עקומות אליפטיות מניבות את סודותיהן במערכת מספרים חדשה | מגזין קוונטה

התקדמות מסובכת רבות במתמטיקה מחקרית מונעת מהרצון להבין כמה מהשאלות הפשוטות ביותר לגבי מספרים. כיצד מתחלקים המספרים הראשוניים במספרים השלמים? האם יש קוביות מושלמות (כמו 8 = 2³ או 27 = 3³) שניתן לכתוב כסכום של שתי קוביות אחרות? באופן כללי יותר, מתמטיקאים עשויים לרצות לפתור משוואה. אבל לעתים קרובות זה בלתי אפשרי לעשות זאת על ידי התעסקות עם המשוואה עצמה. במקום זאת, מתמטיקאים מוצאים דרכים לחבר את הפתרונות למבנים מופשטים בפראות שמורכבותם צופנת את סודותיהם.

במהלך העשורים האחרונים, אחד מקווי המחקר המלהיבים ביותר במתמטיקה עקב אחר צורה זו. זה היה כרוך בהבנת הקשר בין סוגים מסוימים של משוואות פולינומיות הנקראות עקומות אליפטיות לבין עצמים אזוטריים יותר המכונים צורות מודולריות, אשר פרצו לבולטות במתמטיקה בשנת 1994 כאשר אנדרו ויילס השתמש בהן כדי להוכיח את המשפט האחרון של פרמה, בין התוצאות המפורסמות ביותר של המאה ה-20. מָתֵימָטִיקָה.

בינואר האחרון, אנה קאריאני של אימפריאל קולג' לונדון ואוניברסיטת בון ו ג'יימס ניוטון מאוניברסיטת אוקספורד פתחו תחום חדש של מחקר בתחום זה כשהם הוכיחו שמערכת היחסים שווילס יצר בין עקומות אליפטיות וצורות מודולריות מתקיימת גם לגבי כמה אובייקטים מתמטיים הנקראים שדות ריבועיים דמיוניים.

ווילס הוכיח שסוגים מסוימים של עקומות אליפטיות הם מודולריים - כלומר יש צורה מודולרית מסוימת התואמת לכל עקומה - כאשר שני המשתנים ושני המקדמים המעורבים בהגדרת העקומה הם כולם מספרים רציונליים, ערכים שניתן לכתוב כשברים. לאחר עבודתו, מתמטיקאים התאמצו לבסס מודולריות במגוון רחב יותר של הקשרים. בשנת 2001 ארבעה מתמטיקאים הוכיחו שכל העקומות האליפטיות הן מודולריות על המספרים הרציונליים (ואילו ווילס הוכיח זאת רק עבור כמה עקומות). בשנת 2013, שלושה מתמטיקאים כולל סמיר סיקסק מאוניברסיטת וורוויק הוכיחה שגם עקומות אליפטיות הן מודולריות על פני שדות ריבועיים אמיתיים  (כלומר שהמשתנים והמקדמים לקוחים ממערכת מספרים הנקראת שדה ריבועי אמיתי).

ככל שההתקדמות התגברה, מטרה מסוימת נותרה מחוץ להישג יד: הוכחה כי עקומות אליפטיות הן מודולריות על פני שדות ריבועיים דמיוניים.

שדות ריבועיים הם אבן קפיצה מתמטית בין המספרים הרציונליים למספרים הממשיים, הכוללים כל מספר עשרוני אפשרי, גם אלה עם תבניות אינסופיות מימין לנקודה העשרונית שלעולם אינם חוזרים על עצמם. (זה כולל את כל המספרים האי-רציונליים, כמו $latex sqrt{2}$ או $latex pi $.)

שדות ריבועיים בוחרים מספר שלם - נניח 5 - וכוללים את כל המספרים בצורת $latex a + bsqrt{5}$ שבו a ו b שניהם מספרים רציונליים. אם המספר השלם המדובר הוא חיובי, אז השדה הריבועי המתקבל הוא תת-קבוצה של המספרים הממשיים, כך שהוא ידוע בתור שדה ריבועי אמיתי.

מה לגבי עקומות אליפטיות המוגדרות על פני שדות ריבועיים דמיוניים - אלה שנוצרים על ידי לקיחת השורש הריבועי של מספר שלילי?

זו הבעיה שהתמודדו עם קאראיאני וניוטון.

