جیومیٹری کے 'وائلڈ ویسٹ' میں، ریاضی دان کرہ کی نئی تعریف کرتے ہیں | کوانٹا میگزین

اگر آپ کبھی بارش کی دوپہر میں ٹریفک میں پھنس گئے ہیں، تو آپ نے شاید بارش کے قطروں کو گاڑی کی کھڑکی سے ایک دوسرے کو دوڑتے ہوئے دیکھا ہوگا۔ جب بوندوں کے جوڑے آپس میں ٹکرا جاتے ہیں تو وہ اپنی الگ شناخت کھو کر ایک نئے قطرے میں ضم ہو جاتے ہیں۔

یہ انضمام ممکن ہے کیونکہ پانی کی بوندیں صرف کروی ہیں۔ جب شکلیں لچکدار ہوتی ہیں — جیسے بارش کے قطرے ہوتے ہیں — کسی کرہ کو منسلک کرنے سے کچھ نہیں بدلتا۔ ریاضی کے بعض شعبوں میں، کرہ سے منسلک ایک دائرہ اب بھی ایک کرہ ہے، حالانکہ شاید ایک بڑا یا lumpier۔ اور اگر ایک گولہ ڈونٹ پر چپک جاتا ہے، تب بھی آپ کے پاس ڈونٹ ہے - چھالے کے ساتھ۔ لیکن اگر دو ڈونٹس آپس میں مل جائیں تو وہ دو سوراخ والی شکل بناتے ہیں۔ ریاضی دانوں کے لیے، یہ مکمل طور پر کچھ اور ہے۔

یہ معیار کرہوں کو جیومیٹر کے لیے ایک اہم ٹیسٹ کیس بناتا ہے۔ ریاضی دان اکثر یہ دیکھ کر کرہوں پر سیکھے گئے اسباق کو زیادہ پیچیدہ شکلوں میں منتقل کر سکتے ہیں کہ جب آپ دونوں کو ایک ساتھ سلائی کرتے ہیں تو کیا ہوتا ہے۔ درحقیقت، وہ اس تکنیک کو کسی بھی کئی گنا پر لاگو کر سکتے ہیں - ریاضیاتی اشیاء کی ایک کلاس جس میں کرہ اور ڈونٹس جیسی سادہ شکلیں، نیز لامحدود ڈھانچے جیسے دو جہتی جہاز یا تین جہتی جگہ شامل ہیں۔

جیومیٹری کے ذیلی نظم میں دائرے خاص طور پر اہم ہیں جسے رابطہ جیومیٹری کہا جاتا ہے۔ رابطہ جیومیٹری میں، تین جہتی کئی گنا پر ہر نقطہ - جیسے کہ 3D جگہ جس میں ہم رہتے ہیں - ایک ہوائی جہاز سے مساوی ہے۔ ہوائی جہاز ایک نقطہ سے دوسری جگہ جھک سکتے ہیں اور مڑ سکتے ہیں۔ اگر وہ ایسا اس طرح کرتے ہیں جو کچھ ریاضیاتی معیارات کو پورا کرتا ہے، تو طیاروں کے پورے سیٹ کو رابطہ ڈھانچہ کہا جاتا ہے۔ ایک رابطہ ڈھانچہ (تمام طیاروں) کے ساتھ مل کر کئی گنا (جیسے 3D جگہ) کو رابطہ مینی فولڈ کہا جاتا ہے۔

اگرچہ رابطے کے ڈھانچے سجاوٹ سے کچھ زیادہ ہی معلوم ہوتے ہیں، لیکن وہ ان کئی گناوں میں بنیادی بصیرت لاتے ہیں جن پر وہ رہتے ہیں، ساتھ ہی طبیعیات کے لنکس بھی۔ جدید ریاضی دان روشنی کے برتاؤ اور طریقہ کے بارے میں نظریات کی اصلاح کے لیے رابطہ کئی گنا استعمال کر سکتے ہیں۔ پانی بہتا ہے خلا کے ذریعے.

