1ڈیپارٹمنٹ آف مائیکرو ٹیکنالوجی اینڈ نینو سائنس (MC2)، چلمرز یونیورسٹی آف ٹیکنالوجی، SE-412 96 Göteborg، سویڈن
2سینٹر فار تھیوریٹیکل اٹامک، مالیکیولر اینڈ آپٹیکل فزکس، کوئینز یونیورسٹی بیلفاسٹ، بیلفاسٹ BT7 1NN، یونائیٹڈ کنگڈم
3Dipartimento di Fisica "Aldo Pontremoli," Università degli Studi di Milano, I-20133 Milano, Italy
اس کاغذ کو دلچسپ لگتا ہے یا اس پر بات کرنا چاہتے ہیں؟ SciRate پر تبصرہ کریں یا چھوڑیں۔.
خلاصہ
ہم Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) ریاستوں کی صوابدیدی نقل مکانی، علامتی کارروائیوں کا ایک بڑا مجموعہ اور homodyne پیمائش کے ساتھ مل کر کلاسیکی تخروپن کا مطالعہ کرتے ہیں۔ اس قسم کے سرکٹس کے لیے، نصف امکانی تقسیم کی غیر منفی پر مبنی نہ تو مسلسل متغیر تھیومز اور نہ ہی متضاد متغیر تھیورمز جیسا کہ گوٹسمین-نِل تھیوریم کو سمیولٹیبلٹی کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ہم سب سے پہلے صوابدیدی نچوڑ اور گھماؤ کے ایک بڑے سیٹ کے بعد پوزیشن کی بنیاد پر ایک واحد GKP حالت کی پیمائش کے مطابق امکانی کثافت کے فنکشن کا جائزہ لینے کے لیے ایک طریقہ تیار کرتے ہیں۔ اس طریقہ کار میں تجزیاتی نمبر تھیوری کی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے تبدیل شدہ جیکوبی تھیٹا فنکشن کا جائزہ لینا شامل ہے۔ اس کے بعد ہم اس نتیجے کو ملٹی موڈ سرکٹس کی دو بڑی کلاسوں کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں جو کلاسیکی طور پر مؤثر طریقے سے قابل تقلید ہیں اور GKP انکوڈ شدہ کلفورڈ گروپ میں شامل نہیں ہیں۔ ہمارے نتائج سرکٹس کے سیٹ کو بڑھاتے ہیں جو پہلے کلاسیکی طور پر مؤثر طریقے سے قابل تقلید جانا جاتا تھا۔
نمایاں تصویر: صوابدیدی سرکٹس کا سرکٹ ڈایاگرام جس کو ہمارے کام میں پیش کیا گیا ہے، کثیر موڈ پیمائش کے ساتھ نقلی سرکٹس کے سمیلیٹیبل کلاس $mathcal B$ سے منتخب کیا گیا ہے۔ موڈز پر سرکٹ کا پہلا عمل ہر موڈ کی ایک گردش ہے جس میں زاویہ $theta_i$ کو اجازت شدہ زاویوں کے سیٹ سے منتخب کیا گیا ہے۔ اس کے بعد ہر موڈ کو من مانی نچوڑنا پڑتا ہے۔ اگلی کارروائی کو عام لکیری گروپ $text{GL}(n,mathbb R)$ اور $text{Sp}(2n,mathbb) میں ہم آہنگ مثبت قطعی علامتی میٹرکس $Pi(n)$ کے سب سیٹ سے منتخب کیا گیا ہے۔ R)$، $text{GL}(n,mathbb R)cap Pi(n)$ حاصل کرتا ہے۔ حتمی آپریشن کا انتخاب علامتی میٹرکس کے لینس ذیلی گروپ سے کیا جاتا ہے، $mathcal T$۔ آخر میں، طریقوں کو پوزیشن کی بنیاد پر ہوموڈین ڈیٹیکشن کے ساتھ ماپا جاتا ہے۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ صوابدیدی مرحلے کی جگہ کی نقل مکانی اس حقیقت کی وجہ سے سرکٹ میں داخل کی جا سکتی ہے کہ وہ علامتی میٹرکس کی ساخت کو محفوظ رکھتے ہیں۔