לפני מאות שנים, מתמטיקאים הגדירו את השורש הריבועי של מספרים שליליים בצורה פשוטה: הם נתנו שם, i, לשורש הריבועי של −1. אז השורש הריבועי של כל מספר שלילי אחר הוא רק i כפול השורש הריבועי של המספר החיובי המתאים. אז $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. מספרים דמיוניים ממלאים תפקיד מכריע במתמטיקה מכיוון שלבעיות רבות, קל יותר לעבוד איתם מאשר מספרים אמיתיים.

אבל ההוכחה שעקומות אליפטיות הן מודולריות על פני שדות ריבועיים דמיוניים נותרה מזמן מחוץ להישג יד, מכיוון שהטכניקות להוכחת מודולריות על פני שדות ריבועיים אמיתיים אינן עובדות.

קאראיאני וניוטון השיגו מודולריות - עבור כל העקומות האליפטיות על פני כמחצית מכל השדות הריבועיים הדמיוניים - על ידי הסבר כיצד להתאים תהליך להוכחת מודולריות שחלו על ידי ווילס ואחרים לעיקולים אליפטיים על פני שדות ריבועיים דמיוניים.

"שם נכנסה העבודה היפה של קאראיאני וניוטון. הם שיפרו את הצעד השני של ווילס", אמר Chandrashekhar Khare מאוניברסיטת קליפורניה, לוס אנג'לס.

העבודה היא הישג טכני בפני עצמו, והיא פותחת פתח להתקדמות בכמה מהשאלות החשובות ביותר במתמטיקה במסגרת הדמיונית.

שדכן, שדכן

למתמטיקאים אכפת מהפתרונות למשוואות פולינומיות - שילובים של משתנים שהועלו לחזקות קבועות - לפחות מאז היוונים הקדמונים. המשוואות מגיעות במגוון אינסופי, המושגות על ידי התאמת כמות המשתנים, המקדמים של המשתנים הללו והעצמות שאליהם הם מועלים. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ הוא רק דוגמה אחת.

עקומות אליפטיות הן משוואות פולינומיות שנמצאות ברמת הקשיות האופטימלית לחקירה מתמטית. יש מסודר (ונלמד בהרחבה) נוסחה למציאת פתרונות לפולינומים ריבועיים במשתנה אחד, שבה החזקה הגבוהה ביותר היא 2, אך אין נוסחה כזו לפתרונות לפולינומים שבהם החזקה הגבוהה ביותר היא 5 ומעלה. הוספת עוד משתנים בדרך כלל הופכת את הדברים גם למסובכים יותר. אבל עקומות אליפטיות, שיש להן שני משתנים והעוצמה הגבוהה ביותר שלהן היא 3, כמו $latex (y^2=x^3+1)$, מאתגרות מספיק כדי לעורר המצאה, מבלי להיות כל כך קשות עד שהן מרגישות חסרות תקווה.

אחת השאלות הבסיסיות לגבי עקומה אליפטית היא האם ישנם זוגות רציונליים רבים באופן סופי או אינסופי שפותרים אותה. לחלק מהעקומות האליפטיות יש אינסוף פתרונות רציונליים, לאחרות יש אינסוף הרבה, ולחלקן אין בכלל.

"יש להם סוג כזה של התנהגות ביניים מצחיקה", אמר קאראיאני.

אם נמסרת לך עקומה אליפטית אקראית, לא ברור מיד לאיזו קטגוריה היא נכנסת. אבל אפשר לפענח אותו על ידי התאמה לאובייקט תואם הנקרא צורה מודולרית, שמאפייניו חושפים את התשובה.

תפוס אותי טופס מודולרי

צורות מודולריות הן פונקציות הנלמדות באנליזה, צורה מתקדמת של חשבון. הם מאוד סימטרי ולעתים קרובות ניתן לתרגם - להזיז שמאלה או ימינה - מבלי לאבד את המראה שלהם. בדרך זו יש להם תכונות משותפות עם פונקציות סימטריות אחרות, כמו פונקציית הסינוס, אם כי פחות פשוט לרשום או להמחיש אותן.

