تعارف
صدیوں سے، ریاضی دانوں نے سیالوں کی حرکت کو سمجھنے اور ماڈل بنانے کی کوشش کی ہے۔ وہ مساوات جو یہ بیان کرتی ہیں کہ لہریں تالاب کی سطح کو کس طرح کریز کرتی ہیں، محققین کو موسم کی پیشین گوئی کرنے، بہتر ہوائی جہازوں کو ڈیزائن کرنے، اور دوران خون کے نظام کے ذریعے خون کے بہاؤ کی خصوصیت کرنے میں بھی مدد ملی ہے۔ صحیح ریاضی کی زبان میں لکھے جانے پر یہ مساوات دھوکہ دہی سے آسان ہوتی ہیں۔ تاہم، ان کے حل اتنے پیچیدہ ہیں کہ ان کے بارے میں بنیادی سوالات کو سمجھنا ممنوعہ طور پر مشکل ہو سکتا ہے۔
شاید ان مساواتوں میں سے سب سے قدیم اور سب سے نمایاں، جو لیون ہارڈ اولر نے 250 سال سے زیادہ پہلے وضع کی تھی، ایک مثالی، ناقابل تسخیر سیال کے بہاؤ کی وضاحت کرتی ہے: ایک ایسا سیال جس میں کوئی چپچپا نہیں، یا اندرونی رگڑ، جسے جبراً چھوٹے حجم میں نہیں لایا جا سکتا۔ "تقریباً تمام نان لائنر سیال مساواتیں یولر مساوات سے اخذ کی گئی ہیں،" کہا طارق ایلگندی، ڈیوک یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "وہ پہلے ہیں، آپ کہہ سکتے ہیں۔"
ابھی تک یولر مساوات کے بارے میں بہت کچھ نامعلوم ہے - بشمول یہ کہ آیا وہ ہمیشہ مثالی سیال کے بہاؤ کا ایک درست نمونہ ہیں۔ سیال حرکیات میں مرکزی مسائل میں سے ایک یہ معلوم کرنا ہے کہ آیا مساوات کبھی ناکام ہو جاتی ہیں، ایسی بے ہودہ اقدار کو آؤٹ پٹ کرنا جو انہیں سیال کی مستقبل کی حالتوں کی پیشین گوئی کرنے سے قاصر کر دیتے ہیں۔
ریاضی دانوں کو طویل عرصے سے شبہ ہے کہ ابتدائی حالات موجود ہیں جن کی وجہ سے مساوات ٹوٹ جاتی ہیں۔ لیکن وہ اسے ثابت نہیں کر سکے۔
In ایک پری پرنٹ پچھلے مہینے آن لائن پوسٹ کیا گیا، ریاضی دانوں کے ایک جوڑے نے دکھایا ہے کہ یولر مساوات کا ایک خاص ورژن کبھی کبھی ناکام ہو جاتا ہے۔ ثبوت ایک اہم پیش رفت کی نشاندہی کرتا ہے - اور جب کہ یہ مساوات کے زیادہ عمومی ورژن کے لیے مسئلہ کو مکمل طور پر حل نہیں کرتا ہے، لیکن یہ امید پیش کرتا ہے کہ ایسا حل آخر کار دسترس میں ہے۔ "یہ ایک حیرت انگیز نتیجہ ہے،" کہا ٹرسٹن بک ماسٹر، میری لینڈ یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان جو اس کام میں شامل نہیں تھا۔ "ادب میں اس قسم کے کوئی نتائج نہیں ہیں۔"
صرف ایک کیچ ہے۔
