مشی گن یونیورسٹی میں 2018 کی گفتگو کے چند منٹ، ایان ٹوباسکو کاغذ کا ایک بڑا ٹکڑا اٹھایا اور اسے افراتفری کی بظاہر بے ترتیب گیند میں کچل دیا۔ اس نے اسے سامعین کے دیکھنے کے لیے اٹھایا، اچھی پیمائش کے لیے اسے نچوڑ لیا، پھر اسے دوبارہ پھیلا دیا۔
انہوں نے کہا کہ "مجھے تہوں کا ایک جنگلی ماس ملتا ہے جو ابھرتا ہے، اور یہی ایک پہیلی ہے،" انہوں نے کہا۔ "اس پیٹرن کو دوسرے، زیادہ منظم پیٹرن سے کیا منتخب کرتا ہے؟"
اس کے بعد اس نے کاغذ کا دوسرا بڑا ٹکڑا پکڑا — یہ ایک متوازی خطوط کے مشہور اوریگامی پیٹرن میں پہلے سے جوڑ دیا گیا جسے میورا اوری کہا جاتا ہے — اور اسے چپٹا دبا دیا۔ انہوں نے کہا کہ کاغذ کی ہر شیٹ پر اس نے جو طاقت استعمال کی وہ تقریباً ایک جیسی تھی، لیکن نتائج اس سے زیادہ مختلف نہیں ہو سکتے تھے۔ میورا اوری کو جیومیٹرک علاقوں میں صفائی کے ساتھ تقسیم کیا گیا تھا۔ کچلی ہوئی گیند دھندلی لکیروں کی گڑبڑ تھی۔
"آپ کو احساس ہوتا ہے کہ یہ،" اس نے کچی ہوئی چادر پر کریز کے بکھرے ہوئے انتظامات کی طرف اشارہ کرتے ہوئے کہا، "اس کا محض ایک بے ترتیب بے ترتیب ورژن ہے۔" اس نے صاف ستھرا، منظم میورا اوری کا اشارہ کیا۔ "لیکن ہم نے اس پر انگلی نہیں ڈالی کہ یہ سچ ہے یا نہیں۔"
اس تعلق کو بنانے کے لیے لچکدار پیٹرن کے عالمگیر ریاضیاتی اصولوں کو قائم کرنے سے کم کچھ نہیں ہوگا۔ ٹوباسکو برسوں سے اس پر کام کر رہا ہے، مساوات کا مطالعہ کر رہا ہے جو پتلی لچکدار مواد کو بیان کرتی ہے - ایسی چیزیں جو اپنی اصل شکل میں واپس آنے کی کوشش کر کے اخترتی کا جواب دیتی ہیں۔ ایک غبارے کو کافی سختی سے کھینچیں اور ریڈیل جھریوں کا اسٹار برسٹ پیٹرن بن جائے گا۔ اپنی انگلی کو ہٹا دیں اور وہ دوبارہ ہموار ہو جائیں گے۔ کاغذ کی ٹوٹی ہوئی گیند کو نچوڑیں اور جب آپ اسے چھوڑیں گے تو یہ پھیل جائے گا (حالانکہ یہ مکمل طور پر کچل نہیں پائے گا)۔ انجینئروں اور طبیعیات دانوں نے اس بات کا مطالعہ کیا ہے کہ یہ نمونے مخصوص حالات میں کیسے ابھرتے ہیں، لیکن ایک ریاضی دان کے لیے یہ عملی نتائج ایک زیادہ بنیادی سوال کا مشورہ دیتے ہیں: کیا یہ سمجھنا ممکن ہے، عام طور پر، کیا چیز ایک پیٹرن کو دوسرے کے بجائے منتخب کرتی ہے؟
جنوری 2021 میں، ٹوباسکو نے شائع کیا۔ ایک کاغذ جس نے اس سوال کا اثبات میں جواب دیا — کم از کم ہموار، خمیدہ، لچکدار شیٹ کی صورت میں چپٹی میں دبائی گئی ہو (ایسی صورتحال جو سوال کو دریافت کرنے کا واضح طریقہ پیش کرتی ہے)۔ اس کی مساواتوں سے اندازہ ہوتا ہے کہ بظاہر بے ترتیب جھریوں میں "منظم" ڈومینز ہوتے ہیں، جن کا دہرایا جانے والا، قابل شناخت نمونہ ہوتا ہے۔ اور اس نے ایک مقالہ لکھا، جو پچھلے مہینے شائع ہوا تھا، جو کہ ایک نیا فزیکل تھیوری دکھاتا ہے، جو سخت ریاضی پر مبنی ہے، جو حقیقت پسندانہ منظرناموں میں نمونوں کی پیش گوئی کر سکتا ہے۔