مقبول خلاصہ
ہم کوانٹم کمپیوٹر آرکیٹیکچرز پر توجہ مرکوز کرتے ہیں جس کے تحت معلومات کو مسلسل متغیرات (CVs) میں انکوڈ کیا جاتا ہے۔ یہ نقطہ نظر ایک مسلسل سپیکٹرم کے ساتھ کوانٹائزڈ متغیرات پر انحصار کرتا ہے، جیسے برقی مقناطیسی میدان کی پوزیشن اور رفتار کواڈریچرز۔ اس طرح کے انکوڈنگ طریقہ کار کی ایک مثال GKP ریاستوں کا استعمال کرتے ہوئے Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) انکوڈنگ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس انکوڈنگ کا استعمال کرتے ہوئے آرکیٹیکچرز مجرد متغیر نظاموں کا استعمال کرتے ہوئے آرکیٹیکچرز کے حوالے سے، شور کے لیے لچک کو بڑھانے کی اجازت دیتے ہیں۔
ہمارا کام یہ ظاہر کرتا ہے کہ 0 اور 1 جیسی کمپیوٹیشنل ریاستوں کو انکوڈ کرنے کے لیے تیار کردہ ان پٹ GKP ریاستوں کے ساتھ کوانٹم سرکٹس کی ایک بڑی کلاس کلاسیکی کمپیوٹرز کے ساتھ موثر انداز میں قابل تقلید ہے۔ لہذا، ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ یہ سرکٹس کوانٹم فائدہ حاصل کرنے کے قابل نہیں ہیں۔ اس لیے ہمارے نتائج کوانٹم کمپیوٹرز کے کمپیوٹیشنل طور پر مفید اور بیکار فن تعمیرات کے درمیان فرق پیدا کرنے میں معاون ہیں۔
► BibTeX ڈیٹا
► حوالہ جات
ہے [1] ارم ڈبلیو ہیرو اور ایشلے مونٹانوارو۔ "کوانٹم کمپیوٹیشنل بالادستی"۔ فطرت 549، 203 (2017)۔
https://doi.org/10.1038/nature23458
ہے [2] ڈینیل گوٹسمین، الیکسی کیتائیف، اور جان پریسکل۔ "ایک آسیلیٹر میں کوئبٹ کو انکوڈنگ کرنا"۔ جسمانی جائزہ A 64، 012310 (2001)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.64.012310
ہے [3] آرنے ایل گریمسو، جوشوا کومبز، اور بین کیو بارگیولا۔ "روٹیشن-سمیٹرک بوسونک کوڈز کے ساتھ کوانٹم کمپیوٹنگ"۔ جسمانی جائزہ X 10, 011058 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevX.10.011058
ہے [4] اتھرو جوشی، کیونگجو نوہ، اور یوون وائی گاو۔ "سرکٹ QED میں بوسونک کیوبٹس کے ساتھ کوانٹم انفارمیشن پروسیسنگ"۔ کوانٹم سائنس اینڈ ٹیکنالوجی 6، 033001 (2021)۔
https://doi.org/10.1088/2058-9565/abe989
ہے [5] آرنے ایل گریسمو اور شروتی پوری۔ "Gottesman-kitaev-preskill کوڈ کے ساتھ کوانٹم غلطی کی اصلاح"۔ PRX کوانٹم 2، 020101 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.020101
ہے [6] Timo Hillmann، Fernando Quijandría، Arne L. Grimsmo، اور Giulia Ferrini۔ "شور کی پیمائش کے ساتھ بوسونک کوڈز کے لیے ٹیلی پورٹیشن پر مبنی ایرر تصحیح سرکٹس کی کارکردگی"۔ PRX کوانٹم 3، 020334 (2022)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.3.020334
