Introducere
Teoria nodurilor a început ca o încercare de a înțelege structura fundamentală a universului. În 1867, când oamenii de știință încercau cu nerăbdare să descopere ce ar putea explica toate tipurile diferite de materie, matematicianul și fizicianul scoțian Peter Guthrie Tait i-a arătat prietenului și compatriotului său Sir William Thomson dispozitivul său pentru generarea inelelor de fum. Thomson – care mai târziu a devenit Lord Kelvin (omonim al scalei de temperatură) – a fost captivat de formele atrăgătoare ale inelelor, stabilitatea și interacțiunile lor. Inspirația lui l-a condus într-o direcție surprinzătoare: poate, se gândi el, la fel cum inelele de fum erau vârtejuri în aer, atomii erau inele de vortex înnodate în eterul luminifer, un mediu invizibil prin care, credeau fizicienii, lumina se propaga.
Deși această idee din epoca victoriană poate suna acum ridicolă, nu a fost o investigație frivolă. Această teorie a vârtejului a avut multe de recomandat: diversitatea absolută a nodurilor, fiecare ușor diferită, părea să oglindească proprietățile diferite ale numeroaselor elemente chimice. Stabilitatea inelelor vortex ar putea oferi, de asemenea, permanența necesară atomilor.
Teoria vortexului a câștigat acțiune în comunitatea științifică și l-a inspirat pe Tait să înceapă să tabuleze toate nodurile, creând ceea ce spera el să fie echivalent cu un tabel de elemente. Desigur, atomii nu sunt noduri și nu există eter. Până la sfârșitul anilor 1880, Thomson și-a abandonat treptat teoria vortexului, dar până atunci Tait a fost captivat de eleganța matematică a nodurilor sale și și-a continuat proiectul de tabulare. În acest proces, el a stabilit domeniul matematic al teoriei nodurilor.
Cu toții suntem familiarizați cu nodurile - ei țin pantofii în picioare, bărcile fixate de docuri și alpiniștii de pe stâncile de dedesubt. Dar acele noduri nu sunt exact ceea ce matematicienii (inclusiv Tait) ar numi un nod. Deși un prelungitor încurcat poate părea înnodat, este întotdeauna posibil să-l dezlipiți. Pentru a obține un nod matematic, trebuie să conectați capetele libere ale cablului pentru a forma o buclă închisă.
Deoarece firele unui nod sunt flexibile ca și sfoara, matematicienii văd teoria nodului ca un subdomeniu al topologie, studiul formelor maleabile. Uneori este posibil să descurci un nod, astfel încât acesta să devină un simplu cerc, pe care îl numim „deznod”. Dar, de cele mai multe ori, descurcarea unui nod este imposibil.
De asemenea, nodurile se pot combina pentru a forma noi noduri. De exemplu, combinarea unui nod simplu cunoscut sub numele de trefoil cu imaginea sa în oglindă produce un nod pătrat. (Și dacă unești două noduri identice trefoil, faci un nod bunică.)
Folosind terminologia din lumea numerelor, matematicienii spun că trefoliul este un nod prim, nodul pătrat este compus și, ca și numărul 1, deznodul nu este niciunul. Această analogie a fost susținută în continuare în 1949, când Horst Schubert a demonstrat că fiecare nod fie este prim, fie poate fi descompus unic în noduri prime.
O altă modalitate de a crea noduri noi este să împletești două sau mai multe noduri, formând o legătură. Inelele Borromee, numite astfel pentru că apar pe stema Casei italiene Borromeo, sunt un exemplu simplu.
Thomson și Tate nu au fost primii care au văzut nodurile într-un mod matematic. Încă din 1794, Carl Friedrich Gauss a scris și a desenat exemple de noduri în caietul său personal. Iar studentul lui Gauss, Johann Listing, a scris despre noduri în monografia sa din 1847 Vorstudien zur Topologie („Studii preliminare de topologie”) — care este, de asemenea, originea termenului de topologie.
Dar Tait a fost primul savant care a lucrat la ceea ce a devenit problema fundamentală în teoria nodurilor: clasificarea și întabularea tuturor nodurilor posibile. Prin ani de muncă minuțioasă folosind doar intuiția sa geometrică, el a găsit și clasificat toate nodurile principale care, atunci când sunt proiectate pe un plan, au cel mult șapte încrucișări.
La sfârșitul secolului al XIX-lea, Tait a aflat că alte două persoane - reverendul Thomas Kirkman și matematicianul american Charles Little - studiau și ele această problemă. Cu eforturile lor combinate, au clasificat toate nodurile prime cu până la 19 încrucișări și multe dintre cele cu 10 încrucișări. În mod uimitor, tabelele lor de până la 11 au fost complete: nu au ratat niciun nod.
Este remarcabil că Tait, Kirkman și Little au realizat atât de multe fără teoremele și tehnicile care ar fi descoperite în anii următori. Dar un lucru care a funcționat în favoarea lor a fost faptul că majoritatea nodurilor mici sunt „alternante”, ceea ce înseamnă că au o proiecție în care încrucișările prezintă un model consistent peste-sub-supra-sub.