خاص طور پر، ٹوباسکو کے کام سے پتہ چلتا ہے کہ جھریوں کو، اس کے بہت سے انداز میں، ایک ہندسی مسئلہ کے حل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ "یہ ریاضیاتی تجزیہ کا ایک خوبصورت ٹکڑا ہے،" نے کہا اسٹیفن مولر جرمنی میں یونیورسٹی آف بون کے ہاسڈورف سینٹر فار میتھمیٹکس۔
اس نے اس عام رجحان کے پیچھے پہلی بار ریاضی کے اصول — اور ایک نئی تفہیم — کو خوبصورتی سے پیش کیا ہے۔ "یہاں ریاضی کا کردار اس قیاس کو ثابت کرنا نہیں تھا جو طبیعیات دانوں نے پہلے ہی بنا دیا تھا،" کہا رابرٹ کوہننیو یارک یونیورسٹی کے کورنٹ انسٹی ٹیوٹ میں ایک ریاضی دان، اور ٹوباسکو کے گریجویٹ اسکول ایڈوائزر، "بلکہ ایک ایسا نظریہ فراہم کرنے کے لیے جہاں پہلے کوئی منظم سمجھ نہیں تھی۔"
کھینچنا
جھریوں اور لچکدار نمونوں کا نظریہ تیار کرنے کا مقصد پرانا ہے۔ 1894 میں، میں ایک جائزہ میں فطرت، قدرت، ریاضی دان جارج گرین ہیل نے نظریہ سازوں کے درمیان فرق کی نشاندہی کی ("ہمیں کیا سوچنا ہے؟") اور مفید ایپلی کیشنز جو وہ سمجھ سکتے ہیں ("ہمیں کیا کرنا ہے؟")۔
19 ویں اور 20 ویں صدیوں میں، سائنسدانوں نے بڑی حد تک مؤخر الذکر پر پیش رفت کی، مخصوص اشیاء میں جھریوں سے متعلق مسائل کا مطالعہ کیا جن کی شکل خراب ہو رہی ہے۔ ابتدائی مثالوں میں بحری جہازوں کے لیے ہموار، خمیدہ دھاتی پلیٹوں کو جعل سازی کا مسئلہ، اور پہاڑوں کی تشکیل کو زمین کی پرت کو گرم کرنے سے جوڑنے کی کوشش شامل ہے۔
ابھی حال ہی میں، ریاضی دانوں اور طبیعیات دانوں نے نظریہ اور مشاہدے کو جھریوں کے حالات، جیومیٹریوں اور مواد کی ایک وسیع صف سے جوڑنے کی کوشش کو بڑھایا ہے۔ ریاضی دان نے کہا کہ "یہ تقریباً 10 سالوں سے جاری ہے، جہاں ہم پہلے تجربات کر رہے ہیں اور پھر ان کو سمجھنے کے لیے تھیوری تلاش کرنے کی کوشش کر رہے ہیں،" ریاضی دان نے کہا۔ ڈومینک ویلا۔ آکسفورڈ یونیورسٹی کے. "یہ حال ہی میں ہے کہ ہم نے مناسب سمجھنا شروع کیا ہے۔"
دلچسپ سنگ میل طے ہوئے ہیں۔ 2015 میں، پیڈرو ریس، میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی کے مکینیکل انجینئر، جسمانی قوانین کو بیان کیا۔ جیومیٹرک پیٹرن کے لیے جو ڈیفلیٹڈ سلیکون گیندوں پر بنتے ہیں۔ اس کے کام نے ان جھریوں کو لچکدار مواد کی اندرونی اور بیرونی تہوں کی موٹائی سے جوڑ دیا۔ ریس نے یہ بھی نوٹ کیا کہ جھریاں، نقائص پر غور کرنے کے بجائے، نئے میکانی طرز عمل کو ڈیزائن کرنے کے مواقع فراہم کر سکتی ہیں۔ پھر 2017 میں، ویلا تجزیہ کی قیادت کی دباؤ کے تحت ایک پتلی لچکدار فلم کی جھریوں کی عدم استحکام، اس بات کی خصوصیت کہ کس طرح ابتدائی پوک کی گہرائی اور دیگر مخصوص تفصیلات کے مطابق جھریوں کی تعداد میں تبدیلی آئی۔
