令人费解的比赛背后令人惊讶的简单数学 |广达杂志

这是想象数学联盟的冠军赛，亚特兰大代数队将对阵卡罗莱纳十字积队。两支球队本赛季没有交手，但今年早些时候亚特兰大队以 10 比 5 的比分击败了布鲁克林平分线队，而布鲁克林队则以 7 比 3 的比分击败了卡罗莱纳队。这是否让我们了解了谁会拿冠军吗？

嗯，这是一个想法。如果亚特兰大击败布鲁克林，那么亚特兰大就比布鲁克林更好，如果布鲁克林击败卡罗莱纳，那么布鲁克林就比卡罗莱纳更好。所以，如果亚特兰大比布鲁克林好，布鲁克林比卡罗莱纳好，那么亚特兰大应该比卡罗莱纳好并赢得总冠军。

如果您玩竞技游戏或体育运动，您就会知道预测比赛结果从来都不是那么简单。但从纯粹数学的角度来看，这个论点有一定的吸引力。它使用了数学中一个重要的概念，即传递性，这是一个熟悉的属性，允许我们构建跨关系的比较字符串。传递性是非常基础的数学属性之一，您甚至可能没有注意到它。

例如，数字相等是传递的。这意味着如果我们知道 a = b 和 b = c，我们可以得出结论 a = c。 “大于”关系也是传递的：对于实数，如果 a > b 和 b > c， 然后 a > c。当关系是可传递的时，我们可以比较和组合它们，创建对象的顺序。如果 Anna 比 Benji 高，Benji 比 Carl 高，那么我们可以按身高对这三个人进行排序： A, B, C。传递性也是我们天真的论点背后的原因：如果 A 优于 B 和 B 优于 C， 然后 A 优于 C.

及物性表现为平等、全等、相似，甚至平行。它是我们所做的所有基础数​​学的一部分，这使得当它不存在时它在数学上特别有趣。当分析师对团队进行排名、经济学家研究消费者偏好或公民投票选出他们喜欢的候选人时，传递性的缺乏可能会导致令人惊讶的结果。为了更好地理解这类系统，数学家们研究“不及物骰子”已有 50 多年的历史，并且 最近的一篇文章 名为 Polymath 项目的在线数学协作项目推进了这种理解。为了了解不及物性的外观和感觉，让我们组建一个自己的联盟​​并进行尝试。

在我们新的数学联赛中，玩家通过翻转定制硬币并比较结果来进行竞争。就说玩家吧 A 有一枚硬币，一面是数字 10，另一面是数字 6，并且玩家 B的硬币有数字 8 和 3。我们假设硬币是公平的——这意味着当硬币翻转时，每一面出现的可能性是相同的——我们将像这样表示硬币上的数字。

在游戏中，玩家抛掷硬币，谁的硬币显示的数字更大，谁就获胜。什么时候谁会赢 A 扮演 B?

当然，这取决于情况。有时 A 有时会赢 B 会赢。但不难看出 A 有望获胜 B。游戏有四种展开方式， A 其中三场获胜。

所以在游戏中 A 与 B, A 有 75% 的获胜机会。

现在 C 随之而来和挑战 B 去一场比赛。 C的硬币一侧有 5，另一侧有 4。同样有四种可能性。

这里 B 和 C 四场比赛中，双方各赢两场，因此各赢 50% 的比赛。 B 和 C 势均力敌。

现在，当您期望发生什么时 A 和 C 玩？出色地， A 通常节拍 B及 B 均匀匹配 C，所以似乎有理由期望 A 可能会受到青睐 C.