177 صفحات پر مشتمل یہ ثبوت - ایک دہائی طویل تحقیقی پروگرام کا نتیجہ - کمپیوٹرز کا نمایاں استعمال کرتا ہے۔ اس سے دوسرے ریاضی دانوں کے لیے اس کی تصدیق کرنا مشکل ہو جاتا ہے۔ (حقیقت میں، وہ ابھی بھی ایسا کرنے کے عمل میں ہیں، حالانکہ بہت سے ماہرین کا خیال ہے کہ نیا کام درست نکلے گا۔) یہ انہیں فلسفیانہ سوالات کے بارے میں بھی سوچنے پر مجبور کرتا ہے کہ "ثبوت" کیا ہے، اور یہ کیا کرے گا۔ اس کا مطلب ہے کہ اگر اس طرح کے اہم سوالات کو حل کرنے کا واحد قابل عمل طریقہ کمپیوٹر کی مدد سے ہے۔
جانور کو دیکھنا
اصولی طور پر، اگر آپ کسی سیال میں ہر ایک ذرے کی جگہ اور رفتار کو جانتے ہیں، تو Euler کی مساوات کو یہ اندازہ لگانے کے قابل ہونا چاہیے کہ یہ سیال ہر وقت کیسے تیار ہوگا۔ لیکن ریاضی دان یہ جاننا چاہتے ہیں کہ کیا واقعی ایسا ہے۔ شاید کچھ حالات میں، مساواتیں توقع کے مطابق آگے بڑھیں گی، کسی بھی لمحے سیال کی حالت کے لیے قطعی قدریں پیدا کریں گی، صرف ان اقدار میں سے ایک کے لیے اچانک آسمان سے لامحدود ہونے کے لیے۔ اس مقام پر، یولر مساوات کو "واحدت" کو جنم دینے کے لیے کہا جاتا ہے - یا زیادہ ڈرامائی طور پر، "اڑا دینے" کے لیے۔
ایک بار جب وہ اس یکسانیت کو مارتے ہیں، تو مساوات اب سیال کے بہاؤ کی گنتی نہیں کر پائیں گی۔ لیکن "کچھ سال پہلے تک، لوگ جو کچھ کرنے کے قابل تھے وہ [دھماکہ ثابت کرنے] سے بہت کم تھا،" کہا چارلی فیفرمین، پرنسٹن یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔
یہ اور بھی پیچیدہ ہو جاتا ہے اگر آپ کسی ایسے سیال کو ماڈل کرنے کی کوشش کر رہے ہیں جس میں واسکاسیٹی ہو (جیسا کہ تقریباً تمام حقیقی دنیا کے سیال ہوتے ہیں)۔ کلے میتھمیٹکس انسٹی ٹیوٹ کی طرف سے ایک ملین ڈالر کا ملینیم پرائز کسی ایسے شخص کا انتظار کر رہا ہے جو ثابت کر سکے کہ آیا اسی طرح کی ناکامیاں Navier-Stokes مساوات میں ہوتی ہیں، Euler equations کی عمومیت جو کہ viscosity کا سبب بنتی ہے۔
2013 میں تھامس ہوکیلیفورنیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ایک ریاضی دان، اور گو لوو، اب ہانگ کانگ کی ہینگ سینگ یونیورسٹی میں، ایک منظر نامے کی تجویز پیش کی جس میں یولر مساوات ایک واحدیت کی طرف لے جائے گی۔ انہوں نے ایک سلنڈر میں سیال کی ایک کمپیوٹر تخروپن تیار کی جس کا اوپر کا نصف گھڑی کی سمت میں گھومتا ہے جبکہ اس کا نیچے کا نصف گھڑی کی سمت میں گھومتا ہے۔ جیسا کہ انہوں نے نقلی حرکت کی، مزید پیچیدہ دھارے اوپر اور نیچے کی طرف بڑھنے لگے۔ اس کے نتیجے میں، سلنڈر کی باؤنڈری کے ساتھ عجیب و غریب رویے کا باعث بنتا ہے جہاں مخالف بہاؤ ملتے ہیں۔ سیال کی بھنور — گردش کا ایک پیمانہ — اتنی تیزی سے بڑھی کہ ایسا لگتا ہے کہ یہ پھٹنے کے لیے تیار ہے۔