ہے [7] نیسم اوفیک، آندرے پیٹرینکو، رینیئر ہیرس، فلپ رین ہولڈ، زکی لیگٹاس، برائن ولاسٹاکس، یہان لیو، لوئیگی فرونزیو، ایس ایم گرون، ایل جیانگ، مزیار میرراہیمی، ایم ایچ ڈیوریٹ، اور آر جے شولکوف۔ "سپر کنڈکٹنگ سرکٹس میں غلطی کی اصلاح کے ساتھ کوانٹم بٹ کی زندگی کو بڑھانا"۔ فطرت 536، 441–445 (2016)۔
https://doi.org/10.1038/nature18949
ہے [8] Christa Flühmann، Thanh Long Nguyen، Matteo Marinelli، Vlad Negnevitsky، Karan Mehta، اور JP Home۔ "ایک پھنسے ہوئے آئن مکینیکل آسیلیٹر میں کوئبٹ کو انکوڈنگ کرنا"۔ فطرت 566, 513 (2019)۔
https://doi.org/10.1038/s41586-019-0960-6
ہے [9] L. Hu, Y. Ma, W. Cai, X. Mu, Y. Xu, W. Wang, Y. Wu, H. Wang, YP Song, C.-L. Zou, SM Girvin, L.-M. ڈوان، اور ایل سن۔ "کوانٹم ایرر تصحیح اور بائنومیئل بوسونک لاجیکل کوئبٹ پر یونیورسل گیٹ سیٹ آپریشن"۔ نیچر فزکس 15، 503–508 (2019)۔
https://doi.org/10.1038/s41567-018-0414-3
ہے [10] Philippe Campagne-Ibarcq, Alec Eickbusch, Steven Touzard, Evan Zalys-Geller, Nicholas E Frattini, Volodymyr V Sivak, Philip Reinhold, Shruti Puri, Shaam Shankar, Robert J Schoelkopf, et al. "ایک آسیلیٹر کی گرڈ حالتوں میں انکوڈ شدہ کوئبٹ کی کوانٹم غلطی کی اصلاح"۔ فطرت 584، 368–372 (2020)۔
https://doi.org/10.1038/s41586-020-2603-3
ہے [11] مرینا کدرا، میکائیل کیروینن، انگرڈ اسٹرینڈ برگ، شاہنواز احمد، مارکو سکیگلیوزو، امر عثمان، ڈینیئل پیریز لوزانو، میٹس او تھولن، ریکارڈو بورگنی، ڈیوڈ بی ہیولینڈ، جیولیا فیرینی، جوناس بائلنڈر، اینٹون فریسک کوکم، فرنینڈو کوکم، فرنینڈو کوکم ، اور سیمون گیسپرینیٹی۔ "منفی SNAP-Displacement تسلسل کے ساتھ wigner-negative states کی مضبوط تیاری"۔ PRX کوانٹم 3، 030301 (2022)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.3.030301
ہے [12] کرسٹوف وائلوٹ، حمید آساسی، یانگ وانگ، لیونیڈ پی پریادکو، اور باربرا ایم ترہال۔ "Toric Gottesman-Kitaev-Preskill کوڈ کے ساتھ کوانٹم غلطی کی اصلاح"۔ جسمانی جائزہ A 99, 032344 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.99.032344
ہے [13] کیونگجو نوہ اور کرسٹوفر چیمبرلینڈ۔ "سطح کے ساتھ غلطی کو برداشت کرنے والا بوسونک کوانٹم غلطی کی اصلاح-گوٹس مین-کیٹیو-پریسکل کوڈ"۔ طبعی جائزہ A: اٹامک، مالیکیولر، اور آپٹیکل فزکس 101، 012316 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.101.012316
ہے [14] Kyungjoo Noh، Christopher Chamberland، اور Fernando GSL Brandão۔ "سطح-GKP کوڈ کے ساتھ کم اوور ہیڈ فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم غلطی کی اصلاح"۔ PRX کوانٹم 3، 010315 (2022)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.3.010315
