی نمائندگی ایک خاص قسم کی اندرونی مستقل مزاجی کی حامل ہے۔ یہ خاصیت - جو بیضوی منحنی خطوط سے آنے والی گیلوئس نمائندگی کے ساتھ ان کے ملاپ کے لیے ایک شرط ہے - کہلاتی ہے۔ مقامی-عالمی مطابقت.

10 افراد کا تعاون ایسا کرنے میں کامیاب کچھ خاص معاملات میں، لیکن زیادہ تر نہیں۔ جیسے ہی تعاون ختم ہو گیا، کیریانی اور نیوٹن نے یہ دیکھنے کے لیے مل کر کام جاری رکھنے کا فیصلہ کیا کہ آیا وہ مزید کچھ کر سکتے ہیں۔

"ہم ایک ہی وقت میں لندن میں تھے، اور ہمیں ایک دوسرے کے ساتھ ان چیزوں کے بارے میں بات کرنے میں بہت مزہ آیا جو اس 10 مصنف کے پروجیکٹ پر ظاہر ہوئیں،" کارائیانی نے کہا۔ "ہمیں معلوم تھا کہ چپکے ہوئے نکات کیا ہیں، آگے جانے میں کیا رکاوٹیں ہیں۔"

اندھیرے میں رات کے بعد رات 

انہوں نے اپنے طور پر کام شروع کرنے کے تھوڑی دیر بعد، کیریانی اور نیوٹن اس کام سے آگے بڑھنے کی حکمت عملی پر اترے جو انہوں نے بڑے گروپ کے ساتھ شروع کیا تھا۔ یہ واضح طور پر غلط نہیں لگتا تھا، لیکن انہیں یہ بھی اندازہ نہیں تھا کہ آیا یہ واقعی کام کرے گا۔

نیوٹن نے کہا، "ہم نے اس پرامید خیال کے ساتھ شروعات کی کہ چیزیں کام آئیں گی، کہ ہم اس 10 مصنف کے مقالے سے کچھ زیادہ مضبوط ثابت کر سکتے ہیں، اور آخر کار ہم نے ایسا کر دیا۔"

کیریانی اور نیوٹن نے اس آئیڈیا پر دو سال تک کام کیا، اور 2021 کے آخر تک ان کی پرامید ہو چکی تھی: وہ 10 مصنفین کی ٹیم کے ذریعہ بنائے گئے مقامی-عالمی مطابقت کے نتیجے میں بہتری لائیں گے۔ وہ بیان کرتے ہیں کہ کس طرح ایک لمبے، تکنیکی حصے میں جو ان کے آخری مقالے کے پہلے نصف پر مشتمل ہے، جو 100 سے زیادہ صفحات پر مشتمل ہے۔

"ہم جانتے تھے کہ ایک بار جب ہمارے پاس یہ تکنیکی ٹکڑا آ جائے گا تو ماڈیولریٹی کام میں آئے گی،" کارائیانی نے کہا۔

وائلز کے طریقہ کار کا پہلا قدم ایک قسم کا تخمینی ماڈیولرٹی قائم کرنا تھا۔ دوسرا مرحلہ مقامی-عالمی مطابقت کا نتیجہ تھا۔ تیسرا مرحلہ ان کا علم لینا تھا کہ کم از کم ایک چھوٹی تعداد میں منحنی خطوط ماڈیولر ہیں اور یہ ثابت کرنے کے لیے کہ بہت سے منحنی خطوط ماڈیولر ہیں۔ یہ حرکت ماڈیولرٹی لفٹنگ تھیوریم کہلانے کی وجہ سے ممکن ہوئی۔

"یہ آپ کو چاروں طرف ماڈیولرٹی پھیلانے کی اجازت دیتا ہے،" نیوٹن نے کہا۔ "اگر آپ کسی چیز کی ماڈیولریٹی کو جانتے ہیں تو، چیزوں کو اٹھانا آپ کو بہت سی دوسری چیزوں کی ماڈیولریٹی کو بچانے کی اجازت دیتا ہے۔ آپ اس ماڈیولریٹی پراپرٹی کو کسی اچھے طریقے سے پھیلاتے ہیں۔

