Matematikere eliminerer langvarig trussel mot knuteformodninger

For over 60 år siden stilte Ralph Fox et problem om knuter som hjemsøker matematikere den dag i dag. Spørsmålet hans er nå ofte formulert som "slice-ribbon-formodningen", som antyder at to tilsynelatende forskjellige grupper av knuter faktisk er det samme. Med sitt forslag om elegant enkelhet i knutenes verden, har det blitt et av de mest profilerte problemene innen knuteteori. "Det ville bety at verden er litt mer strukturert enn du kanskje forventer ellers," sa Arunima Ray, en matematiker ved Max Planck Institute for Mathematics i Bonn.

I flere tiår ble en bestemt knute mistenkt for å være en mulig vei for å avgjøre formodningen. Likevel i en papir lagt ut i fjor sommer, fant fem matematikere ut at denne knuten ikke kommer til å fungere likevel. Mens argumentene de introduserte vil gi ny innsikt i en bredere klasse av knuter, gjør arbeidet som helhet matematikere usikre på formodningen. "Jeg tror det er faktisk legitim kontrovers om det kommer til å vise seg å være sant eller ikke," sa Kristen Hendricks, en matematiker ved Rutgers University.

Skivebåndformodningen gjelder to typer knuter: skiveknuter og båndknuter. Å finne ut hvilke knuter som er skive er "et av de grunnleggende spørsmålene som faget vårt dreier seg om," sa Abhishek Mallick, en av forfatterne av det nye papiret.

En matematisk knute kan betraktes som en vanlig løkke av hyssing. Matematikere kaller en enkel løkke uten en knute for "uknute". (Selv om dette ikke er en knute i ordets vanlige betydning, tenker matematikere på den uknotede som det enkleste eksemplet på en knute.)

Knuter definerer også grensen for en form som matematikere kaller en skive, selv om den ikke alltid ser skiveaktig ut i ordets vanlige betydning. Det enkleste eksemplet, uknuten, danner grensen til en sirkel - en "skive" som virkelig ser ut som en skive. Men løkken danner grensen ikke bare for en sirkel som ligger flatt på et bord, men også til en bolle - som strekker seg inn i tre dimensjoner - som er lagt opp ned på toppen av bordet. Skivene som knuter definerer kan utvides ytterligere fra tre dimensjoner til fire.

Hvis det er en knute i strengen, blir diskene mer kompliserte. I tredimensjonalt rom har disse diskene singulariteter - punkter der de er matematisk dårlig oppført. Skiveknuter er de som det er mulig - i fire dimensjoner - å finne en disk uten slike singulariteter. Skiveknuter er "nest beste til uknuten," som Peter Teichner, også ved Max Planck Institute, har satt den.

Til tross for det kan skivene avgrenset av skiveknuter i tre dimensjoner være stygge og vanskelige å jobbe med. Skivebånd-formodningen sier at de ikke nødvendigvis trenger å være det.

Båndknuter er knuter hvis skiver ligner bånd. I tre dimensjoner kan disse båndene passere gjennom seg selv, på samme måte som et vanlig bånd kan trekkes gjennom en flenge laget nedover i midten. Matematisk kalles en slik gjennomføring en båndsingularitet. I motsetning til andre typer singulariteter, kan båndsingulariteten lett elimineres ved å flytte inn i fire dimensjoner. Dette gjør det enkelt for matematikere å vise at alle båndknuter er skiver.

Det motsatte - at hver skiveknute også er bånd - er skivebåndformodningen, som har vært et åpent spørsmål i flere tiår. (For å komplisere saken ytterligere, har skiveknuter flere relaterte klassifikasjoner, inkludert "jevn skive" og "topologisk skive." Formodningen gjelder bare for knuten "jevn skive", som er det matematikere vanligvis mener med "skive.")

For å motbevise formodningen, er det nok å finne en knute som er jevnt oppskåret, men ikke bånd. I flere tiår hadde matematikere øye på en kandidat: (2, 1) kabelen til åtte-figur-knuten, laget ved å tre en andre streng langs en åtte-figur-knute og deretter slå sammen de to strengene for å lage en enkelt knute.

I 1980 beviste Akio Kawauchi at denne knuten er både rasjonelt og algebraisk skive, egenskaper som ligner på å være jevn skive, men ikke helt det samme. I 1994 beviste Katura Miyazaki at det ikke er bånd, og etterlot en spennende åpning for matematikere. Hvis Kawauchis resultat kunne styrkes med bare et trykk for å vise at knuten er jevnt snittet, ville det motbevise formodningen.

Det nye papiret beviser at den aktuelle knuten ikke er en skive likevel, og smeller igjen denne døren.

"Slice-ribbon-formodninger, still going strong," sa Hendricks, som har jobbet tett med to av forfatterne av det nye papiret. "Det er veldig spennende, fordi folk har prøvd å forstå dette eksemplet i ganske lang tid."