ہے [15] Laura García-Alvarez، Alessandro Ferraro، اور Giulia Ferrini۔ "بلوچ اسپیئر سے لے کر گوٹس مین-کیٹیو-پریسکل انکوڈنگ کے ساتھ فیز اسپیس کی نمائندگی تک"۔ Tsuyoshi Takagi، Masato Wakayama، Keisuke Tanaka، Noboru Kunihiro، Kazufumi Kimoto، اور Yasuhiko Ikematsu، ایڈیٹرز، ریاضی پر بین الاقوامی سمپوزیم، کوانٹم تھیوری، اور کرپٹوگرافی میں۔ صفحہ 79-92۔ سنگاپور (2021)۔ اسپرنگر سنگاپور۔
https://doi.org/10.1007/978-981-15-5191-8_9
ہے [16] Hayata Yamasaki، Takaya Matsuura، اور Masato Koashi۔ "گوٹس مین-کیٹیو-پریسکل کوڈ کے ساتھ لاگت میں کمی کی گئی تمام گاوسی عالمگیریت: لاگت کے تجزیہ کے لیے وسائل کی نظریاتی نقطہ نظر"۔ فزیکل ریویو ریسرچ 2، 023270 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevResearch.2.023270
ہے [17] اے ماری اور جے ایسرٹ۔ "مثبت وگنر فنکشنز کوانٹم کمپیوٹیشن کے کلاسیکی تخروپن کو موثر بناتے ہیں"۔ فزیکل ریویو لیٹرز 109، 230503 (2012)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.109.230503
ہے [18] وکٹر ویچ، کرسٹوفر فیری، ڈیوڈ گراس، اور جوزف ایمرسن۔ "کوانٹم کمپیوٹیشن کے وسائل کے طور پر منفی ارد امکان"۔ طبیعیات کا نیا جریدہ 14، 113011 (2012)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/14/11/113011
ہے [19] فرانسسکو الباریلی، مارکو جی جینونی، میٹیو جی اے پیرس، اور الیسنڈرو فیرارو۔ "وسائل تھیوری آف کوانٹم نان گاسینٹی اور وگنر نیگیٹیویٹی"۔ جسمانی جائزہ A 98، 052350 (2018)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.98.052350
ہے [20] ریوجی تاکاگی اور کونٹاؤ زوانگ۔ "غیر گاؤشیائیت کا محدب وسائل کا نظریہ"۔ جسمانی جائزہ A 97، 062337 (2018)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.97.062337
ہے [21] Ben Q. Baragiola، Giacomo Pantaleoni، Rafael N. Alexander، Angela Karanjai، اور Nicolas C. Menicucci۔ "گوٹس مین کیتائیو-پریسکل کوڈ کے ساتھ تمام گاوسی عالمگیریت اور غلطی کی رواداری"۔ جسمانی جائزہ کے خطوط 123، 200502 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.200502
ہے [22] Laura García-Alvarez، Cameron Calcluth، Alessandro Ferraro، اور Giulia Ferrini۔ "بڑے وگنر منفی کے ساتھ مسلسل متغیر سرکٹس کی موثر تخروپن"۔ فزیکل ریویو ریسرچ 2, 043322 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevResearch.2.043322
ہے [23] ڈینیل گوٹسمین۔ "کوانٹم کمپیوٹرز کی ہائزنبرگ کی نمائندگی"۔ صفحہ 32-43۔ گروپ 22: طبیعیات میں گروپ نظریاتی طریقوں پر XXII بین الاقوامی کالوکیم کی کارروائی۔ کیمبرج، ایم اے، انٹرنیشنل پریس۔ (1999)۔ arXiv:quant-ph/9807006۔
