Introduzione
All'inizio di quest'anno, un trio di matematici ha deciso di trasformare i limoni in limonata e ha finito per fare grande progresso su un problema a cui i matematici hanno pensato per secoli.
I tre stavano appena finendo un progetto e pensando ai passi successivi quando, alla fine di marzo, due di loro... Levent Alpöge dell'Università di Harvard e Ari Shnidman dell'Università Ebraica di Gerusalemme - ha contratto il Covid-19, separatamente ma quasi contemporaneamente. Molte persone si prenderebbero una pausa in tali circostanze, ma il terzo membro del team, Manjul Bhargava della Princeton University, ha proposto il contrario. Aumentare le loro riunioni settimanali su Zoom a tre o quattro volte alla settimana, ha suggerito, potrebbe distrarre i suoi collaboratori malati dai loro sintomi. La quarantena, decisero i tre, poteva essere l'occasione per pensare indisturbati.
Durante questi incontri, hanno considerato una delle domande più antiche della teoria dei numeri: quanti numeri interi possono essere scritti come la somma di due frazioni al cubo o, come li chiamano i matematici, numeri razionali? Il numero 6, ad esempio, può essere scritto come (17/21)3 + (37/21)3, mentre 13 = (7/3)3+(2/3)3.
I matematici sospettano da decenni che la metà di tutti i numeri interi possa essere scritta in questo modo. Proprio come con i numeri pari e dispari, questa proprietà sembra dividere i numeri interi in due campi uguali: quelli che sono la somma di due cubi e quelli che non lo sono.
Ma nessuno è stato in grado di provarlo, o anche solo di dare un limite alla proporzione di numeri interi che cadono in ogni campo. Per quanto ne sapevano i matematici, il campo costituito da somme di cubi razionali poteva essere incredibilmente piccolo, oppure poteva contenere quasi tutti i numeri interi. Matematici hanno calcolato che, se qualcosa chiamata congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è vera (come è ampiamente creduto), circa il 59% dei numeri fino a 10 milioni sono la somma di due cubi razionali. Ma tali dati possono, nella migliore delle ipotesi, offrire suggerimenti su come potrebbe comportarsi il resto della linea dei numeri.
A differenza dei numeri pari e dispari, "questi due campi sono sottili", ha detto Barry Mazur di Harvard. Non esiste un test per determinare quali numeri appartengono a quale campo che è noto per funzionare per tutti i numeri. I matematici hanno escogitato test che sono ottimi candidati, ma per ora ognuno ha qualche inconveniente: o i matematici non possono dimostrare che il test raggiungerà sempre una conclusione, oppure non possono dimostrare che la conclusione è corretta.
La difficoltà di comprendere le somme di cubi, e le equazioni cubiche più in generale, è stata "un motivo di imbarazzo ricorrente per i teorici dei numeri", ha affermato Bhargava. Lui ha vinto la medaglia Fields nel 2014 in parte per il suo lavoro sulle soluzioni razionali alle equazioni cubiche note come curve ellittiche, di cui le somme di due cubi sono un caso particolare.
Ora, in un documento pubblicato online alla fine di ottobre, Alpöge, Bhargava e Shnidman hanno dimostrato che almeno 2/21 (circa il 9.5%) e al massimo 5/6 (circa l'83%) dei numeri interi possono essere scritti come la somma di due frazioni al cubo.
La questione delle somme di cubi non è solo una curiosità. Le curve ellittiche hanno una struttura riccamente intricata che le ha spinte al centro di molte aree della matematica sia pura che applicata, consentendo in particolare ai crittografi di costruire potenti cifrari. La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, la questione centrale nel campo, ha in testa una taglia di 1 milione di dollari come uno dei problemi del Millennium Prize del Clay Mathematics Institute.
Il nuovo lavoro si basa su una serie di strumenti che Bhargava ha sviluppato negli ultimi 20 anni, insieme ai suoi collaboratori, per esplorare l'intera famiglia di curve ellittiche. Capire le somme di due cubi significa analizzare una famiglia molto più piccola, e "più piccola è la famiglia, più difficile è il problema", ha detto Pietro Sarnaki dell'Institute for Advanced Study di Princeton.