כל צורה מודולרית מגיעה עם מקדמים. אתה יכול לרשום אותם, לייצר סדרה של מספרים. למספרים הללו יש מאפיינים יפים מאוד, והם נראים רחוקים מלהיות אקראיים. הם עשו מסתורין למתמטיקאים החל בתחילת המאה ה-20, כאשר הגאון המתמטי Srinivasan Ramanujan החל לתפוס כי הדפוסים במקדמים של צורה מודולרית מוסברים על ידי העובדה שכל צורה מודולרית מחוברת לסוג שני של אובייקט הנקרא ייצוג גלואה. . עבודה מאוחרת יותר אישרה את הקישור.

גם לעיקולים אליפטיים יש ייצוגים של גלואה, ולאחר עבודתו של רמנוג'אן, נראה היה שאפשר לשלב ייצוגים של גלואה בין עקומות אליפטיות וצורות מודולריות: התחל עם אחת, זהה את הייצוג הגלואי שלה, מצא את השני.

"אתה חושב בערך: לעיקולים אליפטיים, לאובייקטים מגיאומטריה, יש ייצוגים של גלואה, ולצורות מודולריות יש ייצוגים של גלואה - האם יש התאמה?" אמר סיקסק.

בסוף שנות ה-1950, יוטאקה טאניאמה וגורו שימורה הציעו שיש התאמה מושלמת של 1 ל-1 בין צורות מודולריות מסוימות לעיקולים אליפטיים. בעשור הבא רוברט לנגלנדס בנה על הרעיון הזה בבנייתו תוכנית Langlands נרחבת, שהפכה לאחת מתוכניות המחקר מרחיקות הלכת והתוצאות ביותר במתמטיקה.

אם ההתכתבות בין 1 ל-1 נכונה, זה ייתן למתמטיקאים סט רב עוצמה של כלים להבנת הפתרונות לעיקולים אליפטיים. לדוגמה, יש סוג של ערך מספרי הקשור לכל צורה מודולרית. אחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר של מתמטיקה (להוכיח שהיא מגיעה עם א פרס של מיליון דולר) - השערת Birch and Swinnerton-Dyer - מציעה שאם הערך הזה הוא אפס, אז לעקומה האליפטית הקשורה לצורה המודולרית הזו יש אינסוף פתרונות רציונליים, ואם היא לא אפס, לעקומה האליפטית יש אינסוף פתרונות רציונליים.

אבל לפני שאפשר להתמודד עם כל דבר כזה, מתמטיקאים צריכים לדעת שההתכתבות מתקיימת: תן לי עקומה אליפטית, ואני יכול לתת לך את הצורה המודולרית התואמת שלה. הוכחה שזה מה שעשו מתמטיקאים רבים, מווילס ועד קאראיאני וניוטון, בעשורים האחרונים.

עיין בספר שלך

לפני עבודתו של ווילס, מתמטיקאים הצליחו להוכיח כיוון אחד של ההתכתבות: במקרים מסוימים הם יכלו להתחיל בצורה מודולרית ולמצוא את העקומה האליפטית התואמת לה. אבל ללכת בכיוון השני - לזה מתכוונים מתמטיקאים כשהם מדברים על עקומות אליפטיות מודולריות - היה קשה יותר, ווילס היה הראשון שהשיג זאת.

"אנשים קודמים יותר ידעו איך לעבור מצורה מודולרית לאליפטית בנסיבות מסוימות, אבל הכיוון האחורי הזה מאליפטי למודולרי היה זה שווילס הניע", אמר חאר.

ווילס הוכיח מודולריות עבור סוגים מסוימים של עקומות אליפטיות עם מקדמים שהם מספרים רציונליים. זה כשלעצמו הספיק כדי להוכיח את המשפט האחרון של פרמה בדרך של סתירה. (וילס הוכיח שאם המשפט האחרון של פרמה היה שקרי, זה היה מרמז על קיומה של עקומה אליפטית שעבודה קודמת קבעה לא יכולה להתקיים. לכן, המשפט האחרון של פרמה חייב להיות נכון).

כשהמתמטיקאים הרחיבו את עבודתו של ווילס על עקומות אליפטיות, הם נקטו באותה שיטה שבה השתמש כדי להוכיח את התוצאה הראשונית שלו.

לאחר ההצלחות בהכללת התוצאה למספרים רציונליים ושדות ריבועיים רציונליים, ההרחבה הבאה הברורה הייתה לשדות ריבועיים דמיוניים.