Hou اور Luo کا کام مشورہ دینے والا تھا، لیکن صحیح ثبوت نہیں تھا۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کمپیوٹر کے لیے لامحدود قدروں کا حساب لگانا ناممکن ہے۔ یہ یکسانیت کو دیکھنے کے بہت قریب پہنچ سکتا ہے، لیکن یہ حقیقت میں اس تک نہیں پہنچ سکتا - مطلب یہ ہے کہ حل بہت درست ہو سکتا ہے، لیکن یہ اب بھی ایک تخمینہ ہے۔ ریاضی کے ثبوت کی پشت پناہی کے بغیر، تخروپن کے کچھ نمونے کی وجہ سے vorticity کی قدر صرف لامحدودیت تک بڑھ رہی ہے۔ اس کے بجائے حل دوبارہ کم ہونے سے پہلے بہت زیادہ تعداد میں بڑھ سکتے ہیں۔
اس طرح کے الٹ پلٹ پہلے بھی ہو چکے ہیں: ایک نقالی اشارہ کرے گا کہ مساوات میں ایک قدر اڑا دی گئی ہے، صرف اور زیادہ نفیس کمپیوٹیشنل طریقوں کے لیے۔ فیفرمین نے کہا، "یہ مسائل اتنے نازک ہیں کہ سڑک پر پچھلے سمولیشنز کے ملبے سے بھری پڑی ہے۔" درحقیقت، ہاؤ نے اس علاقے میں اپنا آغاز اسی طرح کیا: اس کے پہلے کے کئی نتائج نے فرضی انفرادیت کی تشکیل کو غلط ثابت کیا۔
پھر بھی، جب اس نے اور لوو نے اپنا حل شائع کیا، تو زیادہ تر ریاضی دانوں نے سوچا کہ یہ ایک حقیقی انفرادیت ہے۔ "یہ بہت پیچیدہ، بہت عین مطابق تھا،" نے کہا ولادیمیر سویرک، مینیسوٹا یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "انہوں نے واقعی یہ ثابت کرنے کے لئے کافی حد تک کام کیا کہ یہ ایک حقیقی منظر ہے۔" ایلگندی، سواراک اور دیگر کے بعد کے کام صرف اس یقین کو مضبوط کیا۔.
لیکن ایک ثبوت مضحکہ خیز تھا۔ "آپ نے اس جانور کو دیکھا ہے،" فیفرمین نے کہا۔ "پھر تم اسے پکڑنے کی کوشش کرو۔" اس کا مطلب یہ ظاہر کرنا تھا کہ Hou اور Luo نے اس قدر احتیاط سے جو تخمینی حل تیار کیا ہے، وہ ایک مخصوص ریاضیاتی معنوں میں، مساوات کے عین مطابق حل کے بہت قریب ہے۔
اب، اس پہلی نظر کے نو سال بعد، Hou اور اس کے سابق گریجویٹ طالب علم جیا جی چن آخر کار اس قریبی واحدیت کے وجود کو ثابت کرنے میں کامیاب ہو گئے ہیں۔
خود سے ملتی جلتی زمین کی طرف بڑھنا
Hou، بعد میں چن کے ساتھ شامل ہوئے، نے اس حقیقت کا فائدہ اٹھایا کہ، قریب سے تجزیہ کرنے پر، 2013 کے تخمینی حل کا ایک خاص ڈھانچہ نظر آتا ہے۔ جیسے جیسے مساوات وقت کے ساتھ تیار ہوتی گئیں، حل نے ظاہر کیا جسے خود سے ملتا جلتا پیٹرن کہا جاتا ہے: بعد میں اس کی شکل اس کی پہلی شکل کی طرح نظر آتی ہے، صرف ایک مخصوص طریقے سے دوبارہ اسکیل کی جاتی ہے۔