Questa particolare famiglia sembrava "fuori portata", ha aggiunto Sarnak. "Avrei detto: 'Sembra troppo difficile, davvero troppo difficile.'"
Una transizione di fase
In contrasto con le somme di frazioni al cubo, che sembrano essere abbondanti, quasi nessun numero intero è la somma di due frazioni al quadrato. All'inizio del 1600, i matematici Albert Girard e Pierre de Fermat avevano escogitato un semplice test per determinare quali numeri interi sono la somma di due quadrati: fattorizza il tuo numero in numeri primi, quindi controlla l'esponente di ciascun numero primo che ha un resto di 3 quando lo dividi per 4. Se quegli esponenti sono tutti pari, il tuo numero è la somma di due frazioni al quadrato; altrimenti non lo è. Ad esempio, 490 fattori in 21 × 51 × 72. L'unico di questi fattori che ha un resto di 3 quando dividi per 4 è 7, e 7 ha un esponente pari. Pertanto, 490 è la somma di due quadrati (per i curiosi, è uguale a 72 + 212).
La stragrande maggioranza dei numeri fallisce il test dell'esponente pari. Se scegli un numero intero a caso, la probabilità che sia la somma di due frazioni al quadrato è essenzialmente zero. I matematici credono che lo stesso sia vero per le somme di due frazioni elevate alla quarta potenza, o alla quinta potenza, o qualsiasi potenza superiore a tre. È solo con le somme dei cubi che improvvisamente c'è abbondanza.
I matematici sono abituati a equazioni cubiche che si comportano diversamente da quelle di tutte le altre potenze. Tra le equazioni composte da due variabili (come le equazioni della somma di due cubi), le equazioni il cui esponente più alto è 1 o 2 tendono a essere ben comprese — in genere non hanno soluzioni razionali o ne hanno infinite, ed è generalmente semplice dire quale. Nel frattempo, le equazioni il cui esponente più alto è 4 o superiore generalmente hanno solo una spruzzata finita di soluzioni razionali.
Le equazioni cubiche, al contrario, possono avere un numero finito di soluzioni, infinite o nessuna soluzione. Queste equazioni rappresentano una sorta di transizione di fase tra gli esponenti sotto 3 e quelli sopra, mostrando fenomeni che non si vedono mai in queste altre impostazioni. "I cubi sono diversi sotto ogni aspetto", ha detto Mazur.
A differenza delle equazioni con esponenti inferiori, i cubi sono sorprendentemente difficili da capire. Non esiste un metodo generale per trovare o persino contare le soluzioni razionali ai cubi che hanno dimostrato di funzionare sempre.
"Anche con tutta la potenza di calcolo che abbiamo, se mi dai una curva ellittica con coefficienti molto grandi, non so necessariamente quante soluzioni razionali abbia", ha detto Wei Ho, un ex studente di Bhargava che è attualmente visiting professor presso l'Istituto di Studi Avanzati.
Nel problema della somma di due cubi, le frazioni coinvolte possono essere enormi: il numero 2,803, ad esempio, è la somma di due frazioni al cubo i cui denominatori hanno ciascuna 40 cifre. E una volta che guardiamo i numeri in milioni, ha detto Bhargava, molte delle frazioni "comporteranno più cifre di quelle che potrebbero stare su tutta la carta di questo mondo".
Matrici di mappatura
Poiché le curve ellittiche sono così ingovernabili, i teorici dei numeri cercano modi per collegarle a oggetti più trattabili. Questo aprile, mentre Alpöge e Shnidman stavano combattendo Covid, loro e Bhargava hanno sviluppato il lavoro che quest'ultimo aveva svolto in precedenza con Ho e hanno capito che ogni volta che un'equazione somma di cubi ha soluzioni razionali, c'è un modo per costruire almeno un 2 speciale Matrice × 2 × 2 × 2 — un analogo quadridimensionale della più familiare matrice bidimensionale. "Abbiamo iniziato a definire un piano per contare queste matrici 2 × 2 × 2 × 2", hanno scritto i tre.