"יש רק שני דברים שיכולים לקרות: התחום הוא אמיתי או דמיוני", אמר קאראיאני. "המקרה האמיתי כבר היה מובן, אז זה טבעי ללכת למקרה הדמיוני".

לשדות ריבועיים דמיוניים יש את אותן תכונות אריתמטיות בסיסיות כמו למספרים הרציונליים ולמספרים האמיתיים, אבל לא ניתן היה להשתיל שם את השיטה של ​​וילס באותה קלות. ישנן סיבות רבות לכך, אבל במיוחד, צורות מודולריות על פני שדות ריבועיים דמיוניים הן הרבה פחות סימטריות מאשר על הרציונלים והממשיים. חוסר הסימטריה היחסי הזה מקשה על הגדרת ייצוגי הגלואה שלהם, שהם המפתח ליצירת התאמה עם עקומה אליפטית.

במשך שנים לאחר הוכחת פרמה של ווילס, "המקרה של שדות ריבועיים דמיוניים היה עדיין מעבר למה שהיה אפשרי", אמר חאר. אבל במהלך העשור האחרון, סדרה של התקדמות הכינה את הדרך לעבודתם של קאראיאני וניוטון.

תביא לי טבעת (או יותר טוב, שדה)

השלב הראשון בשיטה של ​​וילס היה ליצור התאמה משוערת בין עקומות אליפטיות וצורות מודולריות. השניים מחוברים באמצעות ייצוגי Galois המקודדים בסדרה של מספרים שמקורם באופן ייחודי משני צידי הזיווג.

בסופו של דבר אתה רוצה להראות שהמספרים המגדירים את הייצוגים של Galois תואמים בדיוק, אבל בשלב הראשון זה מספיק כדי להראות שהם שונים במרווח שגיאה עקבי כלשהו. לדוגמה, אתה יכול להוכיח שסדרת מספרים תואמת אם אתה יכול להוסיף או להחסיר כפולות של 3 כדי להגיע מכל מספר למספר המתאים לו. לאור זה, (4, 7, 2) תואם עם (1, 4, 5) או עם (7, 10, 8), אך לא עם (2, 8, 3). אפשר גם לומר שהם תואמים אם הם נבדלים בכפולות של 5, 11 או מספר ראשוני כלשהו (מסיבות טכניות אך חשובות, מרווח הטעות תמיד חייב להיות ראשוני). א 2019 מאמר by פטריק אלן, Khare ו ג'ק תורן סיפק סוג זה של אחיזת רגל בבעיה.

"הם הוכיחו משפטים שנותנים לך מאיפה להתחיל," אמר ניוטון.

בערך באותו זמן שהעבודה ב-2019 יצאה לדרך, קבוצה של 10 מתמטיקאים עבדה כדי לבצע שלבים נוספים בשיטת עבודתו של ווילס עבור שדות ריבועיים דמיוניים. שיתוף הפעולה החל במהלך שבוע שעבר במכון למחקר מתקדם וכלל את אלן ות'ורן - מחברי המאמר ב-2019 - וכן את קאראיאני וניוטון.

המטרה הראשונה של הקבוצה הייתה לקבוע שלייצוגי גלואה המגיעים מצורות מודולריות יש סוג מסוים של עקביות פנימית. תכונה זו - שהיא תנאי מוקדם להתאמתם עם ייצוגי גלואה המגיעים מעקומות אליפטיות - נקראת תאימות מקומית-גלובלית.

שיתוף הפעולה של 10 אנשים הצליח לעשות זאת בחלק מהמקרים המיוחדים, אך לא ברובם. כששיתוף הפעולה הסתיים, קאראיאני וניוטון החליטו להמשיך לעבוד יחד כדי לראות אם הם יכולים לעשות יותר.

"היינו בלונדון באותו זמן, ונהנינו לדבר אחד עם השני על דברים שהופיעו בפרויקט של 10 מחברים", אמר קאראיאני. "ידענו מהן נקודות התקלה, מהן החסמים ללכת רחוק יותר".

לילה אחר לילה בחושך 

זמן קצר לאחר שהם התחילו לעבוד בעצמם, קראיאני וניוטון נחתו על אסטרטגיה של מעבר לעבודה שהחלו עם הקבוצה הגדולה יותר. ברור שזה לא נראה לא בסדר, אבל גם לא היה להם מושג אם זה באמת יעבוד.