arXiv:quant-ph/9807006
ہے [24] اسٹیفن ڈی بارٹلیٹ، بیری سی سینڈرز، سیموئیل ایل براونسٹین، اور کی نیموٹو۔ "مسلسل متغیر کوانٹم معلوماتی عمل کا موثر کلاسیکی تخروپن"۔ فزیکل ریویو لیٹرز 88، 097904 (2002)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.097904
ہے [25] سکاٹ ایرونسن اور ڈینیئل گوٹسمین۔ "سٹیبلائزر سرکٹس کا بہتر تخروپن"۔ جسمانی جائزہ A 70، 052328 (2004)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.70.052328
ہے [26] مارٹن وان ڈین نیسٹ۔ "کوانٹم کمپیوٹیشن کا کلاسیکی تخروپن، Gottesman-Knill تھیوریم، اور تھوڑا سا آگے"۔ کوانٹم انفارمیشن اینڈ کمپیوٹیشن 10، 258–271 (2010)۔
https://doi.org/10.26421/QIC10.3-4-6
ہے [27] نیل ڈی بیوڈراپ۔ "محدود جہت کے نظاموں کے لئے ایک لکیری اسٹیبلائزر فارملزم"۔ کوانٹم انفارمیشن اینڈ کمپیوٹیشن 13، 73–115 (2013)۔
https://doi.org/10.26421/QIC13.1-2-6
ہے [28] ولاد گیورگیو۔ "قویت سٹیبلائزر گروپس کی معیاری شکل"۔ طبیعیات کے خطوط A 378، 505–509 (2014)۔
https://doi.org/10.1016/j.physleta.2013.12.009
ہے [29] وکٹر ویچ، SA Hamed Mousavian، Daniel Gottesman، اور Joseph Emerson۔ "اسٹیبلائزر کوانٹم کمپیوٹیشن کا وسائل کا نظریہ"۔ طبیعیات کا نیا جریدہ 16، 013009 (2014)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/16/1/013009
ہے [30] جوانی برمیجو ویگا۔ "نارملائزر سرکٹس اور کوانٹم کمپیوٹیشن"۔ پی ایچ ڈی تھیسس، ٹیکنیش یونیورسٹی München Max-Planck-Institut für Quantenoptik (2016)۔
https://doi.org/10.48550/arXiv.1611.09274
ہے [31] جوانی برمیجو-ویگا اور مارٹن وان ڈین نیسٹ۔ "انٹرمیڈیٹ پیمائش کے ساتھ ابیلیان گروپ نارملائزر سرکٹس کے کلاسیکی نقالی"۔ کوانٹم انفارمیشن اینڈ کمپیوٹیشن 14، 181–216 (2014)۔
https://doi.org/10.26421/QIC14.3-4-1
ہے [32] کے کاہل اور آر جے گلوبر۔ "بوسن طول و عرض آپریٹرز میں توسیع کا حکم دیا"۔ طبعی جائزہ 177، 1857–1881 (1969)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRev.177.1857
ہے [33] صالح رحیمی کیشری، ٹموتھی سی رالف، اور کارلٹن ایم کیوز۔ "کوانٹم آپٹکس کے موثر کلاسیکی تخروپن کے لئے کافی حالات"۔ جسمانی جائزہ X 6، 021039 (2016)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevX.6.021039
ہے [34] سیموئل ایل براونسٹائن اور پیٹر وان لوک۔ "مسلسل متغیرات کے ساتھ کوانٹم معلومات"۔ جدید طبیعیات کے جائزے 77، 513 (2005)۔
https:///doi.org/10.1103/RevModPhys.77.513