ایک بے مثال میچ

لفٹنگ تھیوریم کو لاگو کرنے سے کیریانی اور نیوٹن کو لامحدود بہت سے بیضوی منحنی خطوط کی ماڈیولریٹی ثابت کرنے کا موقع ملا، لیکن ابھی بھی کچھ کونے کے معاملات تھے جو وہ حاصل نہیں کر سکے۔ یہ بیضوی منحنی خطوط کے مٹھی بھر خاندان تھے جن کی منفرد خصوصیات تھیں جنہوں نے انہیں اٹھانے والے تھیوریم تک ناقابل رسائی بنا دیا۔

لیکن چونکہ ان میں سے بہت کم تھے، کارائیانی اور نیوٹن ان پر ہاتھ سے حملہ کر سکتے تھے - اپنی گیلوئس کی نمائندگی کو ایک ایک کر کے حساب لگا کر میچ قائم کرنے کی کوشش کر سکتے تھے۔

کارائیانی نے کہا، "وہاں ہم نے کمپیوٹنگ میں بہت مزہ کیا اور کچھ منحنی خطوط پر بہت سارے پوائنٹس۔

کوشش ایک حد تک کامیاب رہی۔ کارائیانی اور نیوٹن بالآخر یہ ثابت کرنے میں کامیاب ہوئے کہ تمام بیضوی منحنی خطوط تقریباً نصف خیالی چوکور فیلڈز پر ماڈیولر ہیں، بشمول وہ فیلڈز جو کہ −1، −2، −3 یا −5 کے مربع جڑ کے ساتھ عقلی اعداد کو ملا کر تشکیل دی گئی ہیں۔ دیگر خیالی چوکور شعبوں کے لیے، وہ بیضوی منحنی خطوط کے لیے بہت سے، لیکن سبھی کے لیے ماڈیولرٹی ثابت کرنے کے قابل تھے۔ (ہولڈ آؤٹس کی ماڈیولریٹی ایک کھلا سوال ہے۔)

ان کا نتیجہ خیالی چوکور شعبوں پر بیضوی منحنی خطوط کے بارے میں کچھ ایسے ہی بنیادی سوالات کی چھان بین کے لیے ایک بنیاد فراہم کرتا ہے جن کا ریاضی دان عقلی اور حقیقتوں پر تعاقب کرتے ہیں۔ اس میں فرمیٹ کے آخری تھیوریم کا خیالی ورژن شامل ہے - حالانکہ اس کے قابل رسائی ہونے سے پہلے اضافی بنیادیں ڈالنے کی ضرورت ہے - اور برچ اور سوئنرٹن-ڈائر کے قیاس کا خیالی ورژن۔

لیکن اگر ریاضی دان کسی بھی جگہ ترقی کرتے ہیں، تو کارائیانی اس کا حصہ نہیں بنیں گے - کم از کم ابھی کے لیے نہیں۔ بیضوی منحنی خطوط کی ماڈیولریٹی پر برسوں کے کام کے بعد، وہ کچھ اور آزمانے کے لیے تیار ہے۔

"اگر میں ایک سمت میں نتیجہ حاصل کرتی ہوں، تو میں ہمیشہ صرف اسی سمت میں کام جاری رکھنا پسند نہیں کرتی ہوں،" انہوں نے کہا۔ "لہذا اب میں نے اپنی دلچسپیوں کو کچھ اور جیومیٹرک ذائقے کے ساتھ تبدیل کر دیا ہے۔"

اصلاح: جولائی 6، 2023
اس مضمون میں اصل میں کہا گیا تھا کہ کثیر الثانی مساوات کے حل کے لیے کوئی عمومی فارمولا نہیں ہے جس کا سب سے زیادہ ایکسپوننٹ 4 یا اس سے اوپر ہو۔ صحیح نمبر 5 ہے۔ مضمون درست کر دیا گیا ہے۔