تین جہتی رابطہ کئی گنا کے بارے میں نتائج اکثر کرہوں پر واپس آتے ہیں۔ اگر آپ کسی رابطے کے دائرے کو دوسرے رابطے کے کئی گنا پر چپکتے ہیں، جیسے کہ 3D ڈونٹ، کرہ کا 3D ورژن اس کے رابطے کے ڈھانچے کے کچھ حصے یونین کو عطیہ کر سکتا ہے۔ اگر آپ یہ ثابت کرنا چاہتے ہیں کہ ڈونٹ کا رابطہ ڈھانچہ ہو سکتا ہے جس کے طیارے ڈونٹ کے سوراخ کے چکر میں ہزار بار مڑتے ہیں، تو آپ پہلے اس ڈھانچے کو کرہ پر بنا سکتے ہیں اور پھر دونوں شکلوں میں ایک چھوٹا سا سوراخ کاٹ کر اسے ڈونٹ میں شامل کر سکتے ہیں۔ اور کناروں کے ساتھ ان کو جوڑنا۔ ریاضی دان یہ دریافت کرتے ہیں کہ کون سے رابطے کے ڈھانچے دیئے گئے کئی گنا پر موجود ہوسکتے ہیں اکثر اس فریم ورک پر انحصار کرتے ہیں، نے کہا جان ایٹنیرجارجیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ریاضی دان۔ انہوں نے کہا کہ "وہ مسئلہ کو کم کرنے کے لیے بہت زیادہ کام کرتے ہیں تاکہ یہ سمجھنے کے لیے کہ کرہ پر کیا ہوتا ہے،" انہوں نے کہا۔

As جوناتھن باؤڈنریجنزبرگ یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان نے کہا: "اگر آپ کسی دائرے کو نہیں سمجھ سکتے تو میں کسی اور چیز کو کیسے سمجھ سکتا ہوں؟"

ہم دائروں کو سادہ شکلوں کے طور پر سوچتے ہیں: وہ صرف وہ تمام پوائنٹس ہیں جو مرکز کے نقطہ سے ایک مقررہ فاصلہ ہیں۔ مثالوں میں ایک دائرہ شامل ہے، جو ایک جہتی ہے، نیز باسکٹ بال کی طرح ایک عام گیند کی دو جہتی سطح۔ لیکن جب آپ رابطے کے ڈھانچے میں اضافہ کرتے ہیں، تو دائرے آپ کی توقع سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہو سکتے ہیں۔ اور جیسا کہ ریاضی دان رابطہ کئی گنا کے ایک غیر منظم سمندر کو چھانٹنے کی کوشش کرتے ہیں، نئی قسم کے کرہ انہیں اس بارے میں اشارہ دے سکتے ہیں کہ وہ گہرائی سے کیا مچھلیاں نکال سکتے ہیں۔

ایک حالیہ مقالے میں جسے پچھلے ہفتے کافی حد تک اپ ڈیٹ کیا گیا تھا۔چار ریاضی دان - بوڈن، فیبیو گیرونیلا, اگسٹن مورینو اور ژینگی چاؤ - ایک نئی قسم کے رابطے کے دائرے کا انکشاف کیا ہے اور، اس کے ساتھ، لاتعداد نئے رابطے کے کئی گنا۔

مکمل رابطہ کھیل

ایک فیلڈ کے طور پر، رابطہ جیومیٹری صدیوں کے دوران آہستہ آہستہ ابھری۔ اگرچہ جدید ریاضی دان پیچھے مڑ کر 17ویں صدی میں آپٹکس کے مطالعہ میں رابطہ جیومیٹری کے اشارے دیکھتے ہیں اور 19ویں صدی میں تھرموڈینامکس، صرف 1950 کی دہائی میں جملہ تھا ریاضی دان کے مطابق، "کانٹیکٹ مینی فولڈ" سب سے پہلے کاغذ میں استعمال ہوتا ہے۔ Hansjörg Geiges' موضوع کی تاریخ.