ہے [35] Mile Gu, Christian Weedbrook, Nicolas C. Menicucci, Timothy C. Ralph, and Peter van Lock. "مسلسل متغیر کلسٹرز کے ساتھ کوانٹم کمپیوٹنگ"۔ فزیکل ریویو A: اٹامک، مالیکیولر اور آپٹیکل فزکس 79، 062318 (2009)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.79.062318
ہے [36] الیسنڈرو فیرارو، سٹیفانو اولیوارس، اور میٹیو جی اے پیرس۔ "کوانٹم معلومات میں گاوسی ریاستیں"۔ Bibliopolis. ناپولی (2005)۔
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0503237
arXiv:quant-ph/0503237
ہے [37] ایلیسیو سیرافینی۔ "کوانٹم مسلسل متغیرات: نظریاتی طریقوں کا ایک پرائمر"۔ سی آر سی پریس، ٹیلر اور فرانسس گروپ۔ Boca Raton, FL (2017)۔
https://doi.org/10.1201/9781315118727
ہے [38] اروند، بی دتہ، این مکندا، اور آر سائمن۔ "کوانٹم میکینکس اور آپٹکس میں حقیقی علامتی گروہ"۔ پرمانا جے فز۔ 45، 441–497 (1995)۔
https://doi.org/10.1007/BF02848172
ہے [39] ایم ایف عطیہ اور آئی جی میکڈونلڈ۔ "تجارتی الجبرا کا تعارف"۔ سی آر سی پریس۔ بوکا رتن (2019)۔
https://doi.org/10.1201/9780429493621
ہے [40] رچرڈ جوزسا اور مارٹن وان ڈین نیسٹ۔ "توسیع شدہ کلفورڈ سرکٹس کی کلاسیکی نقلی پیچیدگی"۔ کوانٹم انفارمیشن اینڈ کمپیوٹیشن 14، 633–648 (2014)۔
https://doi.org/10.26421/qic14.7-8-7
ہے [41] باربرا ایم ترہال اور ڈیوڈ پی ڈی ونسنزو۔ "اڈاپٹیو کوانٹم کمپیوٹیشن، مستقل گہرائی والے کوانٹم سرکٹس اور آرتھر مرلن گیمز"۔ کوانٹم معلومات۔ کمپیوٹنگ 4، 134–145 (2004)۔
https://doi.org/10.26421/QIC4.2-5
ہے [42] مائیکل جے بریمنر، رچرڈ جوزا، اور ڈین جے شیفرڈ۔ "کمیوٹنگ کوانٹم کمپیوٹنگ کا کلاسیکی تخروپن کا مطلب کثیر الثانی درجہ بندی کے خاتمے کا مطلب ہے"۔ رائل سوسائٹی اے کی کارروائی: ریاضی، جسمانی اور انجینئرنگ سائنسز 467، 459–472 (2011)۔
https://doi.org/10.1098/rspa.2010.0301
ہے [43] J. Eli Bourassa, Nicolás Quesada, Ilan Tzitrin, Antal Száva, Theodor Isacsson, Josh Izaac, Krishna Kumar Sabapathy, Guillaume Dauphinais, and Ish Dhand. "فیز اسپیس میں گاوسی فنکشنز کے ذریعے بوسونک کیوبٹس کی تیز رفتار تخروپن"۔ PRX کوانٹم 2، 040315 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.040315
ہے [44] میکل وی لارسن، کرسٹوفر چیمبرلینڈ، کیونگجو نوہ، جوناس ایس نیرگارڈ نیلسن، اور الریک ایل اینڈرسن۔ "غلطی برداشت کرنے والا مسلسل متغیر پیمائش پر مبنی کوانٹم کمپیوٹیشن فن تعمیر"۔ PRX کوانٹم 2، 030325 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.030325
ہے [45] میتھونا یوگناتھن، رچرڈ جوزسا، اور سرگی اسٹریلچک۔ "میجک سٹیٹ ان پٹ کے ساتھ یونٹری کلفورڈ سرکٹس کا کوانٹم فائدہ"۔ پروک R. Soc A 475 (2019)۔
https://doi.org/10.1098/rspa.2018.0427