نتیجے کے طور پر، ریاضی دانوں کو خود واحدیت کو دیکھنے کی کوشش کرنے کی ضرورت نہیں تھی۔ اس کے بجائے، وہ وقت کے پہلے نقطہ پر توجہ مرکوز کرکے بالواسطہ طور پر اس کا مطالعہ کر سکتے تھے۔ حل کے اس حصے کو صحیح شرح پر زوم کرکے — جو حل کے خود سے ملتے جلتے ڈھانچے کی بنیاد پر طے ہوتا ہے — وہ ماڈل بنا سکتے ہیں کہ بعد میں کیا ہو گا، بشمول انفرادیت میں۔
انہیں 2013 کے بلو اپ منظر نامے سے ملتے جلتے خود ساختہ اینالاگ تلاش کرنے میں چند سال لگے۔ (اس سال کے شروع میں، ریاضی دانوں کی ایک اور ٹیم، جس میں بک ماسٹر بھی شامل تھا، نے مختلف طریقے استعمال کیے اسی طرح کا تخمینی حل تلاش کریں۔. وہ فی الحال اس حل کو انفرادیت کی تشکیل کا ایک آزاد ثبوت تیار کرنے کے لئے استعمال کر رہے ہیں۔)
قریب قریب خود سے ملتے جلتے حل کے ساتھ، Hou اور Chen کو یہ ظاہر کرنے کی ضرورت تھی کہ قریب ہی ایک درست حل موجود ہے۔ ریاضی کے لحاظ سے، یہ ثابت کرنے کے مترادف ہے کہ ان کا تقریباً خود سے ملتا جلتا حل مستحکم ہے — کہ یہاں تک کہ اگر آپ اسے تھوڑا سا پریشان کریں اور پھر ان پریشان اقدار سے شروع ہونے والی مساوات کو تیار کریں، تو اس کے آس پاس کے ایک چھوٹے سے محلے سے بچنے کا کوئی راستہ نہیں ہوگا۔ تقریبا حل. "یہ ایک بلیک ہول کی طرح ہے،" ہو نے کہا۔ "اگر آپ قریبی پروفائل کے ساتھ شروع کرتے ہیں، تو آپ کو چوس لیا جائے گا۔"
لیکن ایک عمومی حکمت عملی کا ہونا حل کی طرف صرف ایک قدم تھا۔ فیفرمین نے کہا ، "فضول تفصیلات کی اہمیت ہے۔ جیسا کہ Hou اور Chen نے اگلے کئی سال ان تفصیلات پر کام کرنے میں گزارے، انہوں نے محسوس کیا کہ انہیں ایک بار پھر کمپیوٹر پر انحصار کرنا پڑا — لیکن اس بار بالکل نئے انداز میں۔
ایک ہائبرڈ نقطہ نظر
ان کے پہلے چیلنجوں میں سے ایک صحیح بیان کا پتہ لگانا تھا جو انہیں ثابت کرنا تھا۔ وہ یہ دکھانا چاہتے تھے کہ اگر انہوں نے قدروں کا کوئی سیٹ اپنے تخمینی حل کے قریب لے لیا اور اسے مساوات میں جوڑ دیا، تو آؤٹ پٹ زیادہ بھٹکنے کے قابل نہیں ہوگا۔ لیکن ایک ان پٹ کا تخمینی حل کے "قریب" ہونے کا کیا مطلب ہے؟ انہیں ایک ریاضیاتی بیان میں اس کی وضاحت کرنی تھی - لیکن اس تناظر میں فاصلے کے تصور کی وضاحت کرنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ ان کے کام کرنے کے ثبوت کے لیے، انہیں صحیح کا انتخاب کرنے کی ضرورت تھی۔
"اسے مختلف جسمانی اثرات کی پیمائش کرنی پڑتی ہے،" کہا رافیل ڈی لا لاوجارجیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ریاضی دان۔ "لہذا اس کا انتخاب مسئلے کی گہری سمجھ سے کرنے کی ضرورت ہے۔"