اس وقت تک، ریاضی دان رابطے کی کئی مثالوں سے پہلے ہی واقف تھے۔ تکنیکی وجوہات کی بناء پر، رابطہ کئی گنا صرف عجیب طول و عرض میں آتے ہیں۔ معیاری تین جہتی جگہ میں ایک رابطہ ڈھانچہ ہوتا ہے جس میں طیاروں کی قطاریں ہوتی ہیں جو آہستہ آہستہ آگے کی طرف جھکتی ہیں۔ یہ ساخت قدرتی طور پر اس تک پھیلی ہوئی ہے جسے ریاضی دان تین جہتی دائرہ کہتے ہیں۔ (یہ چار جہتی گیند کی سطح ہے، جیسا کہ دو جہتی ریاضی کا دائرہ ایک عام تین جہتی گیند کی سطح ہے۔)

1960 کی دہائی کے اواخر سے، ریاضی دانوں نے کئی گنا رابطہ کی نئی مثالیں پیش کرنا شروع کیں۔ 1968 میں میخائل گروموف نے کچھ کئی گنا پر نئے رابطے کے ڈھانچے کو تلاش کرنے میں پیش رفت کی، جیسے کہ تین جہتی جگہ، اور جین مارٹنیٹ نے پیروی کی۔ 1971 میں نام نہاد کمپیکٹ شکلوں کی مثالوں کے ساتھ (جو واضح حد کے ساتھ محدود ہیں) جیسے 3D دائرہ۔ 1977 میں، رابرٹ لوٹز نے سوچا کہ کسی بھی تین جہتی کئی گنا پر ایک نیا رابطہ ڈھانچہ کیسے بنایا جائے۔ لٹز کی تعمیر میں رابطے کو کئی گنا کھولنا، اسے گھمانا، اور اسے دوبارہ ایک ساتھ سلائی کرنا شامل ہے جس سے بنیادی شکل ایک جیسی رہی، لیکن رابطے کے ڈھانچے کو ایک نئی ترتیب میں مجبور کیا۔ اس کے نتیجے میں لامحدود 3D اسپیس، 3D دائرہ، اور کسی بھی اجنبی اشیاء کے لیے ایک نیا رابطہ ڈھانچہ نکلا، جیسے ایک مکعب جہاں، اگر آپ اپنا ہاتھ نیچے سے چپکاتے ہیں، تو آپ اسے اوپر سے نیچے لٹکتے ہوئے دیکھیں گے۔

پھر بھی، ان نتائج نے 20 ویں صدی کے آخر کے ریاضی دانوں کو رابطے کے کئی گناوں کے بارے میں بہت سے جواب طلب سوالات کے ساتھ چھوڑ دیا۔ وہاں کس قسم کے رابطے کے ڈھانچے تھے؟ ان کی درجہ بندی کیسے کی جائے؟ "جب ریاضی دان کسی موضوع پر آتے ہیں، تو وہ ہمیشہ اشیاء کی درجہ بندی یا سمجھنا چاہتے ہیں،" کہا یاکوف ایلیشبرگ، سٹینفورڈ یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان جو رابطہ جیومیٹری کی ابتدائی ترقی میں اہم کردار ادا کرتے تھے۔

پانچ اور اس سے اوپر کے طول و عرض میں — یاد رکھیں، رابطہ کئی گنا میں صرف طاق عدد ہو سکتے ہیں — ان سوالات کے جوابات ابھی تک نہیں ہیں۔ تین جہتی معاملے میں، زیادہ تر پیشرفت تقریباً اکیلے ہی ایلیش برگ نے کی تھی، جو 1980 کی دہائی میں سوویت یونین سے تارکین وطن کے طور پر برکلے، کیلیفورنیا پہنچے تھے۔