ہے [46] وولکر مہرمن۔ "سنگل ان پٹ یا سنگل آؤٹ پٹ ڈسکریٹ ٹائم بہترین کواڈریٹک کنٹرول کے مسائل کے لیے ایک علامتی آرتھوگونل طریقہ"۔ SIAM جرنل آن میٹرکس اینالیسس اینڈ ایپلی کیشنز 9، 221–247 (1988)۔
https://doi.org/10.1137/0609019
ہے [47] Froilán M. Dopico اور Charles R. Johnson. "میٹرکس سمپلیکٹک گروپ اور ایپلی کیشنز کا پیرامیٹرائزیشن"۔ SIAM جرنل آن میٹرکس اینالیسس اینڈ ایپلی کیشنز 31، 650–673 (2009)۔
https://doi.org/10.1137/060678221
ہے [48] فرینک اروٹ، کنال آریہ، ریان بابش، ڈیو بیکن، جوزف سی بارڈن، رامی بیرینڈز، روپک بسواس، سرجیو بوکسو، فرنینڈو جی ایس ایل برینڈاؤ، ڈیوڈ اے بوئل، برائن برکٹ، یو چن، زیجن چن، بین چیارو، رابرٹو کولنز، ولیم کورٹنی، اینڈریو ڈنس ورتھ، ایڈورڈ فرہی، بروکس فوکسن، آسٹن فاؤلر، کریگ گڈنی، ماریسا گیسٹینا، روب گراف، کیتھ گورین، اسٹیو ہیبیگر، میتھیو پی ہیریگن، مائیکل جے ہارٹ مین، ایلن ہو، مارکس ہوفمین، ٹرینٹ ہوانگ، ٹریوس S. Humble، Sergei V. Isakov, Evan Jeffrey, Zhang Jiang, Dvir Kafri, Kostyantyn Kechedzhi, Julian Kelly, Paul V. Klimov, Sergey Knysh, Alexander Korotkov, Fedor Kostritsa, David Landhuis, Mike Lindmark, Erik Lucero, Dmitry Lyakh, Salvatore Mandrà, Jarrod R. McClean, Matthew McEwen, Anthony Megrant, Xiao Mi, Kristel Michielsen, Masood Mohseni, Josh Mutus, Ofer Naaman, Matthew Neeley, Charles Neill, Murphy Yuezhen Niu, Eric Ostby, Andre Petukhov, John Platthov, C. Chris Quintana, Eleanor G. Rieffel, Pedram Roushan, Nicholas C. Rubin, Daniel Sank,Kevin J. Satzinger, Vadim Smelyanskiy, Kevin J. Sung, Matthew D. Trevithick, Amit Wainsencher, Benjamin Villalonga, Theodore White, Z. Jamie Yao, Ping Yeh, Adam Zalcman, Hartmut Neven, and John M. Martinis. "پروگرام قابل سپر کنڈکٹنگ پروسیسر کا استعمال کرتے ہوئے کوانٹم بالادستی"۔ فطرت 574، 505–510 (2019)۔
https://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5
ہے [49] جے جے ساکورائی اور جم نپولیتانو۔ "جدید کوانٹم میکانکس"۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ کیمبرج (2017)۔ دوسرا ایڈیشن۔
https://doi.org/10.1017/9781108499996
ہے [50] سنجیو اروڑہ اور بوز بارک۔ "کمپیوٹیشنل پیچیدگی: ایک جدید نقطہ نظر"۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ کیمبرج (2009)۔
https://doi.org/10.1017/CBO9780511804090
ہے [51] StackExchange کی بحث "Jacobi Theta Function on Unit Circle - کیا ڈسٹری بیوشن سینس میں کوئی حد ہے؟" ریاضی کا اسٹیک ایکسچینج۔ (رسائی: 2021-09-13)۔