ایک بار جب ان کے پاس "قربت" کو بیان کرنے کا صحیح طریقہ ہو گیا تو ہو اور چن کو بیان کو ثابت کرنا پڑا، جو ایک پیچیدہ عدم مساوات کی طرف ابل پڑا جس میں دوبارہ پیمانہ مساوات اور تخمینی حل دونوں کی شرائط شامل تھیں۔ ریاضی دانوں کو اس بات کو یقینی بنانا تھا کہ ان تمام اصطلاحات کی قدریں بہت چھوٹی چیزوں سے متوازن ہوں: اگر ایک قدر بڑی ہو جاتی ہے، تو دوسری قدروں کو منفی ہونا پڑتا ہے یا اسے برقرار رکھنا پڑتا ہے۔
"اگر آپ کسی چیز کو تھوڑا بہت بڑا یا تھوڑا بہت چھوٹا بناتے ہیں، تو ساری چیز ٹوٹ جاتی ہے،" کہا جیویر گومیز سیرانو، براؤن یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "لہذا یہ بہت، بہت محتاط، نازک کام ہے۔"
ایلگندی نے مزید کہا، "یہ واقعی ایک شدید لڑائی ہے۔
ان تمام مختلف شرائط پر سخت حدوں کو حاصل کرنے کے لیے، ہو اور چن نے عدم مساوات کو دو بڑے حصوں میں توڑ دیا۔ وہ پہلے حصے کی دیکھ بھال ہاتھ سے کر سکتے تھے، جس میں تکنیک بھی شامل تھی جو کہ 18ویں صدی کی ہے، جب فرانسیسی ریاضی دان گیسپارڈ مونگے نے نپولین کی فوج کے لیے قلعہ بندی کرنے کے لیے مٹی کی نقل و حمل کا ایک بہترین طریقہ تلاش کیا۔ فیفرمین نے کہا، "اس طرح کی چیزیں پہلے بھی کی جا چکی ہیں، لیکن مجھے یہ حیرت انگیز معلوم ہوا کہ [ہو اور چن] نے اسے اس کے لیے استعمال کیا،" فیفرمین نے کہا۔
اس نے عدم مساوات کا دوسرا حصہ چھوڑ دیا۔ اس سے نمٹنے کے لیے کمپیوٹر کی مدد درکار ہوگی۔ شروع کرنے والوں کے لیے، بہت سارے حسابات تھے جو کرنے کی ضرورت تھی، اور اتنی درستگی کی ضرورت تھی، کہ "آپ کو پنسل اور کاغذ کے ساتھ جتنا کام کرنا پڑے گا وہ حیران کن ہوگا،" ڈی لا لاو نے کہا۔ مختلف اصطلاحات کو متوازن کرنے کے لیے، ریاضی دانوں کو اصلاحی مسائل کا ایک سلسلہ انجام دینا پڑا جو کمپیوٹر کے لیے نسبتاً آسان ہیں لیکن انسانوں کے لیے بہت زیادہ وقت طلب ہیں۔ کچھ قدروں کا انحصار تخمینی حل کی مقدار پر بھی تھا۔ چونکہ اس کا حساب ایک کمپیوٹر کے ذریعے کیا گیا تھا، اس لیے ان اضافی حسابات کو انجام دینے کے لیے کمپیوٹر کا استعمال کرنا بھی زیادہ سیدھا تھا۔
Gómez-Serrano نے کہا، "اگر آپ ان تخمینوں میں سے کچھ کو دستی طور پر کرنے کی کوشش کرتے ہیں، تو آپ شاید کسی وقت حد سے زیادہ اندازہ لگائیں گے، اور پھر آپ ہار جائیں گے۔" "نمبر اتنے چھوٹے اور تنگ ہیں … اور مارجن ناقابل یقین حد تک پتلا ہے۔"