"התחלנו עם הרעיון האופטימי הזה שדברים יסתדרו, שנוכל להוכיח משהו קצת יותר חזק מהמאמר הזה של 10 מחברים, ובסופו של דבר הגענו", אמר ניוטון.

קאראיאני וניוטון עבדו על הרעיון הזה במשך שנתיים, ועד סוף 2021 האופטימיות שלהם השתלמה: הם שיפרו את תוצאת התאימות המקומית-גלובלית שנעשתה על ידי צוות 10 המחברים. הם מתארים כיצד בקטע ארוך וטכני הכולל את המחצית הראשונה של העבודה הסופית שלהם, שאורכה יותר מ-100 עמודים.

"ידענו שברגע שהיצירה הטכנית הזו תהיה במקום, מודולריות תהיה במשחק", אמר קאראיאני.

השלב הראשון בשיטה של ​​ויילס היה ביסוס סוג של מודולריות משוערת. השלב השני היה תוצאת התאימות המקומית-גלובלית. הצעד השלישי היה לקחת את הידע שלהם שלפחות מספר קטן של עקומות הן מודולריות ולמנף אותה כדי להוכיח שהרבה עקומות הן מודולריות. מהלך זה היה אפשרי בשל מה שנקרא משפט הרמת מודולריות.

"זה מאפשר לך להפיץ מודולריות מסביב," אמר ניוטון. "אם אתה יודע את המודולריות של משהו, ההרמה הזו [של] הדברים מאפשרת לך להציל את המודולריות של הרבה דברים אחרים. אתה סוג של מפיץ את תכונת המודולריות הזו באיזו דרך נחמדה."

התאמה ללא התאמה

יישום משפט ההרמה אפשר לקראיאני ולניוטון להוכיח את המודולריות של אינסוף עקומות אליפטיות, אבל עדיין היו כמה מקרים פינתיים שהם לא הצליחו להשיג. אלו היו קומץ משפחות של עקומות אליפטיות בעלות תכונות ייחודיות שהפכו אותן לבלתי נגישות למשפט ההרמה.

אבל בגלל שהיו כל כך מעט מהם, קאראיאני וניוטון יכלו לתקוף אותם ביד - לחשב את ייצוגי הגלואה שלהם בזה אחר זה כדי לנסות ליצור התאמה.

"שם היה לנו כיף לחשב המון המון נקודות בכמה עקומות", אמר קאראיאני.

המאמץ הצליח, עד לנקודה מסוימת. קאראיאני וניוטון הצליחו בסופו של דבר להוכיח שכל העקומות האליפטיות הן מודולריות על פני כמחצית מהשדות הריבועיים הדמיוניים, כולל השדות הנוצרים על ידי שילוב המספרים הרציונליים עם השורש הריבועי של −1, −2, −3 או −5. עבור שדות ריבועיים דמיוניים אחרים, הם הצליחו להוכיח מודולריות עבור עקומות אליפטיות רבות, אך לא לכולם. (המודולריות של החזקות נותרה שאלה פתוחה.)

התוצאה שלהם מספקת בסיס לחקירת כמה מאותן שאלות בסיסיות לגבי עקומות אליפטיות על פני שדות ריבועיים דמיוניים שמתמטיקאים רודפים אחרי הרציונלים והממשיים. זה כולל את הגרסה הדמיונית של המשפט האחרון של פרמה - אם כי יש צורך להניח יסודות נוספים לפני שניתן לגשת לכך - ואת הגרסה הדמיונית של השערת ליבנה וסווינרטון-דייר.

אבל אם מתמטיקאים יתקדמו בכל אחד מהמקומות, קאראיאני לא יהיה חלק מזה - לפחות לא כרגע. אחרי שנים של עבודה על המודולריות של עקומות אליפטיות, היא מוכנה לנסות משהו אחר.

"אם אני משיגה תוצאה בכיוון אחד, אני לא תמיד אוהבת להמשיך לעבוד רק בכיוון הזה", אמרה. "אז עכשיו העברתי את תחומי העניין שלי למשהו עם קצת יותר טעם גיאומטרי."

תיקון: 6 ביולי 2023
מאמר זה אמר במקור שאין נוסחה כללית לפתרונות של משוואה פולינומית שהמעריך הגבוה ביותר שלה הוא 4 ומעלה. המספר הנכון הוא 5. המאמר תוקן.