Per fare ciò, il team ha attinto a due argomenti classici che sono stati studiati ciascuno per più di un secolo. Uno è la "geometria dei numeri", che implica come contare i punti del reticolo all'interno di diverse forme geometriche. Questo argomento ha goduto di una rinascita nel campo delle curve ellittiche negli ultimi 20 anni, in gran parte grazie al lavoro di Bhargava e collaboratori.
L'altra tecnica, nota come metodo del cerchio, ha avuto origine nel lavoro del leggendario matematico indiano Srinivasa Ramanujan e del suo collaboratore di lunga data GH Hardy all'inizio del XX secolo. "Questa è la prima grande applicazione della combinazione del metodo del cerchio con queste tecniche di geometria dei numeri", ha detto Ho. "Quella parte è molto bella."
Utilizzando questi metodi, il trio è stato in grado di dimostrare che per almeno 1/6 di tutti i numeri interi non esiste alcuna matrice 2 × 2 × 2 × 2. Ciò significa che per quei numeri l'equazione della somma dei cubi non ha soluzioni razionali. Quindi non più di 5/6 di numeri interi, o circa l'83%, possono essere la somma dei cubi di due frazioni.
Nella direzione opposta, hanno scoperto che almeno 5/12 di tutti i numeri interi hanno esattamente una matrice corrispondente. Si è tentati di concludere che questi numeri siano la somma di due cubi, ma ciò non segue automaticamente. Ogni numero che è la somma di due cubi ha una matrice, ma ciò non significa necessariamente che sia vero il contrario: che ogni numero con una matrice sia la somma di due cubi.
Alpöge, Bhargava e Shnidman avevano bisogno di quello che i ricercatori sulle curve ellittiche chiamano teorema inverso, qualcosa che prende informazioni su un'equazione cubica e le usa per costruire soluzioni razionali. I teoremi inversi formano un fiorente sottocampo della teoria delle curve ellittiche, quindi il trio si è rivolto a due dei professionisti esperti del sottocampo: Ashay Burungale dell'Università del Texas, Austin e di Princeton. Burungale e Skinner sono stati in grado di dimostrare che, almeno qualche volta, se un numero intero ha un'unica matrice associata, allora quel numero deve essere la somma di due cubi razionali. Il loro teorema, che essenzialmente dimostra una parte rilevante della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, appare nell'articolo come un'appendice di tre pagine, che Sarnak descrive come meravigliosa di per sé.
Burungale e Skinner non hanno dimostrato il loro teorema per ogni numero intero con esattamente una matrice: hanno dovuto imporre una condizione tecnica che riducesse il sottoinsieme 5/12 a 2/21, o circa il 9.5%, di tutti i numeri interi. Ma Bhargava è ottimista sul fatto che Burungale e Skinner, o altri ricercatori nella loro area, raggiungeranno il resto dei 5/12 (circa il 41% in tutto) tra non molto. "Le loro tecniche stanno diventando sempre più forti", ha detto Bhargava.
Dimostrare la congettura completa - che esattamente la metà di tutti i numeri interi è la somma di due cubi - richiederà alla fine di affrontare l'insieme di numeri che hanno più di una matrice associata. Questo insieme, che Bhargava chiama "molto nebuloso", include sia numeri che sono la somma di due cubi sia numeri che non lo sono. La gestione di tali numeri richiederà idee completamente nuove, ha affermato.
Per ora, i ricercatori sono felici di aver finalmente risolto la questione per una parte sostanziale di numeri interi e sono ansiosi di sondare ulteriormente le tecniche nella dimostrazione. "È una di quelle cose belle: puoi spiegare il risultato molto facilmente, ma gli strumenti sono molto, molto all'avanguardia della teoria dei numeri", ha detto Sarnak.