لیکن چونکہ کمپیوٹر ہندسوں کی لامحدود تعداد میں ہیرا پھیری نہیں کر سکتے، اس لیے چھوٹی چھوٹی غلطیاں لامحالہ ہوتی ہیں۔ Hou اور Chen کو ان غلطیوں کو احتیاط سے ٹریک کرنا تھا، تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ وہ توازن کے باقی کاموں میں مداخلت نہیں کرتے ہیں۔
بالآخر، وہ تمام شرائط کی حدیں تلاش کرنے میں کامیاب ہو گئے، ثبوت کو مکمل کرتے ہوئے: مساوات نے واقعی ایک واحدیت پیدا کر دی تھی۔
کمپیوٹر کے ذریعے ثبوت
یہ کھلا رہتا ہے کہ آیا زیادہ پیچیدہ مساواتیں - ایک بیلناکار باؤنڈری کی موجودگی کے بغیر Euler مساوات اور Navier-Stokes مساوات - ایک یکسانیت پیدا کر سکتی ہیں۔ "لیکن [یہ کام] کم از کم مجھے امید دیتا ہے،" ہو نے کہا۔ "میں آگے کا ایک راستہ دیکھ رہا ہوں، ایک ایسا راستہ جس سے شاید آخرکار ملینیم کے مکمل مسئلے کو حل کیا جا سکے۔"
دریں اثنا، بک ماسٹر اور گومیز-سیرانو اپنے کمپیوٹر کی مدد سے ایک ثبوت پر کام کر رہے ہیں - جس کی انہیں امید ہے کہ وہ زیادہ عام ہوں گے، اور اس وجہ سے نہ صرف اس مسئلے سے نمٹنے کے قابل ہوں گے جسے ہو اور چن نے حل کیا ہے، بلکہ بہت سے دوسرے لوگوں کو بھی۔
یہ کوششیں سیال حرکیات کے میدان میں بڑھتے ہوئے رجحان کی نشاندہی کرتی ہیں: اہم مسائل کو حل کرنے کے لیے کمپیوٹر کا استعمال۔
"ریاضی کے متعدد مختلف شعبوں میں، یہ زیادہ سے زیادہ کثرت سے ہو رہا ہے،" نے کہا سوسن فریڈلینڈر، یونیورسٹی آف سدرن کیلیفورنیا میں ایک ریاضی دان۔
لیکن سیال میکانکس میں، کمپیوٹر کی مدد سے ثبوت اب بھی نسبتاً نئی تکنیک ہیں۔ درحقیقت، جب انفرادیت کی تشکیل کے بارے میں بیانات کی بات آتی ہے، تو ہو اور چن کا ثبوت اپنی نوعیت کا پہلا ثبوت ہے: کمپیوٹر کی مدد سے پچھلے ثبوت صرف اس علاقے میں کھلونوں کے مسائل سے نمٹنے کے قابل تھے۔
اس طرح کے ثبوت اتنے متنازعہ نہیں ہیں جتنا کہ "ذائقہ کا معاملہ" پیٹر کانسٹینٹن پرنسٹن یونیورسٹی کے. ریاضی دان عام طور پر اس بات پر متفق ہوتے ہیں کہ ثبوت کو دوسرے ریاضی دانوں کو قائل کرنا ہوتا ہے کہ استدلال کی کچھ لائن درست ہے۔ لیکن، بہت سے لوگوں کا کہنا ہے کہ، اس سے ان کی سمجھ میں بھی بہتری آنی چاہیے کہ کوئی خاص بیان درست کیوں ہے، بجائے اس کے کہ اس کے درست ہونے کی تصدیق کی جائے۔ "کیا ہم بنیادی طور پر کوئی نئی چیز سیکھتے ہیں، یا ہمیں صرف سوال کا جواب معلوم ہے؟" ایلگندی نے کہا۔ "اگر آپ ریاضی کو ایک فن کے طور پر دیکھتے ہیں، تو یہ جمالیاتی لحاظ سے اتنا خوش کن نہیں ہے۔"