لیکن ان پیشرفتوں نے ابھی بھی مسئلے کے صرف ٹکڑے ہی حل کیے ہیں۔ جھریاں کیسے بنتی ہیں اس کی زیادہ عام ریاضیاتی تفہیم کے لیے، ایک مختلف نقطہ نظر ضروری تھا۔ ٹوباسکو اسے آگے بڑھانے والا ہوگا۔
کیوروسٹی کے بعد
جب وہ چھوٹا تھا، ٹوباسکو نے سوچا کہ وہ ایرو اسپیس انجینئرنگ میں جائے گا۔ اس نے 2011 میں مشی گن یونیورسٹی سے اس شعبے میں بیچلر ڈگری کے ساتھ گریجویشن کیا، لیکن اس وقت تک وہ ریاضیاتی استدلال اور جسمانی نظاموں کے بارے میں گہرائی سے سوچنے کی طرف راغب ہو چکے تھے۔ اس نے ریاضی میں ڈاکٹریٹ کی ڈگری حاصل کی، لیکن وہ جوئی پالسن، جو اب سائراکیوز یونیورسٹی میں طبیعیات دان ہیں، کو جھریوں کے مخصوص راستے پر گامزن کرنے کا الزام لگاتا ہے۔
پالسن کے کیریئر کے شروع میں، جب وہ غیر معمولی مواد کی خصوصیات کا مطالعہ کر رہے تھے، اس نے اسپن کوٹنگ نامی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے انتہائی پتلی پولیمر فلموں کو بنانا اور تجزیہ کرنا سیکھا۔ سب سے پہلے وہ ایک خاص مائع مواد بنائے گا جس میں تحلیل شدہ پولیمر کی مقدار کا پتہ چل جائے گا۔ پھر وہ اس مواد کو ایک کتائی پلیٹ پر رکھ دے گا۔ زیادہ تر مائع بخارات بن جاتا ہے، جب کہ پولیمر مضبوط ہونے سے پہلے ہی موٹائی تک پھیل جاتا ہے۔ ایک بار جب اس کی سیراکیوز میں اپنی لیب تھی، پالسن نے سیکھا کہ اسپن کوٹنگ کو کس طرح مڑے ہوئے فلمیں بنانے کے لیے اپنانا ہے — جیسے کہ انتہائی پتلے کچھوے کے خول۔
ایک دن، اس نے ان میں سے کچھ مڑے ہوئے فلموں کو ساکن پانی کے اوپر رکھا اور تصویر کھینچی کہ وہ سطح پر کیسے آباد ہیں۔ "یہ خالصتاً تجسس پر مبنی تھا،" انہوں نے کہا۔ تصویروں نے 2017 میں پالسن کے ساتھ ایک غیر رسمی ملاقات میں ٹوباسکو کی نظر پکڑی۔
"انہوں نے یہ ظاہر کیا کہ آپ کو یہ بے ترتیب بے ترتیب جھریوں کے نمونے مل سکتے ہیں - جب آپ نے دو بار تجربہ کیا تو آپ کو دو مختلف نمونے ملے،" ٹوباسکو نے کہا، جو اب یونیورسٹی آف الینوائے، شکاگو میں اسسٹنٹ پروفیسر ہیں۔ "میں یہ دیکھنا چاہتا تھا کہ کیا میں لچک سے [ان نمونوں کی پیشن گوئی کرنے کے لیے] کوئی اخذ کرنے والا طریقہ نکال سکتا ہوں، جس میں خول کی شکل شامل ہو۔ اور یہ کہ ماڈل شیل سے شیل میں تبدیل نہیں ہوگا۔
جھریوں کے نمونے کم سے کم ممکنہ توانائی کے ساتھ تشکیلات ہیں۔ یعنی، جیسے ہی پتلی فلم ایک چپٹی سطح پر جم جاتی ہے، یہ اس وقت تک شکل اختیار کر لیتی ہے جب تک کہ اسے جھریوں کا انتظام نہ مل جائے، خراب ہو یا نہ ہو، جس کو برقرار رکھنے میں کم سے کم توانائی درکار ہوتی ہے۔ ٹوباسکو نے کہا کہ "آپ پیٹرن کو اس توانائی کی مقدار سے ترتیب دے سکتے ہیں جو ذخیرہ کیا جاتا ہے جب [پیٹرن] ظاہر ہوتا ہے۔"