مروڑ اور چیخنا

برکلے کے ایک نئے جاننے والے Jesús Gonzalo Pérez کے ایک سوال کے جواب میں، جو نئے رابطے کے کئی گنا بنانے کے لیے Lutz کی تکنیک کا مطالعہ کر رہا تھا، ایلیشبرگ نے محسوس کیا کہ Lutz کی حکمت عملی کا استعمال کرتے ہوئے آپ کو جو بھی تین جہتی رابطہ کئی گنا مل سکتے ہیں ان میں کچھ مشترکات ہیں۔ 1989 میں، انہوں نے ایک شائع کیا سیمنل کاغذ ان کئی گناوں کو تفصیل سے بیان کرنا۔ اس نے رابطے کے ڈھانچے کے طیاروں کے متعدد بار گھومنے کے طریقے کی وجہ سے رابطے کے کئی گناوں کی نئی کلاس کو "اوورٹوسٹڈ" کہا، رابطے کے ڈھانچے کے طور پر اہل ہونے کے لیے درکار گھماؤ سے ہٹ کر۔ الیاش برگ کے 1989 کے مقالے میں عملی طور پر ریاضی دانوں کے تین جہتوں میں کئی گنا زیادہ مروڑنے کے بارے میں سوالات کا جواب دیا گیا تھا، لیکن کوئی اور رابطہ کئی گنا - جسے الیاشبرگ نے "تنگ" کہا کیونکہ اس کے رابطے کا ڈھانچہ کتنا چھوٹا ہوا ہے - حاصل کرنا بہت مشکل تھا۔

ہائیڈلبرگ یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان مورینو نے کہا کہ "جبکہ اوورٹوٹ شدہ ڈھانچے وافر مقدار میں موجود ہیں، تنگ رابطے کے ڈھانچے زیادہ نایاب ہیں یا کم از کم، زیادہ خراب سمجھے جاتے ہیں۔"

اگر ہم کئی گنا کو ایک بڑی جگہ کی حد کے طور پر دیکھتے ہیں تو اوورٹوٹڈ اور ٹائٹ کنٹیکٹ کئی گنا کے درمیان ایک فرق واضح ہوجاتا ہے۔ چونکہ رابطہ کئی گنا طاق جہتی ہیں، وہ ہمیشہ ایک جہتی کئی گنا کا کنارہ بناتے ہیں۔ (سوچیں کہ دائرے کا یک جہتی وکر کس طرح دو جہتی ڈسک کو گھیرتا ہے، یا کس طرح ایک لامحدود لکیر دو جہتی جہاز کو دو الگ الگ حصوں میں کاٹتی ہے۔) رابطہ جیومیٹری میں ایک جہتی ہم منصب ہوتا ہے جسے علامتی جیومیٹری کہتے ہیں۔ ریاضی دان یہ جاننا چاہتے تھے کہ آیا رابطہ کئی گنا کا اندرونی حصہ - جو ہمیشہ ہموار جہتی ہوتا ہے - ایک علامتی کئی گنا بناتا ہے یا نہیں۔

اگر ایسا ہوتا ہے تو، اصل رابطہ کئی گنا کو "فل ایبل" کہا جاتا ہے۔ فلیبلٹی ایک خاص خاصیت ہے۔ 1980 اور 1990 کی دہائی کے اوائل سے ایلیش برگ اور گروموف کے نتائج نے یہ ظاہر کیا کہ بھرنے کے قابل رابطے کے کئی گنا زیادہ نہیں مڑے جا سکتے ہیں - انہیں سخت ہونا چاہیے۔ لیکن الٹا منظر نامہ مزید گھمبیر تھا - کیا کئی گنا سخت لیکن بھرنے کے قابل نہیں؟

Etnyre نے کہا، "ایک طویل عرصے سے، یہ ممکن تھا کہ شاید تنگ ہونا واقعی صرف بھرنے کے قابل ہونے کا عکاس تھا۔" ایلیش برگ نے ثابت کیا تھا کہ تین جہتی دائرے میں صرف ایک تنگ رابطہ ڈھانچہ ہوتا ہے، جو بھرنے کے قابل بھی ہوتا ہے۔ لیکن 2002 میں، ایک ساتھ مل کر کو ہونڈا۔ یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، لاس اینجلس، ایٹنائر ایک مثال ملا تین جہتی رابطے کے کئی گنا کا جو تنگ لیکن ناقابل بھرنے والا تھا۔