"ایک کمپیوٹر مدد کر سکتا ہے۔ یہ بہت اچھا ہے۔ یہ مجھے بصیرت دیتا ہے۔ لیکن یہ مجھے پوری طرح سے سمجھ نہیں پاتا،" کانسٹینٹن نے مزید کہا۔ "سمجھنا ہم سے آتا ہے۔"
اپنے حصے کے لیے، ایلگنڈی کو اب بھی امید ہے کہ وہ مکمل طور پر ہاتھ سے اڑا دینے کا متبادل ثبوت تیار کرے گا۔ "میں مجموعی طور پر خوش ہوں کہ یہ موجود ہے،" اس نے ہو اور چن کے کام کے بارے میں کہا۔ "لیکن میں اسے کم کمپیوٹر پر منحصر طریقے سے کرنے کی کوشش کرنے کے لئے ایک حوصلہ افزائی کے طور پر لیتا ہوں۔"
دوسرے ریاضی دان کمپیوٹرز کو ایک اہم نئے آلے کے طور پر دیکھتے ہیں جو اس سے پہلے کی پیچیدہ مسائل پر حملہ کرنا ممکن بنائے گا۔ "اب کام صرف کاغذ اور پنسل کا نہیں رہا،" چن نے کہا۔ "آپ کے پاس زیادہ طاقتور چیز استعمال کرنے کا اختیار ہے۔"
ان کے اور دوسروں کے مطابق (بشمول ایلگنڈی، ہاتھ سے ثبوت لکھنے کے لیے ان کی ذاتی ترجیح کے باوجود)، اس بات کا ایک اچھا امکان ہے کہ سیال حرکیات میں بڑے مسائل کو حل کرنے کا واحد راستہ — یعنی وہ مسائل جن میں تیزی سے پیچیدہ مساواتیں شامل ہوں — انحصار کرنا ہو سکتا ہے۔ کمپیوٹر کی مدد پر بہت زیادہ۔ فیفرمین نے کہا، "مجھے ایسا لگتا ہے جیسے کمپیوٹر کی مدد سے ثبوتوں کا بھاری استعمال کیے بغیر ایسا کرنے کی کوشش کرنا ایک یا ممکنہ طور پر دو ہاتھ اپنی پیٹھ کے پیچھے باندھنے کے مترادف ہے۔"
اگر یہ معاملہ ختم ہوجاتا ہے اور "آپ کے پاس کوئی چارہ نہیں ہے،" ایلگندی نے کہا، "تو پھر لوگ … جیسے میں، جو کہے گا کہ یہ سب سے بہتر ہے، خاموش رہنا چاہیے۔" اس کا یہ مطلب بھی ہوگا کہ زیادہ ریاضی دانوں کو کمپیوٹر کی مدد سے ثبوت لکھنے کے لیے درکار ہنر سیکھنا شروع کرنے کی ضرورت ہوگی - جو کہ Hou اور Chen کے کام سے حوصلہ افزائی ہوگی۔ بک ماسٹر نے کہا، "میرے خیال میں بہت سارے لوگ ایسے تھے جو صرف اس بات کا انتظار کر رہے تھے کہ کوئی اس طرح کے مسئلے کو حل کرے، اس سے پہلے کہ وہ اپنا کوئی بھی وقت اس نقطہ نظر میں لگانے سے پہلے،" بک ماسٹر نے کہا۔
اس نے کہا، جب یہ بحث آتی ہے کہ ریاضی دانوں کو کمپیوٹر پر کس حد تک انحصار کرنا چاہیے، "ایسا نہیں ہے کہ آپ کو ایک پہلو چننے کی ضرورت ہے،" گومز-سیرانو نے کہا۔ "[ہاؤ اور چن کا] ثبوت تجزیہ کے بغیر کام نہیں کرے گا، اور ثبوت کمپیوٹر کی مدد کے بغیر کام نہیں کرے گا۔ … میرے خیال میں اہمیت یہ ہے کہ لوگ دو زبانیں بول سکتے ہیں۔
اس کے ساتھ، ڈی لا لاوے نے کہا، "شہر میں ایک نیا کھیل ہے۔"