اس رہنما اصول کے تحت، اس نے فلم کی چند خصوصیات کو الگ تھلگ کیا جو اس کے پیٹرن کو منتخب کرنے والی ثابت ہوئیں، جس میں اس کی شکل کا ایک پیمانہ بھی شامل ہے جسے اس کا گاوسیئن گھماؤ کہا جاتا ہے۔ مثبت Gaussian گھماؤ والی سطح گیند کے باہر کی طرح خود سے دور ہو جاتی ہے۔ منفی طور پر خمیدہ سطحیں، اس کے برعکس، سیڈل کی شکل کی ہوتی ہیں، جیسے پرنگلز چپ: اگر آپ ایک سمت جاتے ہیں تو آپ اوپر جاتے ہیں، لیکن اگر آپ دوسری سمت جاتے ہیں تو آپ نیچے جاتے ہیں۔
ٹوباسکو نے پایا کہ مثبت گاوسی گھماؤ والے علاقے ترتیب شدہ اور بے ترتیب ڈومینز کی ایک قسم کی ترتیب پیدا کرتے ہیں، اور منفی گھماؤ والے علاقے دوسری قسمیں پیدا کرتے ہیں۔ "تفصیلی جیومیٹری اتنی اہم نہیں ہے،" ویلا نے کہا۔ "یہ واقعی صرف گاوسی گھماؤ کی علامت پر منحصر ہے۔"
انہوں نے شبہ کیا تھا کہ گاؤشیائی گھماؤ جھریوں کے لیے اہم ہے، لیکن ویلا نے کہا کہ یہ حیرت کی بات ہے کہ ڈومین اس نشان پر اتنا زیادہ انحصار کرتے ہیں۔ مزید یہ کہ ٹوباسکو کا نظریہ صرف پالسن کی شکلوں پر نہیں بلکہ لچکدار مادوں کے ایک وسیع میدان عمل پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ ویلا نے کہا کہ "یہ ایک عمدہ ہندسی تعمیر ہے جو ظاہر کرتی ہے کہ جھریاں کہاں ظاہر ہوں گی۔" "لیکن یہ سمجھنا کہ یہ کہاں سے آتا ہے واقعی بہت گہرا ہے اور حیرت انگیز ہے۔"
پالسن نے اتفاق کیا۔ "ایان کا نظریہ جو بہت خوبصورتی سے کرتا ہے وہ یہ ہے کہ آپ کو ایک ہی وقت میں پورا نمونہ فراہم کیا جائے۔"
حقیقی زندگی کی جھریاں
2018 کے اوائل میں، ٹوباسکو نے اپنا نظریہ زیادہ تر طے کر لیا تھا — لیکن اگرچہ اس نے کاغذ پر کام کیا، وہ اس بات کا یقین نہیں کر سکتا تھا کہ یہ حقیقی دنیا میں درست ہو گا۔ ٹوباسکو نے پالسن سے رابطہ کیا اور پوچھا کہ کیا وہ تعاون کرنے میں دلچسپی رکھتا ہے۔ پالسن نے کہا ، "کچھ ابھی کام ہوا ہے۔" "ایان کی کچھ پیشین گوئیوں کے ساتھ، جو تجرباتی تصویروں کے اوپر رکھی گئی ہیں، ہم فوراً دیکھ سکتے ہیں کہ وہ قطار میں کھڑے ہیں۔"
اس سال کی سوسائٹی فار انڈسٹریل اینڈ اپلائیڈ میتھمیٹکس کانفرنس میں میٹیریلز سائنس کے ریاضی کے پہلوؤں پر ٹوباسکو کو متعارف کرایا گیا تھا۔ ایلینی کاٹیفوری۔، پنسلوانیا یونیورسٹی کے ایک ماہر طبیعیات جو محدود خولوں میں شیکن کے نمونوں کے مسئلے کو تلاش کر رہے تھے اور نتائج کا ڈیٹا بیس بنا رہے تھے۔ یہ خاموشی کا لمحہ تھا۔ "ہم ان ڈومینز کو دیکھ سکتے ہیں جو ایان کے کام کی وضاحت کرتے ہیں،" انہوں نے کہا۔ میچ غیر معمولی تھا۔ یہاں تک کہ ان کی پہلی بات چیت کے دوران، یہ واضح تھا کہ ٹوباسکو کا نظریہ، پالسن کی تجرباتی تصاویر اور کیٹیفوری کے نقوش سبھی ایک ہی مظاہر کو بیان کرتے ہیں۔ "ابتدائی مراحل میں بھی، جب ہمارے پاس کچھ ٹھوس نہیں تھا، ہم کنکشن دیکھ سکتے تھے۔"