اعلی جہتی معاملات میں، چیزیں غیر یقینی تھیں۔ "ہمارے پاس طول و عرض تین میں رابطے کے ڈھانچے کا مطالعہ کرنے کے لئے بہت سارے اوزار ہیں، اور ہمارے پاس عملی طور پر اعلی طول و عرض میں کوئی نہیں ہے۔ اور یہ ایک حقیقی مسئلہ ہے،" Etnyre نے کہا۔

"رابطہ ٹوپولوجی میں، اعلی طول و عرض واقعی جنگلی مغرب ہے۔ لوگ واقعی میں تقریباً کچھ نہیں جانتے کہ کیا ہو رہا ہے،" ہونڈا نے کہا۔ سوال یہ بن گیا: کیا اعلی طول و عرض میں تنگ لیکن غیر بھرنے والے رابطے کے کئی گنا ہیں؟ اور اگر ایسا ہے تو، وہ کس طرح نظر آتے ہیں؟

اسے تنگ رکھنا

2013 میں تین ریاضی دان راستہ مل گیا اس طرح کے کئی گنا بنانے کے لیے، لیکن "ان کی تعمیر کردہ کئی گنا درحقیقت بہت، بہت پیچیدہ تھے،" Etnyre نے کہا۔ انہوں نے مزید کہا کہ یہ معلوم نہیں تھا کہ کیا اس سطح کی پیچیدگی ضروری تھی۔ اگر ایسا ہے تو، دائروں جیسے سادہ کئی گناوں کے لیے تنگی اور بھرنے کے درمیان اب بھی گہرا ربط ہو سکتا ہے۔

2015 میں، Bowden، پھر میونخ کی Ludwig Maximilian University میں، اور دو ساتھیوں نے یہ ظاہر کیا کہ رابطے کے مخصوص کئی گنا کو احتیاط سے تراش کر ان کے رابطے کے ڈھانچے کو قربان کیے بغیر ایک کرہ بنانے کے لیے ایک دوسرے کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے۔ ان کے کام نے تجویز کیا کہ ریاضی دان نہ صرف ایک کرہ سے رابطے کے ڈھانچے کو زیادہ پیچیدہ رابطے کے کئی گنا میں منتقل کر سکتے ہیں - چیزوں کی معمول کی سمت - بلکہ زیادہ پیچیدہ مثال کے ساتھ شروع کر کے ایک کرہ پر ایک بالکل نیا رابطہ ڈھانچہ بھی تشکیل دے سکتے ہیں۔

2019 تک اس نے گیرونیلا اور مورینو کے ساتھ کام کرنا شروع کر دیا تھا۔ اس سال، وہ ایک خط شائع کئی پچھلے ریاضی دانوں کی تکنیکوں پر تعمیر۔ ان تینوں کو رابطے کے کئی گنا کی مثالیں ملیں جن میں سیمپلیکٹک فلنگز تھیں، لیکن فلک: فلنگز، جسے "کمزور فلنگز" کہا جاتا ہے، غائب ہو جاتا ہے اگر رابطے کے کئی گنا کو درست طریقے سے ٹویک کیا گیا ہو۔

وبائی مرض کے آغاز کے بعد، انہیں شبہ ہونے لگا کہ وہ مطلوبہ خصوصیات کے ساتھ دائرے تعمیر کر سکیں گے۔ انہوں نے رابطے کے کئی گنا لے لیے اور احتیاط سے ان کو دوبارہ دائروں میں بنایا: یہاں ایک سوراخ کاٹنا، اسے وہاں پیوند کرنا۔ جب وہ ختم ہو گئے تو ان کے پاس تنگ لیکن ناقابل بھرنے والے دائروں کا لامحدود ذخیرہ تھا۔ اور چونکہ دائرے اپنے رابطے کے ڈھانچے کے کچھ حصوں کو دوسرے کئی گناوں میں منتقل کر سکتے ہیں، اس سے تمام اشکال اور اقسام کے تنگ لیکن ناقابل بھرنے والے رابطہ کئی گنا پیدا ہوئے۔