但是， A 不仅仅是一个最爱。 A 支配 C，100% 获胜。

这可能看起来令人惊讶，但从数学上讲，不难看出为什么会发生这种情况。 C的数字介于两者之间 B的，所以 C 随时获胜 B 翻转他们的较低数字。但 C的数字都在下面 A的，所以 C 永远不会赢得那场比赛。这个例子并没有违反传递性的思想，但它确实表明事情可能比仅仅更复杂 A > B > C。我们的游戏稍作改变就可以看出它有多复杂。

我们的竞争对手很快就厌倦了双面硬币翻转游戏，因为它很容易在数学上完全理解（更多详细信息请参阅专栏末尾的练习），因此联盟决定升级为三面硬币。 （参加想象中的数学联盟的好处之一是一切皆有可能。）

这里有 A 和 B的硬币：

双方的比赛中谁更有优势 A 和 B？嗯，有以下三种结果 A的掷硬币和三 B，导致九种可能的游戏结果，我们可以轻松绘制图表。

再次假设所有结果的可能性相同， A 节拍 B 九个结果中的五个。这意味着 A 应该赢得 $latex frac{5}{9} 大约 55% 的时间，所以 A 受到青睐 B.

对自己的前景感到有点沮丧， B 挑战 C 去一场比赛。 C的数字如下所示。你喜欢 B的机会？

同样，游戏中有九种可能的结果 B 与 C，所以我们可以把它们列出来。

我们可以看到 B 看起来不错 C。在九种可能结果中的五种中， B 获胜。所以 B 受到青睐 C.

不好 C 现在必须玩 A。 同 A 赞成反对 B 和 B 赞成反对 C, 有什么机会 C 一定要赢吗？事实证明，这是一个相当不错的选择。

在九种可能结果中的五种中， C 节拍 A。 这意味着 C 受到青睐 A， 即使 A受到青睐 B 和 B 受到青睐 C.

这是不及物系统的一个例子。用更专业的术语来说，我们的游戏中“受到青睐”的关系不是传递性的： A 受到青睐 B及 B 受到青睐 C，但 A 不一定是有利的 C.

我们在数学中并不常见，但这种行为不会让体育迷感到惊讶。如果巨人队击败老鹰队，而老鹰队击败牛仔队，那么牛仔队仍然很有可能击败巨人队。影响单场比赛结果的因素有很多。团队可以通过实践变得更好，如果不创新，就会停滞不前。玩家可以更换球队。比赛地点（主场还是客场）或球队最近的比赛情况等细节都会影响谁赢谁输。

但这个简单的例子表明，这种不及物性背后也有纯粹的数学原因。这种纯粹的数学考虑与现实世界的竞争限制有一些共同点：对决。

以下是以下数字： A, B 和 C.

当我们并排查看它们时，更容易理解为什么在这种情况下会出现不及物性。虽然 B 有望获胜 C, C的两个中高数字——7 和 6——使他们比 A 这 B 没有。虽然 A 受到青睐 B 和 B 受到青睐 C, C 匹配 A 比 B 做。这类似于一支处于劣势的运动队可能会很好地对抗一个优秀的对手，因为他们的比赛风格对该队来说很难处理，或者因为球员或教练让他们在对抗特定对手时具有优势。

体育运动的不及物性这一事实使其变得有趣且引人注目。毕竟，如果 A 节拍 B 和 B 节拍 C, C 当他们面对时，不会因为传递性而放弃 A。在竞争中，任何事情都有可能发生。正如许多评论员在心烦意乱后所说的那样，“这就是他们玩游戏的原因。”

这就是我们玩数学的原因。寻找有趣的、引人注目的、令人惊讶的事情。任何事情都可能发生。

演习

1. 假设两个玩家玩双面硬币游戏，两个硬币的四个数字都不同。对于谁获胜以及获胜的频率基本上只有六种可能的情况。这些是什么？

2. 在上述三面游戏场景中，找到不同的三面硬币 C 以便 B 仍然受到青睐 C 和 C 仍然受到青睐 A.

3. 证明在双面硬币游戏中，不可能有三个玩家 A, B, C 搜索 A 受到青睐 B, B 受到青睐 C及 C 受到青睐 A.