اس ابتدائی جوش نے جلد ہی شکوک و شبہات کو جنم دیا۔ یہ سچ ہونے کے لئے تقریبا بہت اچھا لگ رہا تھا. "وہ ایک ریاضی دان ہے اور ان تمام چیزوں کو غیر جہتی بنا رہا ہے،" پالسن نے کہا کہ کس طرح گھماؤ کے بارے میں ٹوباسکو کے خیالات کو دو جہتی فلیٹ مواد سے کہیں آگے بڑھایا جا سکتا ہے۔ "کیا ہم واقعی ایک ہی نظام کو دیکھ رہے ہیں؟ یہ متفق ہے، لیکن کیا اسے متفق ہونا چاہئے تھا؟
اگلے دو سالوں کے لیے، تینوں محققین نے تفصیلات کو ہیش کیا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ٹوباسکو کی تھیوری نے واقعی پیشین گوئی کی تھی — بالکل — جھریوں کی ترتیب جو پالسن نے اپنے تجربات میں دیکھی تھی اور کاٹیفوری نے اپنے کمپیوٹر ماڈلز میں پایا تھا۔ 25 اگست کو انہوں نے ایک مقالہ شائع کیا۔ فطرت طبیعیات ظاہر کس طرح تینوں نقطہ نظر جھریوں کے ایک ہی، سیدھے ہندسی ترتیب پر اکٹھے ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، انہوں نے پایا کہ نمونے آئوسیلس مثلث کے صاف ستھرا خاندانوں میں آتے ہیں جو ترتیب اور خرابی کے ڈومینز کی حد بندی کرتے ہیں۔ اس کے علاوہ، نتائج ناممکن طور پر پتلے مواد کے ریاضیاتی تجرید تک محدود نہیں ہیں بلکہ موٹائی کی شدت کے متعدد آرڈرز کو ایڈریس کرتے ہیں۔
ان کا کام نظریہ اور اس کے اطلاق کو وسعت دینے کے مواقع بھی تجویز کرتا ہے۔ کیٹیفوری نے کہا کہ ایک ماہر طبیعیات کے طور پر، وہ نئے مواد کو ڈیزائن کرنے کے لیے پیشین گوئیوں کو بروئے کار لانے میں دلچسپی رکھتی ہیں۔ "میں یہ سمجھنا چاہتا ہوں کہ آپ سطحوں کو کس طرح ڈیزائن کر سکتے ہیں تاکہ وہ درحقیقت جھریوں کے نمونوں کو اپنی مرضی کے مطابق ترتیب دیں۔"
ایک اور کھلا سوال یہ ہے کہ کس طرح نظریہ کو مختلف قسم کی خمیدہ سطحوں پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ ویلا نے کہا کہ "یہ ان حالات پر بہت توجہ مرکوز کرتا ہے جہاں [Gaussian curvature] یا تو مثبت ہے یا منفی، لیکن کچھ خطوں کے ساتھ بہت سے حالات ایسے ہیں جو مثبت اور کچھ منفی ہیں،" ویلا نے کہا۔
پالسن نے اتفاق کیا کہ یہ ایک دلچسپ امکان ہے، اور ٹوباسکو نے کہا کہ وہ اس علاقے میں فعال طور پر کام کر رہے ہیں اور گولوں کی دوسری شکلوں پر غور کر رہے ہیں — جیسے کہ سوراخ والے۔
لیکن پالسن نے کہا کہ نظریہ، جیسا کہ اس وقت کھڑا ہے، خوبصورت اور حیران کن ہے۔ "اگر میں آپ کو ایک شیل اور ایک باؤنڈری شکل اور اصولوں کا یہ سادہ سیٹ دیتا ہوں جس کی ایان کی تھیوری نے پیش گوئی کی تھی، تو آپ ایک کمپاس اور حکمران لے سکتے ہیں اور بنیادی طور پر جھریاں کھینچ سکتے ہیں،" اس نے کہا۔ "یہ اس طرح نہیں ہونا تھا. یہ مکمل طور پر خوفناک ہوسکتا تھا۔"