تینوں نے Zhou کو 2022 کے وسط میں اپنے کاغذ کا ابتدائی مسودہ دکھایا، اس امید پر کہ وہ ان کے کچھ حساب کتاب کو درست کر دے گا۔ Zhou نے پہلے مورینو اور Gironella دونوں کے ساتھ تعاون کیا تھا، اور ان کے مسودے میں استعمال ہونے والی کچھ تکنیکوں سے واقف تھے۔ چائنیز اکیڈمی آف سائنسز کے ایک ریاضی دان ژاؤ نے کہا، "میں نے کاغذ پڑھا، اور میں نے محسوس کیا کہ اس میں اور بھی مضبوط نتائج حاصل کرنے کی بڑی صلاحیت ہے۔" وہ نئے خیالات سے بھرا ان کے پاس واپس آیا۔

گروپ نے Zhou کی بصیرت کو اپنے مقالے میں شامل کیا، اور ان میں سے چاروں نے اسے نومبر 2022 میں آن لائن پوسٹ کیا۔ ان کے کام سے پتہ چلتا ہے کہ پانچ اور اس سے اوپر کے طول و عرض میں تنگ لیکن ناقابل بھرنے والے دائرے ممکن ہیں، اور اس نتیجے کو استعمال کرتے ہوئے سخت رابطے کی کئی نئی مثالیں تخلیق کیں۔ جو کہ 2019 کے پیپر کی چست "کمزور فلنگز" کو تسلیم کرتے ہوئے صرف کمزوری سے بھرنے کے قابل ہیں۔ پھر پچھلے ہفتے انہوں نے ایک اہم عمومی کے ساتھ کاغذ کو اپ ڈیٹ کیا۔ اب وہ سات یا اس سے زیادہ طول و عرض کے ساتھ کسی بھی کئی گنا کے لیے تنگ اور کمزور طور پر بھرنے کے قابل رابطے کے ڈھانچے تلاش کرنے کے قابل ہیں۔

اگرچہ ان کا ثبوت لاتعداد نئی مثالوں سے پردہ اٹھاتا ہے، لیکن اعلیٰ جہتی رابطہ کئی گنا کا مطالعہ - اور یہاں تک کہ اعلیٰ جہتی دائروں کا بھی - صرف آغاز ہے۔

"یہ ہمیں اس کی ایک جھلک دے رہا ہے جو ایک بہت ہی جنگلی اور طرح کی پیچیدہ دنیا معلوم ہوتی ہے،" مورینو نے بعد میں مزید کہا: "اعلیٰ جہتیں آنے والی کئی نسلوں کی توجہ کھائیں گی، میں کہوں گا۔"

"ابھی، آپ صرف کوئی مثال تلاش کرنے کی کوشش کر رہے ہیں؛ آپ چیزوں کو الگ کرنے کی کوشش کر رہے ہیں؛ آپ صرف یہ سمجھنے کی کوشش کر رہے ہیں کہ وہاں کیا ہے۔ اور کرہ پر چیزوں کو سمجھنا ایک قسم کا جراثیم ہے، یا وہ بیج جو آپ کو دوسرے حالات کو سمجھنے میں مدد دے سکتا ہے،" Etnyre نے کہا۔ "ہمارے پاس ابھی تک یہ اگلا قدم اٹھانے کے لیے ٹولز نہیں ہیں۔"

Quanta ہمارے سامعین کی بہتر خدمت کے لیے سروے کا ایک سلسلہ کر رہا ہے۔ ہماری لے لو ریاضی کے ریڈر سروے اور آپ کو مفت جیتنے کے لیے داخل کیا جائے گا۔ Quanta مرچ۔