https:///math.stackexchange.com/q/3439816
ہے [52] ٹام ایم اپوسٹول۔ تجزیاتی نمبر تھیوری کا تعارف۔ ریاضی میں انڈرگریجویٹ ٹیکسٹس۔ اسپرنگر۔ نیویارک برلن ہیڈلبرگ ٹوکیو (1986)۔ 3. پرنٹ ایڈیشن۔
https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5579-4
ہے [53] بروس سی برنڈٹ، کینتھ ایس ولیمز، اور رونالڈ جے ایونز۔ "گاس اور جیکوبی رقم"۔ ولی۔ (1998)۔
ہے [54] ہنریک ایوانیک اور ایمانوئل کووالسکی۔ "تجزیاتی نمبر تھیوری"۔ Colloquium Publications کی جلد 53۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی۔ پروویڈنس، رہوڈ آئی لینڈ (2004)۔
https://doi.org/10.1090/coll/053
ہے [55] ولیم ایف ٹرینچ۔ "حقیقی تجزیہ کا تعارف"۔ فیکلٹی تصنیف شدہ اور ترمیم شدہ کتابیں اور سی ڈیز۔ 7. تثلیث یونیورسٹی (2003)۔
ہے [56] تاکایا ماتسوورا، حیاتا یاماساکی، اور ماساٹو کوشی۔ "تقریبا Gottesman-Kitaev-Preskill کوڈز کی مساوات"۔ جسمانی جائزہ A 102, 032408 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.102.032408
ہے [57] Giacomo Pantaleoni، Ben Q. Baragiola، اور Nicolas C. Menicucci۔ "مسلسل متغیر وسائل کی ریاستوں کا ذیلی نظام تجزیہ"۔ فزیکل ریویو A: اٹامک، مالیکیولر، اور آپٹیکل فزکس 104، 012430 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.104.012430
کی طرف سے حوالہ دیا گیا
[1] ایرک آر اینشوئٹز، ہانگ-ی ہو، جن-لونگ ہوانگ، اور سن گاو، "عصبی ترتیب سیکھنے میں قابل تشریح کوانٹم فائدہ"، آر ایکس سی: 2209.14353.
[2] کیمرون کیلکلتھ، الیسنڈرو فیرارو، اور جیولیا فیرینی، "خلا بصورت دیگر نقلی آرکیٹیکچرز کو کوانٹم فائدہ فراہم کرتا ہے"، آر ایکس سی: 2205.09781.
[3] Ulysse Chabaud اور Mattia Walschaers، "وسائل فار بوسونک کوانٹم کمپیوٹیشنل فائدہ"، آر ایکس سی: 2207.11781.
[4] Giacomo Pantaleoni, Ben Q. Baragiola, and Nicolas C. Menicucci, "The Zak transform: a framework for quantum computation with Gottesman-Kitaev-Preskill code"، آر ایکس سی: 2210.09494.
مذکورہ بالا اقتباسات سے ہیں۔ SAO/NASA ADS (آخری بار کامیابی کے ساتھ 2022-12-01 13:39:11)۔ فہرست نامکمل ہو سکتی ہے کیونکہ تمام ناشرین مناسب اور مکمل حوالہ ڈیٹا فراہم نہیں کرتے ہیں۔
نہیں لا سکا کراس ریف کا حوالہ دیا گیا ڈیٹا آخری کوشش کے دوران 2022-12-01 13:39:09: Crossref سے 10.22331/q-2022-12-01-867 کے لیے حوالہ کردہ ڈیٹا حاصل نہیں کیا جا سکا۔ یہ عام بات ہے اگر DOI حال ہی میں رجسٹر کیا گیا ہو۔
یہ مقالہ کوانٹم میں کے تحت شائع کیا گیا ہے۔ Creative Commons انتساب 4.0 انٹرنیشنل (CC BY 4.0) لائسنس کاپی رائٹ اصل کاپی رائٹ ہولڈرز جیسے مصنفین یا ان کے اداروں کے پاس رہتا ہے۔