Det nye beviset er basert på noe som kalles et forgrenet dobbeltdeksel. Du kan visualisere et forgrenet dobbeltdeksel ved å tenke på en hul kule, som en basketball. For å lage et forgrenet dobbeltdeksel av en basketball, skjær det opp fra topp til bunn langs en av lengdelinjene. Trekk nå på den ene siden av gummien der du har kuttet, og strekk den langs ekvator til materialet vikler seg hele veien rundt. Når du har fullført denne transformasjonen, har du en basketball laget av to utskiftbare lag med materiale, derav "dobbeltdekselet". (I dette scenariet kan gummien strekkes og vris slik du vil uten å knekke eller krølle.)

Det "forgrenede" i "forgrenet dobbeltdeksel" kommer fra et særpreg ved transformasjonen. Siden du strakte deg horisontalt, er det fortsatt bare ett lag på toppen og bunnen av ballen, nord- og sørpolen. Disse punktene kalles grenpunkter, og deres tilstedeværelse gjør dobbeltdekselet til et forgrenet dobbeltdeksel.

Når det gjelder knuter, er det forgrenede dobbeltdekselet satt sammen på en slik måte at grenpunktene er selve knuten: punktene som, i likhet med basketballens nord- og sørpoler, kun dekkes én gang.

"Historisk sett har det vært et standardverktøy for bransjen å se på dobbeltforgrenede deksler," sa Jennifer Hom, en matematiker ved Georgia Institute of Technology som har jobbet med to av forfatterne til den nye artikkelen. Dette er fordi - akkurat som en basketball omgir en luftball - det forgrenede doble dekselet til en skiveknute omgir en viss firedimensjonal form. Hvis matematikere kan vise at en knutes forgrenede doble deksel ikke omgir den rette 4D-formen, kan de utelukke muligheten for at knuten er skive.

Men dette fungerer ikke helt for (2, 1) kabelen til den åtte-figur knuten: Dens forgrenede doble dekselet omgir riktig type firedimensjonal form. Å vise at kabelen (2, 1) til knuten på åttetallet ikke er en skive, avhenger av en ofte oversett symmetri i formen.

Når du strekker overflaten til en basketball for å danne et forgrenet dobbeltdeksel, kan du tenke deg å gjøre noe analogt med den tredimensjonale luftballen inni. Når du trekker gummien rundt ballen, drar du bare luften sammen med den. Akkurat som de to lagene med gummi er utskiftbare, er det to halvkuler i luftkulen som begge ender opp på samme sted. Med andre ord, symmetrien fra utsiden av ballen strekker seg til innsiden.

På samme måte når symmetriene på det forgrenede dobbeltdekselet til en skiveknute inn i 4D-rommet innenfor. Matematikere ser vanligvis bort fra denne symmetrien når de prøver å vise at knuter ikke er skiver. Men i dette tilfellet var det viktig. Hvis forfatterne av det nye verket kunne vise at det ikke var en slik symmetri, ville de kunne konkludere med at knuten ikke er en skive.

«Fordi spørsmålet ikke refererer til noen symmetri, vil du tenke: Vel, hvordan kommer symmetrien inn i bildet for å si noe om det? Men på en eller annen måte, på en magisk måte, i dette tilfellet kommer symmetrien til bildet og løser problemet for deg,» sa Mallick, som skrev det nye papiret med Irving Dai ved Stanford University, JungHwan Park ved Korea Advanced Institute of Science and Technology, Matthew Stoffregen fra Michigan State University, og Sungkyung Kang ved Institute for Basic Science i Sør-Korea.

"Vi visste at strukturen var der. Men en del av grunnen til at folk ikke studerte det, er at vi ikke hadde noen måte å holde styr på strukturen, sa Ray. "Du trenger et fancy, kraftig verktøy for å oppdage det."

For å argumentere, måtte teamet bruke dyp, komplisert matematikk relatert til knuten og dens omkringliggende rom, og stole på symmetrier som var mer subtile enn de for det forgrenede dobbeltdekselet. I to tidligere papirer, Dai, Mallick og Stoffregen hadde beregnet noen av disse egenskapene. Da Kang besøkte Stoffregen i Michigan State i fjor sommer, med (2, 1) kabelen til en åtte-figur knuten fortsatt i tankene hans, skjønte forskerne raskt at disse formlene ville løse problemet med dens skive. "Det er en intuisjon som fortalte meg at denne beregningen burde fungere," sa Kang. "Og ved bare å beregne det, bør vi være i stand til å løse dette problemet akkurat nå."

I slutten av juli ble avisen deres lagt ut på nettet, noe som beviste at knuten faktisk ikke var en skive. Ideene i avisen, sa Park, burde være anvendelige på mange knuter hvis skive for øyeblikket er i tvil. "Dette er bare begynnelsen," sa han. Selv om denne artikkelen fokuserer på en bestemt knute, sa Park at verktøyene de utviklet vil fungere for langt mer generelle knuterfamilier. At den opprinnelige knuten ikke er oppskåret, sikrer imidlertid at formodningen om skivebåndet forblir uavklart for nå.