Nodurile alternative au proprietăți care le fac mai ușor de clasificat decât nodurile nealternante. De exemplu, găsirea numărului minim de încrucișări pentru orice proiecție a unui nod este dificilă. Dar Tait, care de ani de zile a presupus în mod eronat că toate nodurile alternau, a presupus o modalitate de a spune dacă ați găsit acel număr minim: dacă o proiecție alternativă nu are încrucișări care să poată fi îndepărtate prin răsturnarea unei părți a nodului, atunci trebuie să fie proiecţia cu numărul minim de treceri.
Aceasta și alte două conjecturi ale lui Tait despre nodurile alternante au ajuns să fie adevărate. Cu toate acestea, aceste conjecturi celebre nu au fost dovedite până la sfârșitul anilor 1980 și începutul anilor '90 folosind un instrument matematic dezvoltat în 1984 de Vaughan Jones, care a câștigat medalia Fields pentru munca sa în teoria nodurilor.
Din păcate, nodurile alternante te duc doar atât de departe. Odată ce intrăm în noduri cu opt sau mai multe încrucișări, numărul de noduri nealternante crește rapid, făcând tehnicile lui Tait mai puțin utile.
Tabelul inițial al tuturor celor 10 noduri de încrucișare a fost complet, dar Tait, Kirkman și Little au numărat dublu. Abia în anii 1970, Kenneth Perko, un avocat care studiase teoria nodurilor la Princeton, a observat că două dintre noduri sunt imagini în oglindă unul cu celălalt. Acum sunt cunoscuți ca perechea Perko în onoarea lui.
În ultimul secol, matematicienii au găsit multe modalități inteligente de a determina dacă nodurile sunt cu adevărat diferite. În esență, ideea este să identifica un invariant — o proprietate, o cantitate sau o entitate algebrică care este asociată cu nodul și care poate fi adesea calculată simplu. (Aceste proprietăți au nume precum colorabilitate, număr de punte sau writhe.) Înarmați cu aceste etichete, matematicienii pot acum compara cu ușurință două noduri: dacă diferă în orice atribut dat, atunci nu sunt același nod. Niciuna dintre aceste proprietăți, însă, nu este ceea ce matematicienii numesc un invariant complet, ceea ce înseamnă că două noduri diferite pot avea aceeași proprietate.
Din cauza acestei complexități, nu este de mirare că tabularea nodurilor este încă în desfășurare. Cel mai recent, în 2020, Benjamin Burton a clasificat toate nodurile prime până la 19 treceri (dintre care sunt aproape 300 de milioane).
Teoria tradițională a nodurilor are sens doar în trei dimensiuni: în două dimensiuni este posibil doar desfășurarea, iar în patru dimensiuni camera suplimentară permite nodurilor să se desfășoare singure, astfel încât fiecare nod este la fel cu deznodul.
Cu toate acestea, în spațiul cu patru dimensiuni putem înnoda sfere. Pentru a înțelege ce înseamnă acest lucru, imaginați-vă că tăiați o sferă obișnuită la intervale regulate. Procedând astfel, rezultă cercuri, ca linii de latitudine. Totuși, dacă am avea o dimensiune suplimentară, am putea înnoda sfera, astfel încât feliile, acum tridimensionale mai degrabă decât două, ar putea fi noduri.
Această idee a stat în spatele unuia dintre cele mai mari rezultate recente în teoria nodurilor. În 2018, studenta de atunci absolventă Lisa Piccirillo a rezolvat o întrebare veche de 50 de ani despre un nod cu 11 încrucișări descoperit pentru prima dată de John Conway. Întrebarea avea de-a face cu o proprietate numită sliceness. După cum am văzut, atunci când tăiem o sferă înnodat în patru dimensiuni, obținem un nod sau o legătură în trei dimensiuni. Uneori putem obține un anumit nod dintr-o sferă drăguță cu noduri, dar pentru alte noduri sfera trebuie înnodată și șifonată ca o bucată de hârtie uzată. Piccirillo a dovedit, în esență, că nodul lui Conway era de acest din urmă tip. În limbajul tehnic, ea a dovedit că nu este o „felie netedă”.
Teoria nodurilor a străbătut peisajul matematic de-a lungul secolelor. A început ca o zonă aplicată a matematicii, Thomson încercând să folosească noduri pentru a înțelege structura materiei. Pe măsură ce ideea a dispărut, a devenit o zonă a matematicii pure, o ramură a domeniului intrigant și încă nepractic al topologiei. Dar, în ultimii ani, teoria nodurilor a devenit din nou un domeniu aplicat al matematicii, deoarece oamenii de știință folosesc ideile din teoria nodurilor pentru a investiga dinamica fluidelor, electrodinamică, molecule înnodate precum ADN-ul și așa mai departe. Din fericire, în timp ce oamenii de știință erau ocupați să studieze alte lucruri, matematicienii construiau cataloage de noduri și instrumentele pentru a le dezlega secretele.
